رياضيات فصل أول

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 176

a) أرسُمُ في المُستوى الإحداثِيِّ المستطيلَ ABCD ، الذي طولُهُ a وحدةً، وعرضُهُ 2b وحدةً.

b) أرسُمُ في المُستوى الإحداثِيِّ المُثَلَّثَ قائمَ الزاويةِ HMN ، الذي فيهِ طولُ HM يُساوي a وحدةً، وطولُ NM يُساوي b وحدةً.

الحل : 

a) أرسُمُ في المُستوى الإحداثِيِّ المستطيلَ ABCD ، الذي طولُهُ a وحدةً، وعرضُهُ 2b وحدةً.

أجعل زاوية المُستطيل القائمة A على نقطة الأصل ؛ لِرسُمهُ في الرّبع الأوّل. • أفترض أنَّ AD يُمَثّلُ طول المستطيل ويُساوي a وحدة، وأنَّ AB يُمَثّل عرضه ويُساوي 2b وحدة. • أرسُم D على المحور x. وبما أنَّ طول AD يُساوي a وحدة، فإنَّ الإحداثِيّ y للنقطة D هُو 0 ، والإحداثيّ x هُو a • أرسُمُ B على المحورِ y. وبما أنَّ طولَ AB يُساوي 2b وحدةً، فإنَّ الإحداثِيَّ x للنقطةِ B هُوَ 0، والإحداثِيَّ y هُوَ 2b • أرسُمُ الرأسَ C، بحيثُ يكونُ إحداثِيّاهُ (a , 2b).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

b) أرسُمُ في المُستوى الإحداثِيِّ المُثَلَّثَ قائمَ الزاويةِ HMN ، الذي فيهِ طولُ HM يُساوي a وحدةً، وطولُ NM يُساوي b وحدةً.

أجعلُ رأسَ المُثَلَّثِ M على نقطةِ الأصلِ؛ لَِرسُمَهُ في الرُّبعِ الأوَّلِ.  • أرسُم الضلع MH  على المحور x. وبما أنَّ طول MH  يُساوي a وحدة، فإنَّ الإحداثِيّ y للنقطة H هُو 0 ، والإحداثيّ x هُو a • أرسُمُ الضلع MN  على المحورِ y. وبما أنَّ طولَ MN يُساوي 2b وحدةً، فإنَّ الإحداثِيَّ x للنقطةِ N هُوَ 0، والإحداثِيَّ y هُوَ  b.

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 177

أَجِدُ الإحداثيات المجهولة في كلٍّ من الأشكال الآتية : 

الحل : 

النقطة C (3a , 0)  النقطة E(0 , b)
النقطة D(0 , a) النقطة C (c , a)
النقطة L(c , a) النقطة K(3c , a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

أتحقق من فهمي صفحة 179

أكتبُ برهانًا إحداثِيًّا لأثبت أنَّ القطعةَ المُستقيمةَ الواصلةَ بينَ رأسِ المُثَلَّثِ قائمِ الزاويةِ ومُنتَصَفِ الوَتَرِ تُساوي نصفَ طولِ الوَتَرِ.

الحل :

الخُطوةُ 1: أرسُمُ المُثَلَّثَ في المُستوى الإحداثِيِّ. أرسُمُ المُثَلَّثَ ABC في المُستوى الإحداثِيِّ ، وَأُحَدِّدُ إحداثياتِ كلٍّ مِنْ رؤوسِهِ. الخُطوةُ 2 : أُحَدِّدُ المُعطياتِ والمطلوبَ. المعطيات  : في المثلث القائم ΔABC  ، النقطة M تقع في منتصف الوتر BC المطلوب : إثبات أنّ طول القطعة  AM = نصف طول الوتر  BC

 

 

 

 

 

 

 

 

الخُطوةُ 3 : البرهانُ 

أجد طول الوتر CB 

$CB = \sqrt{{(a - 0)}^2+ {(0 - b)}^2} =\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}$

أجد إحداثيي النقطة M باستخدام صيغة منتصف قطعة مستقيمة 

$M(\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2}) = M(\frac{a + 0}{2} , \frac{0 +b}{2}) = M(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$

أجد طول AM 

$$\begin{gathered} AM = \sqrt{{(\frac{a}{2} - 0)}^2+ {(\frac{a }{2} - 0)}^2} \\ = \sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{ b^2}{4} } \\ = \sqrt{\frac{a^2+ b^2}{4} } \\ \mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}}{\mathbf{2}} \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة 180

أكتبُ برهانًا إحداثِيًّا لأثبت أنَّهُ إذا كان في الشكل الرُّباعيّ ضلعان مُتوازيان ومُتطابقان فإنَّ الشكل الرُّباعيّ مُتوازي أضلاع.

الحل :

الخُطوة 1 : أرسُمُ متوازي الأضلاع في المُستوى الإحداثِيِّ. أرسُمُ متوازي الأضلاع ABCD في المُستوى الإحداثِيِّ ، وَأُحَدِّدُ إحداثياتِ كلٍّ مِنْ رؤوسِهِ. الخُطوة 2 : أُحَدِّدُ المُعطياتِ والمطلوبَ. المعطيات  : الشكل ABCD المُحدد رؤوسه فيه $\overline{AD} ll \overline{BC}$   المطلوب : إثبات أنّ $\overline{AB} ll \overline{DC}$  ولهما الطول نفسه

 

 

 

 

 

 

 

 

الخُطوة 3 : البرهانُ 

أجد طول كل من AB ، DC

$$\begin{gathered} AB = \sqrt{{(a - 0)}^2+ {(c - 0)}^2} =\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}} \\ DC = \sqrt{{(a+b- (b\left)\right)}^2+ {(c - 0)}^2} =\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

أجد ميل كل من AB  ،  DC 

 

ميل DC	ميل AB
$m = \frac{c - 0 }{a + b - b }= \frac{c}{a}$	$m = \frac{c - 0}{a - 0} = \frac{c}{a}$

 

 

 

بما أن الضلعان لهما نفس الطول والميل ، إذن الشكل متوازي أضلاع. 

---

أتحقق من فهمي صفحة 181

أُحَدِّدُ ما إذا كان $▱ ABCD$  ، الذي إحداثياتُ رؤوسِهِ $A(3 , 2) , B(4 , 0) , C(-2 , -3) , D(-3 , -1)$   مُستطيلًا أوْ معينًا أوْ مُرَبَّعًا.

الحل :

الخُطوة 1 : أرسُمُ الشكل ABCD في المُستوى الإحداثِيِّ  وَأُحَدِّدُ إحداثياتِ كلٍّ مِنْ رؤوسِهِ. الخُطوة 2 : أُحَدِّدُ المُعطياتِ والمطلوبَ. المعطيات  : الشكل ABCD المُحدد رؤوسه . المطلوب : تحديد ما إذا كان الشكل ABCD مُستطيلًا أوْ معينًا أوْ مُرَبَّعًا.

 

 

 

 

 

 

 

 

الخُطوة 3 : البرهانُ 

إذا كان قُطرا الشكل مُتطابقين فإنهُ مُستطيل ، وإذا كانا مُتعامدين فإنهُ معين ، وإذا كانا مُتطابقين وَمُتعامدين فإنه مُربع.

طول القطر AC

$AC = \sqrt{{(3+2)}^2+ {(2+3)}^2} =\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{50}}$

طول القطر DB

$DB = \sqrt{{(4+3)}^2+ {(0+1)}^2} =\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{50}}$

إذن القطران متطابقان 

أجد ميل كل من القطرين  : 

ميل القطر DB	ميل القطر AC
$m = \frac{-1 - 0}{-3 - 4} = \frac{1}{7}$	$m = \frac{2 + 3}{3 + 2} = 1$

 

 

 

إذن القطران متطابقان وغير متعامدان ؛ فالشكل مستطيل . 

---

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أرسُمُ كُلًّ مِنَ المُضَلَّعاتِ الآتيةِ في المُستوى الإحداثِيِّ ، مُحَدِّدًا إحداثياتِ رؤوسِ كلٍّ منها :

1) المُثَلَّثُ قائمُ الزاويةِ RMN ، الذي طولُ$\overline{MN }$ فيهِ يُساوي 3 وحداتٍ، وطولُ$\overline{MR }$يُساوي 4 وحداتٍ.

الحل :

2) المُرَبَّعُ ABCD ، الذي طولُ ضِلعِهِ 3a .

الحل :

3) المُثَلَّثُ قائمُ الزاويةِ مُتطابِقُ الضِّلعَيْنِ JGF ، الذي طولُ كلٍّ مِنْ ساقَيْهِ p وحدةً.

الحل :

4) المُثَلَّثُ مُتطابقُ الأضلاعِ QWR ، الذي طولُ ضلعِهِ 4b .

الحل : 

---

 

أَجِدُ الإحداثياتِ المجهولةَ في كلٍّ مِنَ الأشكالِ الآتيةِ : 

5) مُرَبَّعٌ	6) مُثَلَّثٌ	7) مُرَبَّعٌ
C(c,c)	P(a,0)   ,   Q(a,b)	T(2a,a)          U(2a , -a)

 

 

 

 

 

 

 

8) مُتوازي أضلاعٍ	9) معينٌ	10) مُستطيلٌ
m(0,0)   ,   N(0,a)  ,  P(b ,c) , Q(b,c)	A(b,0)	G(0 , 2b)  ,  F(5b,2b)

 

 

 

 

 

 

 

---

أكتبُ برهانًا إحداثِيًّا لأثبت كُلًّ ممّا يأتي :

11) إذا كانَ الشكلُ الرُّباعِيُّ مُتوازِيَ أضلاعٍ فإنَّ أضلاعَهُ المُتقابِلَةَ مُتطابقةٌ.

الحل :

• أرسُمُ متوازي الأضلاع ABCD في المُستوى الإحداثِيِّ ، وَأُحَدِّدُ إحداثياتِ كلٍّ مِنْ رؤوسِهِ. • المُعطياتِ والمطلوبَ. المعطيات  : الشكل ABCD المُحدد رؤوسه فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين   المطلوب : إثبات أنّ كل ضلعين متقابلين في الشكل متطابقين.

 

 

 

 

 

 

 

البرهانُ 

أجد طول الضلعين المتقابلين AB , DC

$$\begin{gathered} AB = \sqrt{{(a - 0)}^2+ {(c - 0)}^2} =\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}} \\ DC = \sqrt{{(a+b- (b\left)\right)}^2+ {(c - 0)}^2} =\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{c}}^{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

أجد طول الضلعين المتقابلين AD , BC

$$\begin{gathered} AD = \sqrt{{(b -0)}^2+ {(0 - 0)}^2} =\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }} \\ BC = \sqrt{{(a+b-a)}^2+ {(c - c)}^2} =\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }} \end{gathered}$$

---

 

12) إذا كانَ كلُّ ضِلعَيْنِ مُتقابِلَيْنِ في الشكلِ الرُّباعيِّ مُتطابِقَيْنِ فإنَّهُ مُتوازي أضلاعٍ.

الحل :

• أرسُمُ متوازي الأضلاع ABCD في المُستوى الإحداثِيِّ ، وَأُحَدِّدُ إحداثياتِ كلٍّ مِنْ رؤوسِهِ. • المُعطياتِ والمطلوبَ. المعطيات  : الشكل ABCD المُحدد رؤوسه فيه كل ضلعين متقابلين متطابقين    المطلوب : إثبات أنّ كل ضلعين متقابلين في الشكل متوازيين

 

 

 

 

 

 

 

البرهانُ 

أجد ميلي كل ضلعين متقابلين قإذا كان تساوى الميلين فإنّ الضلعين متوازيين  

ميل الضلع BC	ميل الضلع AD
$m = \frac{c -c}{a+b-a} = 0$	$m = \frac{0 - 0}{b - 0} = 0$

 

 

 

ميل الضلع DC	ميل الضلع AB
$m = \frac{c - 0}{a+b-b} = \frac{c}{a}$	$m = \frac{c - 0}{a - 0} = \frac{c}{a}$

 

 

 

---

 

13) العمودُ النازلُ مِنْ رأسِ المُثَلَّثِ المتطابقِ الضِّلعَيْنِ إلى القاعدةِ يُنَصِّفُ القاعدةَ.

الحل :

• أرسُمُ المثلث متطابق الضلعين ABC  في المُستوى الإحداثِيِّ ، وَأُحَدِّدُ إحداثياتِ كلٍّ مِنْ رؤوسِهِ. • المُعطياتِ والمطلوبَ. المعطيات  : الشكل ABC  المُحدد رؤوسه فيه AC = BC   المطلوب : إثبات أنّ العمودُ النازلُ مِنْ رأسِ المُثَلَّثِ إلى القاعدةِ يُنَصِّفُ القاعدةَ أي a = x

 

 

 

 

 

 

 

البرهانُ 

$$\begin{gathered} AC = \sqrt{{(a -0)}^2+ {(0 -p)}^2} = \sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{p}}^2 } \\ CB = \sqrt{{(x-0)}^2+{(0 - p)}^2} = \sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{p}}^2 } \\ \sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{p}}^2 } = \sqrt{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{p}}^2 } \\ {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{p}}^2 = {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{p}}^2 \\ \Rightarrow \left|a\right| = \left|x\right| \end{gathered}$$

---

 

14) أستعمِلُ المعلوماتِ المُعطاةَ على الشكلِ المُجاورِ، لأثبت باستعمالِ البرهانِ الإحداثِيِّ أنَّ .ΔDEC ≅ ΔBOC

 

 

 

 

 

الحل :

أطول أضلاع المثلث BOC	أطول أضلاع المثلث DEC
$$\begin{gathered} OB = |0 - h| = h \\ BC = \sqrt{{(h-h)}^2+{(k-0)}^2} = \sqrt{k^2} \\ CO =\sqrt{{(0-h)}^2+{(0-k)}^2} = \sqrt{h^2+k^2} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} DE = |2h - h| = h \\ DC =\sqrt{{(h-h)}^2+{(2k-k)}^2} = \sqrt{k^2} \\ CE = \sqrt{{(2h-h)}^2+{(2k-k)}^2} = \sqrt{h^2 +k^2} \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

---

 

15) أستعمِلُ المعلوماتِ المُعطاةَ على الشكلِ المُجاورِ، لأثبت باستعمالِ البرهانِ الإحداثِيِّ أنَّ .EG ≅ FH

 

 

 

 

 

الحل :

$$\begin{gathered} FH = \sqrt{{(a +b )}^2+ {(0 - c)}^2} \\ =\mathbf{ }\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{ }\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{\left(}\mathbf{c}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} EG = \sqrt{{(-a -b)}^2+ {(0 - c)}^2} \\ = \sqrt{{(-a -b)}^2+ {\left(c\right)}^2} \\ =\sqrt{ (-1{(a+b))}^2+ c^2} \\ =\mathbf{ }\sqrt{{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{ }\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{\left(}\mathbf{c}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

---

 

16) في الشكلِ المُجاورِ، إذا كانَ PQ ≅ RQ ، وكانَتْ M نقطةَ مُنتَصَفِ PQ وَ N نقطةَ مُنتَصَفِ RQ ، فَأُثبِتُ باستعمالِ البرهانِ الإحداثِيِّ أنَّ PN ≅ RM .

 

 

 

 

 

 

الحل 

$$\begin{gathered} M = (\frac{0 - 2a}{2},\frac{2b + 0}{2}) = M(-a , b) \\ RM = \sqrt{{(2a+a)}^2 +{(0 - b)}^2} \\ RM = \sqrt{{\left(3a\right)}^2 +{(-b)}^2} \end{gathered}$$ $RM = \sqrt{{\left(3a\right)}^2 + b^2}$

$$\begin{gathered} N = (\frac{0 + 2a}{2},\frac{2b + 0}{2}) = N(a , b) \\ PN = \sqrt{{(-2a-a)}^2 +{(0 - b)}^2} \\ PN = \sqrt{{(-3a)}^2 +{(-b)}^2} \end{gathered}$$ $PN= \sqrt{{\left(3a\right)}^2 +b^2}$

 

 

 

 

 

 

 

---

أُحَدِّدُ ما إذا كانَ $▱ JKLM$ المُعطاةُ إحداثياتُ رؤوسِهِ في كلٍّ ممّا يأتي ، معينًا أوْ مُستطيلً أوْ مُرَبَّعًا : 

17) J(-4 , 2) , K(0 , 3) , L(1, -1) , M(-3 , -2)                                          18) J(-2 , 7) , K(7 , 2) , L(-2 , -3) , M(-11 , 2)

19) J(5 , 0) , K(8  , -11) , L(-3 , -14) , M(-6 , -3)                                   20) J(-1 , 4) , K(-3 , 2) , L(2 , -3) , M(4 , -1)

الحل :

17) J(-4 , 2) , K(0 , 3) , L(1, -1) , M(-3 , -2) 

أجد طول كل من القطرين MK ،  JL

$$\begin{gathered} MK = \sqrt{{(-3-0)}^2+ {(-2 - 3)}^2} =\mathbf{ }\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{34}} \\ JL = \sqrt{{(-4 -1)}^2+ {(2 + 1)}^2} =\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{34}}\mathbf{ } \end{gathered}$$

أجد ميل كل من القطرين 

ميل MK  : $m = \frac{-2 -3}{-3 - 0} = \frac{5}{3}$

ميل JL  :  $m = \frac{-1 -2}{1 + 4} = -\frac{ 3}{5}$

بما أنّ القطرين متطابقين ومتعامدين فالشكل مربع . 

---

 18) J(-2 , 7) , K(7 , 2) , L(-2 , -3) , M(-11 , 2)

$$\begin{gathered} MK = \sqrt{{(-11-7)}^2+ {(2 - 2)}^2} =\mathbf{ }\mathbf{18} \\ JL = \sqrt{{(-2 +2)}^2+ {(7 + 3)}^2} =\mathbf{ }\mathbf{10} \end{gathered}$$

ميل MK  : $m = \frac{2 - 2}{-11 - 7} = 0$  الميل  = صفر إذن القطر أفقي 

ميل JL  :   $m = \frac{7 + 3}{-2 + 2} = \frac{10}{0}$  الميل غير معرف ، إذن القطر رأسي 

إذن القطران متعامدان وغير متطابقان ؛ فالشكل معين .

---

 19) J(5 , 0) , K(8  , -11) , L(-3 , -14) , M(-6 , -3) 

$$\begin{gathered} MK = \sqrt{{(8+6)}^2+ {(-11 + 3)}^2} =\mathbf{ }\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{65}}\mathbf{ }\mathbf{ } \\ JL = \sqrt{{(5 +3)}^2+ {(0 + 14)}^2} = \mathbf{2}\sqrt{\mathbf{65}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \end{gathered}$$

ميل MK  : $m = \frac{-11 +3}{8 + 6} =- \frac{14}{14} = -1$

ميل JL  :  $m = \frac{0 +14}{5 + 3} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

إذن القطران متطابقان وغير متعامدان ؛ إذن الشكل مستطيل.

---

20) J(-1 , 4) , K(-3 , 2) , L(2 , -3) , M(4 , -1)

 $$\begin{gathered} MK = \sqrt{{(-3-4)}^2+ {(2 + 1)}^2} =\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{58}}\mathbf{ }\mathbf{ } \\ JL = \sqrt{{(-1 -2)}^2+ {(4 + 3)}^2} = \sqrt{\mathbf{58}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \end{gathered}$$

ميل MK  :  $m = \frac{-1 -2}{ 4 + 3} =- \frac{3}{7}$

ميل JL  :  $m = \frac{4 + 3}{-1 -2 } =- \frac{7}{3}$

القطران متطابقان وعير متعامدان ؛ إذن الشكل مستطيل 

---

 

مهاراتُ التفكيرِ العُليا

21) تبريرٌ: أصَُنفُِّ ΔABC ، المرسومَ في المُستوى الإحداثِيِّ المُجاورِ، بحسبِ أضلاعِهِ وزواياهُ، مُبَرِّرًا إجابتي.

 

 

 

 

الحل :

$$\begin{gathered} AC = \sqrt{{(-2a-0)}^2+ {(0 -2a)}^2} = \sqrt{{(-2a )}^2+ {(-2a)}^2} = \sqrt{8a^2} \\ CB = \sqrt{{(0 -2a)}^2+ {(2a -0)}^2} = \sqrt{{(-2\mathrm{a} )}^2+ {\left(2\mathrm{a}\right)}^2} = \sqrt{8a^2} \\ AB = \sqrt{{(-2a-0)}^2+ {(0 -2a)}^2} = \sqrt{{(-2\mathrm{a} )}^2+ {(-2\mathrm{a})}^2} = \sqrt{8a^2} \end{gathered}$$

مثلث متطابق الأضلاع ومتطابق الزوايا. 

 

---

22) أكتشف الخطأ : تقول شذا إنَّ الشكل الرُّباعيّ PQRS ، الذي إحداثيات رؤوسه $P(0 , 2) , Q(3 , -4) , R(1 , -5) , S(-2 , 1)$  متوازي أضلاعٍ

وليس مُستطيلًا، وتقول ضُحى إنَّهُ مُستطيل. أيُّ الإجابتين صحيحة؟ أُبَرِّرُ إجابتي.

الحل :

إجابة ضحى صحيحة فالشكل مستطيل وكل مستطيل هو متوازي أضلاع زواياه الأربع قوائم وقطراه متطابقان ، بينما إجابة شذى غير صحيحة 

لأنه متوازي أضلاع وزواياه قوائم وقطراه متطابقان فالشكل مستطيل.   

---

 

23) تَحَدّ : مُتوازي أضلاع أحدُ رُؤوسِه النقطةُ (4 , 2) والرأس الآخَر النقطة (1 , 3) ونقطةُ تقاطع قُطرَيْه (1 , 0). أجَِدُ بَقِيَّةَ رُؤوسِه.

الحل :

النقطة (1،0) تقع منتصف القطرين ، أجد النقطة A ، والنقطة B من صيغة منتصف قطعة مستقيمة  

النقطة A  $$\begin{gathered} (0,1) = (\frac{x+3}{2},\frac{y+1}{2}) \\ \frac{x+3}{2} = 0 \Rightarrow x = -3 \\ \frac{y+1}{2} = 1 \Rightarrow y = 1 \end{gathered}$$

النقطة B  $$\begin{gathered} (0,1) = (\frac{x+2}{2},\frac{y+4}{2}) \\ \frac{x+2}{2} = 0 \Rightarrow x = -2 \\ \frac{y+4}{2} = 1 \Rightarrow y = -2 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أسئلة كتاب التمارين 

أرسُمُ كُلًّ مِنَ المُضَلَّعاتِ الآتيةِ في المُستوى الإحداثِيِّ ، مُحَدِّدًا إحداثياتِ رُؤوسِ كلٍّ منها :

1) مُثَلَّثٌ مُتطابِقُ الضِّلْعَيْنِ طولُ قاعدتِهِ 2b وارتفاعُهُ 2c . 

الحل :

    

2) مُرَبَّعٌ طولُ ضِلعِهِ 2a ، ويلتقي قُطراهُ في نقطةِ الأصلِ.

الحل :

3) مُثَلَّثٌ مُتطابِقُ الأضلاعِ طولُ قاعدتِهِ a.

الحل :

 

---

4) مُستطيلٌ طولُهُ 2k وحدةً وعرضُهُ k وحدةً.

الحل :

---

 

أَجِدُ الإحداثياتِ المجهولةَ في كلِّ شكلٍ مِنَ الأشكالِ الآتيةِ :  

5) مُستطيلٌ	6) شبهُ مُنحَرِفٍ	7) مُرَبَّعٌ
G(0,2b)	Y(0,c)  ,  W(a+b,c )	B(a,a)

 

 

 

 

 

 

 

8) مُثَلَّثٌ	9) مُثَلَّثٌ	10) مُتوازي أضلاعٍ
H(-h,k)  ,   G(h,k)	R(a,b)	E(a-b,c)

 

 

 

 

 

 

 

 

11) أستعمِلُ المعلوماتِ المُعطاةَ في الشكلِ الآتي ؛ لأثبت باستعمالِ البرهانِ الإحداثِيِّ أنَّ ΔODB ≅ ΔBDC

الحل : 

DB ضلع مشترك بين المثلثين 

أضلاع المثلث ODB	أضلاع المثلث BDC
$$\begin{gathered} OB =|2j - 0| =\mathbf{ }\mathbf{2}\mathit{j} \\ OD = \sqrt{{(j -0)}^2+ {(j -0)}^2} = \sqrt{\mathbf{2}{\mathbf{j}}^{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} CB =|2j - 0| = \mathbf{2}\mathit{j} \\ CD = \sqrt{{(2j -j)}^2+ {(2j -j)}^2} =\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{2}{\mathbf{j}}^{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

 

 

 

 

إذن المثلثين متطابقين. 

---

12) أستعمِلُ المعلوماتِ المُعطاةَ في الشكلِ الآتي ؛ لأثبت باستعمالِ البرهانِ الإحداثِيِّ أنَّ ΔOPQ ≅ ΔQRO

الحل : 

QO ضلع مشترك بين المثلثين 

أضلاع المثلث OPQ	أضلاع المثلث QRO
$$\begin{gathered} OP =\sqrt{{(h -0)}^2+ {(k -0)}^2} = \sqrt{{\mathbf{h}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{k}}^{\mathbf{2}}} \\ PQ = \sqrt{{(h -h)}^2+ {(K+j -k)}^2} = \sqrt{\mathbf{ }{\mathbf{j}}^{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} OR =\sqrt{{(0 -0)}^2+ {(j -0)}^2} = \sqrt{\mathbf{ }{\mathbf{j}}^{\mathbf{2}}} \\ RQ = \sqrt{{(h -0)}^2+ {(K+j -j)}^2} = \sqrt{{\mathbf{h}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{k}}^{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

إذن المثلثين متطابقين. 

---