رياضيات فصل أول

الحادي عشر خطة جديدة

icon

فكرة الدرس : 

- تعرف الاقتران المتشعب واقتران القيمة المطلقة 
- التمثيل البياني لهما وتحديد مجال كل منهما ومداه .

 

الاقتران المتشعب:

وهو الاقتران المعرف بقواعد مختلفة عند أجزاء مختلفة في مجاله.
والاقتران المتشعب ، هو اقتران يدمج بين قاعدتي اقترانين أو أكثر.

 


مثال (1): اذا كان: f(x)=x+1    ,    -2x<13          ,       x1 ، أجب عن الأسئلة الآتية : 

2) جد قيمة f(-2)

1) حدد مجال f(x)

4) جد قيمة f(2) 3) جد قيمة f(0)
  5) مثل الأقتران f(x) بيانياً ، ثم حدد مداه 

الإجابة:

2)f(-2)=-2+1=-1 1) المجال هو الفترة  [-2,)
4) f(2)=3 3) f(0)=0+1=1

5) اولاً: نجد قيمة الاقتران الخطي: عند طرفي مجاله، أي عندما x=1 وعندما x=-2 باستعمال جدول كما يلي: 

جدول قيم للاقتران الخطي

ثانياً: امثل f(x)=3 عندما x1 هو اقتران ثابت، لذا يمثل بشعاع أفقي عند النقطة (1,3) بدائرة مغلقة لوجود مساواة في رمز المتباينة .

التمثيل البياني للاقتران المتشعب

- من التمثيل البياني للاقتران ، أن مداه هو: [-1,2){3}

اتذكر: مدى الاقتران هو مجموعة القيم التي يتخذها على المحور y.

 


مثال (2): اذا كان: f(x)=-2x+1    ,    -3x<1x2              ,       x1  ، أجب عن الأسئلة الآتية:

2) جد قيمة f(-2) 1) حدد مجال f(x)
4) مثل الأقتران f(x) بيانياً ، ثم حدد مداه. 3) جد قيمة f(1)

الإجابة:

2) f(-2)=-2(-2)+1=5 1) المجال هو الفترة: [-3 , )
  3)f(1)=1

4) اولاً : امثل f(x)=-2x+1 عندما -3x<1  عندما x=1 وعندما  x=-3 كما في الجدول الآتي:

جدول لتمثيل الاقتران المتشعب

ثانيا: أمثل f(x)=x2 عندما x1 وهو جزء من منحنى قطى مكافىء مفتوح الى الأعلى.

- أنشىء جدول قيم ، لارسم الجزء من منحنى القطع المكافىء الذي يقع يمين العدد 1

جدول قيم لمنحنى الاقتران التربيعي

تمثيل اقتران متشعب بيانيا

- مدى الاقتران: (-1,)

اتذكر:

يمثل الاقتران: f(x)=ax2+bx+c قطعا مكافئا مفتوحا إلى الأعلى إذا كانت قيمة a>0 ومفتوحا إلى الأسفل إذا كانت قيمة a<0 ويمكن إيجاد إحداثيي رأس القطع المكافئ على النحو الآتي: (-b2a,f(-b2a))


• كيف أجد قاعدة الاقتران المتشعب ، اذا أعطيت تمثيله البياني ؟

سنتعلم ذلك من خلال الأمثلة الآتية : 

مثال (3) : أكتب قاعدة الاقتران المتشعب الممثل بيانياً في الشكل المجاور .

اولاً : أكتب قاعدة الاقتران الذي يمثل الجزء الايسر من التمثيل البياني وهو شعاع يمر بالنقطتين: (-4,0),(-2,2) وميله :

m=2-0-2+4=1

ومن ثم ، فأن معادلة الشعاع بصيغة الميل والنقطة هي: y-2=1(x+2) ويمكن كتابتها في صورة: f(x)=x+4 

اما وجود دائرة مفتوحة عند النقطة  (-1,3) فيعني ان هذه القاعدة تقابل الفترة (-,-1)

ثانياً : أكتب قاعدة الاقتران الذي يمثل الجزء الايمن من التمثيل البياني وهو شعاع يمر بالنقطتين: (-1,2),(0,0) وميله: m=0-20+1=-2

ومن ثم ، فإن معادلة الشعاع يقطع المحور y عند الصفر b=0 ، فأن معادلته بصيغة الميل والمقطع هي: y=-2x أو f(x)=-2x   
اما وجود دائرة مغلقة عند طرف الشعاع الذي يبدأ بالنقطة (-1,2) فيعني ان هذه القاعدة تقابل الفترة [-1,) من مجال الاقتران f(x) .


• اذن ، قاعدة الاقتران هي: f(x)={x+4    ,    x<-1-2x    ,     x-1

قاعدة الاقتران المتشعب

 

تدريب: أكتبُ قاعدة الاقتران f(x) الممثل بيانيُا في الشكل المجاور. 

الإجابة:

f(x)={x+3,x<1-12x+92, 1x31, x>3

 كتابة قاعدة اقتران متشعب ممثل بيانيا

ويمكن نمذجة كثير من المواقف الحياتية باستعمال الاقترانات المتشعبة .


• اقتران القيمة المطلقة: هو اقتران يحتوي على قيمة مطلقة لمقدار جبري.

مثلا: f(x)=|x+4|  ,  f(x)=|x2-4|  ,  f(x)=2|x|+6

 

أتذكر:

القيمة المطلقة للعدد الحقيقي السالب، تُلغي الإشارة السالبة، وتجعلها موجبة، مثل:

-5=+5=5

القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي x والتي يُرمز إليها بالرمز x تساوي بعده عن الصفر على خط الأعداد، وبما أن العدد لا يكون سالبا، فإنه يوجد حالتان:

x=x , x0x=-x , x<0

مثال عددي:

-12=+12=12

•  خطوات اعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة :
-  نساوي ما في داخل رمز القيمة المطلقة بالصفر ، ثم أحل المعادلة الناتجة .
- أعين صفر المعادلة على خط الاعداد ، ثم احدد الاشاراة على جانبيه 
-  أكتب قاعدتي الاقتران حسب اشارة يمين صفر المعادلة ويساره .

 


 

مثال (4): أعد تعريف القيمة المطلقة f(x)=|3x-6|

الإجابة:

3x-6=0     3x=6     x=2

f(x)={6-3x    ,x<23x-6    ,x2

 

- مثال (5): أعد تعريف القيمة المطلقة f(x)=|2x+4|

2x+4=0     2x=-4     x=-2

f(x)={-2x-4    ,x<-22x+4       ,x-2

 

- تدريب: أعد تعريف القيمة المطلقة f(x)=|7x-5|+3


• تمثيل اقتران القيمة المطلقة بيانياً : 

- يتكون التمثيل البياني لاقتران القيمة المطلقة الذي على الصورة f(x)=a|mx+b|+c حيثُ a0 و m0 من شعاعين على شكل حرف V متماثلين حول المحور  x=-bm ، ورأس الاقتران هو النقطة التي يصل عندها الى أعلى قيمة او أقل قيمة واحداثياها (-bm,c)

-  يمكن تمثيل اقتران القيمة المطلقة بيانياً باستعمال محور التماثل والرأس.

 

مثال (6): مثل بيانياً كل اقتران ممّا يأتي ، ثم حدد مجاله ومداه : 

1)  f(x)=|x|
2) -|x+2|+3
الإجابة:

1) اولاً : نجد احداثي رأس الاقتران ، ومعادلة محور التماثل : (-bm,c)

b=0  ,m=1  ,c=0

(01,0)=(0,0)

اذن ، احداثيا نقطة الرأس (0,0)ومعادلة محور التماثل x=0 (المحور y ) 

ثانياً : احدد قيمتين للمتغير x حول محور التماثل ، ثم أجد صورتيهما .

بما أن محور التماثل x=0 أختار قيمة للمتغير x  اكبر من 0 وقيمة أخرى اقل من 0 ثم اجد صورتيهما في الاقتران . 

ثالثاً : نمثل النقطتين والرأس بيانياً: 

نلاحظ من التمثيل البياني أن المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ، وان المدى [0,)

 

2) احداثيا نقطة الرأس (-2,3) ، ومعادلة محور التماثل x=-2
     نحدد قيمتين للمتغير x حول محور التماثل ثم أجد صورتيهما 

-  نمثل النقطتين والرأس بيانياً 
نلاحظ ان المجال هو مجموعة الاعداد الحقيقية ، وان المدى (-,3]


 


 

يمكن ايجاد قاعدة اقتران القيمة المطلقة لمقدار خطي ، اذا أعطي تمثيله البياني .


مثال (7): أكتب قاعدة اقتران القيمة المطلقة f(x) الممثل بيانياً في الشكل المجاور.
الإجابة:

نجد ميل المعادلة الخطية داخل رمز القيمة المطلقة 
نلاحظ أن الشعاع الايمن يمر في النقطتين (3,0),(5,4) ومنه فأن ميله :

m=4-05-3=2


نجد احداثي نقطة الرأس ، ثم اعوض الميل واحداقي نقطة الرأس في قاعدة الاقتران ، يظهر من التمثيل البياني أن النقطة (3,0) تمثل رأس التمثيل البياني لاقتران القيمة المطلقة ، اذن : يمكن ايجاد قيمة b من الاحداثي x للرأس كما يأتي :

x=-bm         3=-b2       b=-6

f(x)=a|2x-6|+0

- نجد قيمة a 
لايجاد قيمة a ، اعوض في قاعدة الاقتران احداثيي نقطة تقع على منحنى الاقتران مثلاً (0,6)  وأحل المعادلة الناتجة : 

f(x)=a|2x-6|

6=a|2(0)-6|    6=6a      a=1
 

اذن، قاعدة الاقتران هي: f(x)=|2x-6|