الاقترانات المثلثية :
الاقتران المثلثي وهو قاعدة معطاة باستعمال النسبة المثلثية . وتستعمل قياسات أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية وقياس زاوية حادةً فيه لإيجاد النسب المثلثية الست التي تُحدد ستة اقترانات مثلثية .
جميع الاقترانات المثلثية في مثلث قائم الزاوية :
إذا مثلت θ قياس زاوية حادة في مثلث قائم الزاوية ، فإن الاقترانات المثلثية الستة تعرف بدلالة الوتر ، والضلع المقابل ، والضلع المجاور كما يأتي :
يطلق على اقترانات قاطع التمام، والقاطع، وظل التمام، اسم اقترانات المقلوب لأنها مقلوب نسب الجيب ، وجيب التمام ، والظل على الترتيب ، ويمكن تعريفها على النحو الآتي :
وتذكر أن:
مثال: جد قيم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية θ في المثلث المجاور .
الحل:
أولاً: نجد طول الوتر باستعمال نظرية فيثاغورس.
تنوية: الطول لا يمكن أن يكون سالب .
ثانياً: نجد الاقترانات المثلثية.
قيم الاقترانات المثلثية لأي زاوية باستعمال نقطة معلومة:
اذا كانت θ زاوية مرسومة في الوضع القياسي ، والنقطة P(x,y) تقع على ضلع الانتهاء للزاوية θ ، و r يمثل البعد بين النقطة P ونقطة الاصل ، حيث:
فإن الاقترانات المثلثية للزاوية θ تعرف كما يأتي:
مثال: تقع النقطة (-3,-5) على ضلع انتهاء الزاوية θ المرسومة في الوضع القياسي . جد قيم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية θ .
الحل:
ارسم الزاوية θ ، ثم أجد قيمة r .
استعمل القيم:
تعلمت في الأمثلة السابقة إيجاد قيم الاقترانات المثلثية للزاوية θ من دون معرفة قياسها ويأتعلم الآن طرائق إيجاد قيم هذه الاقترانات عندما يكون قياس الزاوية θ فقط معلوماً .
إيجاد قيم الاقترانات المثلثية للزاويا الربعية:
إذا انطبق ضلع انتهاء الزاوية θ المرسومة في الوضع القياسي على أحد المحورين الإحداثيين ، فإن هذه الزاوية تسمى زاوية ربعية .
ويمكن إيجاد قيم الاقترانات المثلثية للزوايا الربعية باختيار نقطة تقع على ضلع انتهاء الزاوية ثم إيجاد الاقتران المثلثي عند تلك النقطة .
مثال: جد قيمة كل اقتران مثلثي مما يأتي إذا كان معرفاً ، وإلا أكتب عبارة (غير معرف ):
1)
ينطبق ضلع انتهاء الزاوية 270° على المحور y السالب ، فأختار النقطة على ضلع الانتهاء ، لأن r=1 :
2)
ينطبق ضلع انتهاء الزاوية على المحور (x) السالب ، فأختار النقطة على ضلع الانتهاء ، لأن r=1 :
غير معرف
إيجاد قيم الاقترانات المثلثية باستعمال الزوايا المرجعية :
إذا كانت θ زاوية غير ربعية مرسومة في الوضع القياسي ، فإن الزاوية المرجعية للزاوية θ هي الزاوية الحادة المحصورة بين ضلع انتهاء الزاوية θ والمحور x . يبين الجدول الآتي العلاقة بين θ و لأي زاوية θ غير ربعية .
تستعمل الزوايا المرجعية لإيجاد قيمة الاقترانات المثلثية لأي زاوية θ ، وتعتمد اشارة قيمة الاقتران المثلثي على الربع الذي يقع فيه ضلع انتهاء الزاوية θ .
أتبع الخطوات الآتية لإيجاد قيمة الاقترانات المثلثية لأي زاوية θ .
• أجد قياس الزاوية المرجعية
• أجد قيمة الاقتران المثلثي للزاوية المرجعية
• أستعمل الربع الذي يقع فيه ضلع انتهاء الزاوية θ ، لتحديد اشارة قيمة الاقتران المثلثي للزاوية θ، بالاستعانة بالمخطط المجاور .
• يبين الجدول الآتي بعض الاقترانات المثلثية الخاصة .
مثال: جد قيمة كل مما يأتي:
1)
ضلع الانتهاء يقع في الربع الثاني، اذن نستعمل زاويتها المرجعية:
تنويه : الجيب موجب في الربع الثاني .
2)
بما ان الزاوية أكبر من 2π ، فأنني أجد اولاً الزاوية المشتركة مع الزاوية التي قياسها موجب ، وأقل من 2π :
يقع ضلع انتهاء الزاوية في الربع الثاني ، لذا أستعمل زاويتها المرجعية :
إيجاد قيم الاقترانات المثلثية لزاوية عُلم الربع الذي يقع فيه ضلع انتهائها ، وقيمة اقتران مثلثي أو أكثر لها .
تعلمتُ في الأمثلة السابقة إيجاد قيم الاقترانات المثلثية إذا علمت نقطة تقع على ضلع الزاوية θ، أو إذا علم قياسها . وسأتعلم في المثال الآتي إيجاد قيم الاقترانات المثلثية إذا علمت قيمة اقتران مثلثي أو أكثر للزاوية θ، والربع الذي يقع فيه ضلع انتهائها.
مثال: اذا كان ، حيث ، فأجد قيمة كل من الاقترانات المثلثية الخمسة المتبقية للزاوية θ
بما أن tan θ سالب و sin θ سالب ، فإن الزاوية θ تقع في الربع الرابع ، وهذا يعني أن إشارة x موجبة وإشارة y سالبة .
تنويه: يمكنني اختيار أي قيمة ل x و y بحيث يكون ناتج القسمة مساوياً لـ
وبما أن ، فأستعمل النقطة لإيجاد قيمة r:
أستعمل لإيجاد قيم الاقترانات المثلثية الأخرى:
• معكوس اقتران الجيب ، وجيب التمام ، والظل
يمكن إيجاد معكوس اقتران الجيب ، وجيب التمام ، والظل ضمن مجال محدد باستعمال تعريف الاقتران العكسي .
لإيجاد قيمة اقتران عكسي عند نقطة ما ، تعكس قاعدةالاقتران الأصلي . فمثلاً ، بما أن ، فإنّ
مثال: جد قيمة كل ممما يأتي (إن وجدت)، في الفترة المعطاة إزاء كل منها:
1)
الزاوية التي قيمة الجيب لها في الفترة هي ، لذا ، فإن:
2)
الزاوية التي قيمة الجيب لها 1 في الفترة هي ، لذا ، فإن :
تعلمتُ في الأمثلة السابقة إيجاد قيم الاقترانات المثلثية للزوايا الخاصة، وإيجاد الاقتران العكسي لقيمها. ولكن، إذا أردتُ إيجاد قيم الاقترانات المثلثية لغير هذه الزوايا، فإنني أستعمل الآلة الحاسبة، وكذلك الحال إذا أردت إيجاد الاقتران العكسي لقيم غير معروفة.
مثال: يمثل الشكل المجاور قطاعاً دائرياً مركزه A ، وقياس زاويته θ ، وطول نصف قطره . إذا كانت الزاوية ADB قائمة، وطول () هو 17.56 فأجد كلا مما يأتي:
1) قياس زاوية القطاع θ بالراديان
يمكن إيجاد قياس الزاوية θ عن طريق إيجاد قيمة معكوس اقتران جيب التمام باستعمال الآلة الحاسبة :
أضبط أولاً الآلة الحاسبة وفق نظام راديان ، ثم أجد كما يأتي :
إذن ، قياس زاوية القطاع هو 0.75 تقريباً .
2) مساحة القطاع :
اذن، مساحة القطاع هي:
3) مساحة المنطقة المظللة .
يمكن إيجاد مساحة المنطقة المظللة بطرح مساحة من مساحة القطاع.
الخطوة 1 : نجد مساحة ∆ ABD .
اذن ، مساحة ∆ ABD هي تقريباً .
الخطوة 2: أطرح مساحة ∆ ABD من مساحة القطاع .
إذن ، مساحة المنطقة المظللة هي تقريباً .
مثال: يمثل الشكل المجاور قطاعاً دائرياً مركزه O ، وقياس زاويته θ ، وطول نصف قطره 16 cm . إذا كان طول القوس AB هو 9.6 cm ، فأجد كلاً مما يأتي:
a) قياس زاوية القطاع θ بالراديان.
b) مساحة القطاع.
c) مساحة المنطقة المظللة.
الحل:
a)
b)
c)