رياضيات فصل ثاني

الحادي عشر خطة جديدة

icon

الاقترانات المثلثية : 

الاقتران المثلثي وهو قاعدة معطاة باستعمال النسبة المثلثية . وتستعمل قياسات أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية وقياس زاوية حادةً فيه لإيجاد النسب المثلثية الست التي تُحدد ستة اقترانات مثلثية .

 

جميع الاقترانات المثلثية في مثلث قائم الزاوية : 

إذا مثلت θ قياس زاوية حادة في مثلث قائم الزاوية ، فإن الاقترانات المثلثية الستة تعرف بدلالة الوتر ، والضلع المقابل ، والضلع المجاور كما يأتي : 
مثلث قائم الزاوية

sinθ=المقابلالوتر       ,الجيب

cosθ=المجاورالوتر      ,التمام جيب

tanθ=المقابلالمجاور      ,الظل

cscθ=الوترالمقابل      ,التمام قاطع

secθ=الوترالمجاور      ,القاطع

cotθ=المجاورالمقابل      ,التمام ظل


يطلق على اقترانات قاطع التمام، والقاطع، وظل التمام، اسم اقترانات المقلوب لأنها مقلوب نسب الجيب ، وجيب التمام ، والظل على الترتيب ، ويمكن تعريفها على النحو الآتي : 

cscθ=1sinθ      ,   secθ=1cosθ      ,cotθ=1tanθ

وتذكر أن: 

tanθ=sinθcosθ        ,cotθ=cosθsinθ

مثال: جد قيم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية θ في المثلث المجاور .

مثلث قائم الزاوية

الحل: 

أولاً: نجد طول الوتر باستعمال نظرية فيثاغورس.

c2=a2+b2=(5)2+(12)2=25+144=169

c=±169=13

تنوية: الطول لا يمكن أن يكون سالب .

ثانياً: نجد الاقترانات المثلثية.

sinθ=المقابلالوتر=1213

cosθ=المجاورالوتر=513

tanθ=المقابلالمجاور=125

cscθ=الوترالمقابل=1312

secθ=الوترالمجاور=135

cotθ=المجاورالمقابل=512


قيم الاقترانات المثلثية لأي زاوية باستعمال نقطة معلومة: 

اذا كانت θ زاوية مرسومة في الوضع القياسي ، والنقطة P(x,y) تقع على ضلع الانتهاء للزاوية θ ، و r يمثل البعد بين النقطة P ونقطة الاصل ، حيث:

r=(x2+y2),r0 فإن الاقترانات المثلثية للزاوية θ تعرف كما يأتي: 

الوضع القياسي للزاوية


مثال: تقع النقطة (-3,-5) على ضلع انتهاء الزاوية θ المرسومة في الوضع القياسي . جد قيم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية θ .

الحل: 

ارسم الزاوية θ ، ثم أجد قيمة r .

r=(x2+y2)=((-3)2+(-5)2)=34
 

استعمل القيم: x=-3   ,   y=-5 ,  r=34

sinθ=yr=-534      ,     cosθ=xr=-334

tanθ=yx=-5-3=53    ,    cotθ=xy=-3-5=35

cscθ=ry=-345     ,    secθ=rx=-343

 

تعلمت في الأمثلة السابقة إيجاد قيم الاقترانات المثلثية للزاوية θ من دون معرفة قياسها ويأتعلم الآن طرائق إيجاد قيم هذه الاقترانات عندما يكون قياس الزاوية θ فقط معلوماً .

إيجاد قيم الاقترانات المثلثية للزاويا الربعية: 

إذا انطبق ضلع انتهاء الزاوية θ  المرسومة في الوضع القياسي على أحد المحورين الإحداثيين ، فإن هذه الزاوية تسمى زاوية ربعية .
 

الزوايا الربعية

ويمكن إيجاد قيم الاقترانات المثلثية للزوايا الربعية باختيار نقطة تقع على ضلع انتهاء الزاوية ثم إيجاد الاقتران المثلثي عند تلك النقطة .


مثال: جد قيمة كل اقتران مثلثي مما يأتي إذا كان معرفاً ، وإلا أكتب عبارة (غير معرف ):

1)  cot 270°    

ينطبق ضلع انتهاء الزاوية 270°  على المحور y السالب ، فأختار النقطة P(0,-1) على ضلع الانتهاء ، لأن r=1

cot(270°)=xy=0-1=0

قيمة الاقتران المثلثي

2)  csc(-π)

ينطبق ضلع انتهاء الزاوية -π على المحور  (x) السالب ، فأختار النقطة P(-1,0)  على ضلع الانتهاء ، لأن r=1

csc(-π)=ry=10

غير معرف

قيمة الاقتران المثلثي


إيجاد قيم الاقترانات المثلثية باستعمال الزوايا المرجعية : 

إذا كانت θ زاوية غير ربعية مرسومة في الوضع القياسي ، فإن الزاوية المرجعية للزاوية θ هي الزاوية الحادة θ'  المحصورة بين ضلع انتهاء الزاوية θ والمحور x . يبين الجدول الآتي العلاقة بين θ و θ'  لأي زاوية θ غير ربعية .
الاقترانات المثلثية باستعمال الزوايا المرجعية

تستعمل الزوايا المرجعية لإيجاد قيمة الاقترانات المثلثية لأي زاوية θ ، وتعتمد اشارة قيمة الاقتران المثلثي على الربع الذي يقع فيه ضلع انتهاء الزاوية θ  . 

أتبع الخطوات الآتية لإيجاد قيمة الاقترانات المثلثية لأي زاوية θ   .

• أجد قياس الزاوية المرجعية θ' 

• أجد قيمة الاقتران المثلثي للزاوية المرجعية θ' 

• أستعمل الربع الذي يقع فيه ضلع انتهاء الزاوية θ  ، لتحديد اشارة قيمة الاقتران المثلثي للزاوية θ، بالاستعانة بالمخطط المجاور .
 

اشارات النسب المثلثية

 

 • يبين الجدول الآتي بعض الاقترانات المثلثية الخاصة . 

بعض الاقترانات الخاصة
 

مثال: جد قيمة كل مما يأتي:

1)  sin135°

ضلع الانتهاء يقع في الربع الثاني، اذن نستعمل زاويتها المرجعية: 

θ'=180°-θ=180°-135°=45°

sin 45°=12

تنويه : الجيب موجب في الربع الثاني .

2)  csc 17π6

بما ان الزاوية 17π6  أكبر من 2π  ، فأنني أجد اولاً الزاوية المشتركة مع الزاوية 17π6 التي قياسها موجب ، وأقل من 2π  : 

17π6+2(-1)π=5π6

يقع ضلع انتهاء الزاوية 5π6 في الربع الثاني ، لذا أستعمل زاويتها المرجعية : 

θ'=π-θ=π-5π6=π6

csc 17π6=csc π6=2

 

 

 

 

 

 

تنويه : قاطع التمام موجب في الربع الثاني .


إيجاد قيم الاقترانات المثلثية لزاوية عُلم الربع الذي يقع فيه ضلع انتهائها ، وقيمة اقتران مثلثي أو أكثر لها .

تعلمتُ في الأمثلة السابقة إيجاد قيم الاقترانات المثلثية إذا علمت نقطة تقع على ضلع الزاوية θ، أو إذا علم قياسها . وسأتعلم في المثال الآتي إيجاد قيم الاقترانات المثلثية إذا علمت قيمة اقتران مثلثي أو أكثر للزاوية θ، والربع الذي يقع فيه ضلع انتهائها.

مثال: اذا كان tan θ=-4  ، حيث ، فأجد قيمة كل من الاقترانات المثلثية الخمسة المتبقية للزاوية θ

بما أن tan θ سالب و sin θ سالب ، فإن الزاوية θ تقع في الربع الرابع ، وهذا يعني أن إشارة x موجبة وإشارة y سالبة .

تنويه: يمكنني اختيار أي قيمة ل x  و y بحيث يكون ناتج القسمة مساوياً لـ -4

وبما أن tanθ=yx=-41 ، فأستعمل النقطة  (1,-4)لإيجاد قيمة r

r=(x2+y2)==(1)2+(-4)2=17

 

أستعمل r=17 ، y=-4 ، x=1 لإيجاد قيم الاقترانات المثلثية الأخرى: 

sinθ=yr=-417    ,    cscθ=ry=-174

secθ=rx=171=17  ,   cosθ=xr=117

cotθ=xy=1-4=-14


• معكوس اقتران الجيب ، وجيب التمام ، والظل 

يمكن إيجاد معكوس اقتران الجيب ، وجيب التمام ، والظل ضمن مجال محدد باستعمال تعريف الاقتران العكسي .

معكوس اقتران الجيب ، وجيب التمام ، والظل

لإيجاد قيمة اقتران عكسي عند نقطة ما ، تعكس قاعدةالاقتران الأصلي . فمثلاً ، بما أن sin π2=1 ، فإنّ sin-1(1)=π2

مثال: جد قيمة كل ممما يأتي (إن وجدت)، في الفترة المعطاة إزاء كل منها: 

1) sin-1(12)  ,   [-π2,π2]

 

الزاوية التي قيمة الجيب لها 12  في الفترة [-π2,π2]  هي π6  ، لذا ، فإن:

 sin-1(12)=π6

 

2) tan-1(1)    ,  (-π2,π2)

 

الزاوية التي قيمة الجيب لها 1  في الفترة [-π2,π2]  هي π4  ، لذا ، فإن : 

tan-1(1)=π4


تعلمتُ في الأمثلة السابقة إيجاد قيم الاقترانات المثلثية للزوايا الخاصة، وإيجاد الاقتران العكسي لقيمها. ولكن، إذا أردتُ إيجاد قيم الاقترانات المثلثية لغير هذه الزوايا، فإنني أستعمل الآلة الحاسبة، وكذلك الحال إذا أردت إيجاد الاقتران العكسي لقيم غير معروفة.

 

مثال: يمثل الشكل المجاور قطاعاً دائرياً مركزه A ، وقياس زاويته θ ، وطول نصف قطره 24 cm . إذا كانت الزاوية ADB قائمة، وطول (AD¯) هو 17.56 فأجد كلا مما يأتي:

ق

1) قياس زاوية القطاع  θ بالراديان

يمكن إيجاد قياس الزاوية θ عن طريق إيجاد قيمة معكوس اقتران جيب التمام باستعمال الآلة الحاسبة : 

cosθ=المجاورالوتر=17.5624

θ=cos-1(17.5624)

أضبط أولاً الآلة الحاسبة وفق نظام راديان ، ثم أجد cos-1(17.5624) كما يأتي : 

استعمال الآلة الحاسبة

 

إذن ، قياس زاوية القطاع هو 0.75 تقريباً .

 

 

2) مساحة القطاع : 
A=12 bc sinθ=23(24)2(0.75)216

اذن، مساحة القطاع هي: 216cm2

 

3) مساحة المنطقة المظللة .

يمكن إيجاد مساحة المنطقة المظللة بطرح مساحة  ABD من مساحة القطاع.

الخطوة 1 : نجد مساحة ∆ ABD .
A=12 bc sin θ=12 (17.56)(24) sin 0.75144
 
اذن ، مساحة ∆ ABD هي 144cm2 تقريباً .

الخطوة 2:  أطرح مساحة ∆ ABD من مساحة القطاع .

216-144=72

إذن ، مساحة المنطقة المظللة هي 72cm2 تقريباً .
 

 


مثال: يمثل الشكل المجاور قطاعاً دائرياً مركزه O ، وقياس زاويته θ ، وطول نصف قطره 16 cm . إذا كان طول القوس AB هو 9.6 cm ، فأجد كلاً مما يأتي:

قطاع دائري 

a) قياس زاوية القطاع θ بالراديان.

b) مساحة القطاع.

c) مساحة المنطقة المظللة.

الحل:

a) AB=16 θ     θ=9.616=0.6 rad

b) A=12r2θ==12(16)2(0.6)=76.8

c) A=76.8-12(16)2sin0.64.5cm2