رياضيات فصل ثاني

 تناولنا في الدرس السابق مفهوم كثيرات الحدود وإجراء عمليات الجمع والطرح والضرب عليها وحل بعض المسائل الحياتية عليها .

وفي هذا الدرس سنجري العملية الرابعة على كثيرات الحدود وهي القسمة ونتعرف على الإقترانات النسبية مع تحديد مجالها ومداها وتمثيلها بيانيا .

---

• قسمة كثيرات الحدود 

إن قسمة كثير حدود على آخر تشبه كثيرا عملية قسمة عدد كلي على آخر؛ إذ تتبع الخطوات نفسها في كلتا الحالتين . يمكن قسمة كثير الحدود f(x) على كثير الحدود h(x) ≠0 إذا كانت درجة f(x) أكبر أو تساوي درجة h(x). لقسمة كثير حدود على آخر ، أكتب المقسوم و المقسوم عليه بالصورة القياسية . و إذا كانت إحدى قوى المتغير في المقسوم مفقودة ، فإني أضيفها في موقعها ، وأكتب معاملها 0، ثم أنفذ خطوات القسمة كما في المثال الآتي 

مثال 1

أجد ناتج قسمة f(x) = x² +3x -12 على g(x) = x -2 

للتحقق من صحة الحل نقوم بضرب الناتج ( x+5) بالمسقوم عليه ( x -2)  ثم إضافة -2  أي

( x -2) . ( x +5) = x² + 5x -2x -10 = x² + 3x -10 

المقسوم = x² - 3x -10 + ( -2)  

                                x² -3x -12            

نتيجة :

عند قسمة كثير حدود على كثير حدود تكون درجة ناتج القسمة مساوية للفرق بين درجتي المقسوم والمقسوم عليه 

تذكر:

قواعد الأسس في حالة القسمة أنها تطرح                     

---

• الاقترانات النسبية 

هي اقترانات يمكن كتابتها بصورة نسبية بين كثيري حدود مثل  $\frac{f\left(x\right)}{h\left(x\right)}$ شرط أن h(x) ≠ 0  

أمثلة :

$L\left(x\right) = \frac{-1}{x}$     ,              $h\left(x\right) = \frac{x -2 }{x^2 +3 }$

 

- مجال الاقتران النسبي 

هو مجموعة الأعداد الحقيقة بإستثناء أصفار المقام ( الأعداد التي تجعل المقام يساوي صفر )

مثال

أجد مجال كل اقتران نسبي مما يلي 

1.  $f\left(x\right) = \frac{x +2}{x^2 -16}$

 لإيجاد المجال  نحدد أصفار المقام 

x² -16 = 0

x = -4 , x =4

إذا المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا $x =\pm 4$    ، يمكن كتابتها بالصورة   $\left\{x │ x\ne \pm 4 \right\}$

 

2. $g\left(x\right) = \frac{ x +4}{x^3 - 4x^2 +4x }$

 

 لإيجاد المجال  نحدد أصفار المقام 

x³ - 4x² +4x = 0

x( x² -4x +4) = 

x = 0  , x =2 

$\left\{ x │ x \ne 0 , 2\right\}$  أو على الصورة  x = 0, x= 2     إذا المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا

-  تمثيل الاقترانات النسبية بيانيا 

 *معظم الاقترانات النسبية منحنياتها غير متصلة ، بمعنى أنها تحتوي قفزات أو انقطاعات أو ثقوب و يحدث ذلك عند أصفار المقام .

* أحد المواقع التي لا يكون عندها المنحنى متصلا هو خط تقارب و هو مستقيم يقترب منه منحنى الاقتران كلما ازدادت القيمة المطلقة لأحد المتغيرين x أو y

في الشكل أعلاه كل من المحور x  و المحور y هو خط تقارب لمنحنى الاقتران $y =\frac{1}{x}$     ونلاحظ أن منحنى الاقتران يقترب كثيرا من خطي التقارب لكن لا يلمسهما .

 

بالنظر لمنحنى الاقتران    $f\left(x\right) = \frac{1}{x -3 } +2$   في الشكل أدناه نلاحظ وجود خط تقارب رأسي عند صفر المقام x=3  وخط تقارب أفقي عند y = 2 

فيقودنا هذا الى القاعدة المدرجة تحت الرسم البياني لتحديد خطوط التقارب الرأسية و الأفقية 

القاعدة 

خط التقارب الرأسي يكون للاقتران النسبي الذي على صورة  $f\left(x\right) = \frac{a}{x - b } + c$ خط تقارب رأسي عند x = b ( صفر المقام ) ،

خط التقارب الأفقي يكون للاقتران النسبي الذي على صورة $f\left(x\right) = \frac{a}{x - b }+ c$  خط تقارب أفقي هو المستقيم y = c 

 

مثال :

$f\left(x\right) = \frac{-2}{x+2} - 3$أجد خط التقارب للاقتران 

خط التقارب الرأسي هو x = -2  وخط التقارب الافقي هو y = -3 

 

- لتمثيل الاقترانات النسبية بيانيا تبع الخطوات الآتية 

1) نجد خطوط التقارب و نرسمهم .

2) نكون جدول قيم باختيار قيم x على يمين ويسار  خط التقارب الرأسي

3) نعين النقاط في المستوى الإحداثي 

مثال : 

     $f\left(x\right) =\frac{5}{x -3} +2$مثل الاقتران الآتي بيانيا

وحدد مجاله و مداه

الحل :

1) خط التقارب الرأسي هو x = 3  و خط التقارب الأفقي هو y = 2

2 )

X	-1	0	1	2	2.5	3.5	4	5	6	7
F(x)	0.75	0.33	-0.5	-3	-8	12	7	4.5	3.67	3.25

  3) نرسم خطي التقارب ثم نعين النقاط من الجدول أعلاه 

المجال هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا x = 3

المدى  هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا y =2

 

مفهوم 

إذا كان $f\left(x\right) = \frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}$    حيث h(x) ≠ 0  وكان x - c عاملا مشتركا لكل من البسط والمقام فإن منحنى f(x) يحتوي فجوى عند x= c 

مثال 

أمثل الاقتران $f\left(x\right) = \frac{x^2 +3x +2}{x+1}$  بيانيا  

الحل 

نحلل البسط لاختصار العوامل المشتركة بين البسط والمقام 

$f\left(x\right) = \frac{x^2 +3x +2}{x+1} = \frac{( x+1 ) ( x+2)}{x+1} = x+2$

 إذا التمثيل البياني للاقتران$f\left(x\right) = \frac{x^2 +3x +2}{x+1}$ هو ذاته التمثيل البياني للاقتران f(x) = x+2  مع وجود فجوى عند x= -1 

 

 

 

* يمكن استعمال الاقترانات النسبية في مواقف حياتية كثيرة مثل حساب معدلات تتضمن متغيرات .

مثال

يحتوي خزان كبير على 100 لتر من الماء أذيب فيه 5kg من السكر وعند فتح الصنبور ، بدأ الماء يصب في الخزان بمعدل 10 لترات في الدقيقة ، وفي الوقت نفسه أضيف إلى الخزان 1kg من السكر كل دقيقة . أجد تركيز السكر في الخزان ( أي نسبة السكر إلى الماء )بعد 12 دقيقة  محددا إذا كان هذا التركيز أكبر منه في البداية أم لا.

الحل

إذا كانت t هي عدد الدقائق التي تلي فتح الصنبور فإن 

 

 

 

 

 

أي أن تركيز السكر في الخزان بعد 12 دقيقة هو $0.08 KG /L$ وقد كان تركيزه في البداية  $\frac{5}{100}= 0.05 Kg /L$ إذا تركيز السكر بعد 12 دقيقة أكبر من تركيزه في البداية 

---