رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي (صفحة 123)

بكم طريقة يمكن تكوين عدد فردي يتألف من 4 أرقام مختلفة باستعمال الأرقام : 1,2,3,4,5 ؟ 

الحل:

باستعمال مبدأ العد الأساسي : $2\times 3\times 4\times 3=72$
اذن ، يمكن تكوين هذا العدد بـ 72 طريقة .

---

أتحقق من فهمي (صفحة 124)
a) كم كلمة (ليس شرطاً أن يكون لها معنى) يُمكن تكوينها من جميع أحرف كلمة (HOUSE) من دون تكرار أي حرف فيها ؟ 

$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

b) كم كلمة تتألف من 3 أحرف (ليس شرطاً أن يكون لها معنى) يمكن تكوينها من أحرف كلمة (HOUSE) من دون تكرار أي حرف فيها ؟ 
$5\times 4\times 3=60$ 

---

أتحقق من فهمي (صفحة 126)

a) اشتركت 10 خيول في منافسة لسباق للخيل. بكم طريقة يمكن للخيول إنهاء السباق في المراكز الثلاثة الأولى؟
b) تمكن 4 طلبة من بلوغ المرحلة قبل النهائية لمسابقة الرياضيات الذهنية . بكم طريقة لهؤلاء الطلبة الوقوف متجاورين لالتقاط صورة معاً ؟
الحل: a) $$\begin{gathered} {}_n{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}{ \\ }_{10}{P}_3=\frac{10!}{7!}=\frac{10\times 9\times 8\times \cancel{7!}}{\cancel{7!}}=720 \end{gathered}$$ b) ${}_4{P}_4=4!=4\times 3\times 2\times 1=24$

---

أتحقق من فهمي (صفحة 128)

ألعاب: بكم طريقة يمكن اختيار فريق كرة سلة يضم 5 لاعبين من بين 8 لاعبين؟

الحل:

${}_8{C}_5= \frac{{}_8{P}_5}{5!}=\frac{ 8!}{5!(8 - 5)!}=\frac{8\times 7\times 6\times \cancel{5!}}{\cancel{5!}\left(3\right)!}=56$

---

أتحقق من فهمي (صفحة 130)

a) رتبت البطاقات الآتية عشوائياً في صف واحد . ما احتمال أن يكون حرف السين وحرف الميم في الترتيب المختار متجاوريين؟ 

b) صندوق فيه 16 كرة متماثلة ، كل منها حمل عدداً من بين الأعداد 1 الى 16 ، إذا سحبت كرتان معاً بصورة عشوائية ، فما احتمال أن تحمل الكرتان المسحوبتان عددين زوجيين؟

الحل:

a)$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{5\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 2}{7!}=\frac{5}{21}$

 

b) $P\left(A\right)=\frac{{\displaystyle \frac{8!}{2! 6!}}}{{\displaystyle \frac{16!}{2! 14!}}}=\frac{7}{30}$

---

أتحقق من فهمي (صفحة 132)

يراد تشكيل فريق عمل مكون من 7 موظفين في إحدى الشركات يختارون عشوائياً من بين 9 مبرمجين و 5 محاسبين :
1) ما احتمال أن يتألف الفريق من 4 مبرمجين و 3 محاسبين ؟
2) ما احتمال أن يضم الفريق 4 مبرمجين ، و 3 محاسبين من بينهم رئيس الفريق ونائبه.

الحل:

1) $n\left(A\right)={}_{9}C_4\times {}_{5}C_3$

$P\left(A\right)=\frac{{\displaystyle \frac{9!}{4! 5!}}\times {\displaystyle \frac{5!}{3! 2!}}}{{\displaystyle \frac{14!}{7! 7!}}}\approx 0.37$

2) $P\left(A\right)=\frac{{}_{9}P_2\times {}_{7}C_1\times {}_{5}C_4}{{}_{14}C_7}\approx 0.73$

---

أتدرَّب وأحُلُّ المسائل (صفحة 132)

أجد قيمة كلٍّ ممّا يأتي:

1) $8!$                          2) $9!-2\times 7!$                       3) $\frac{6!}{2! 3!}$   

4) $\frac{{}_{6}P_3 + {}_{7}P_4}{{}_{5}P_3}$          5) ${}_{8}C_3 + {}_{11}C_6$                    6) $\frac{{}_{12}C_4 + {}_{10}C_6}{{}_{6}C_2}$

الحل:

1) $8!=40320$         2) $9!-2\times 7!=352800$        3) $\frac{6!}{2! 3!}=60$

4) $\frac{960}{60}=16$           5) $25872$                               6) $47$ 

---

7) طعام: بكم طريقةً مختلفةً يُمكِن لشخص اختيار وجبة غداء تحوي طبقًا رئيسًا واحدًا، وطبق حساء، وطبق سَلطة، من قائمة الطعام المجاورة؟

الجواب:

$36$

---

كم عددًا مُؤلَّفًا من 4 أرقام يُمكِن تكوينه باستعمال الأرقام: $5 , 3 , 2 , 1$:
8) إذا سُمِح بالتكرار؟

9) إذا لم يُسمَح بالتكرار؟

الحل:

8) $4\times 4\times 4\times 4=256$

9) $4\times 3\times 2\times 1=24$

---

10) كم عددًا يحوي 6 أرقام مختلفة، ويقبل القسمة على 5، يُمكِن تكوينه باستعمال الأرقام: $5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0$؟
إرشاد: يقبل العدد القسمة على 5 إذا كانت آحاده 0 أو 5.

الجواب:

$2\times 4\times 4!=192$

---

11) كم عددًا زوجيًّا أقل من 900 يُمكِن تكوينه باستعمال الأرقام: $9 , 8 , 7 , 6 , 5$؛ شرط عدم استعمال الرقم أكثر من
مرَّة واحدة في أيِّ عدد؟

الجواب:

 $28$

---

هدايا: لدى هالة 6 أقراص مُدمَجة تحوي موضوعات تعليمية مُتنوِّعة، و 4 أقراص أُخرى تحوي مقاطع رياضية مُتعدِّدة. ترغب هالة في إهداء 4 من هذه الأقراص إلى صديقتها ردينة: 12) ما عدد طرائق اختيار الهدية؟ 13) ما عدد طرائق اختيار الهدية إذا ضمّنتها هالة قرصًا واحدًا على الأقل من كل نوع؟

الجواب:

12) ${}_{10}C_4=210$                  13) ${}_{6}C_1\times {}_{4}C_3+{}_{6}C_2\times {}_{4}C_2+{}_{6}C_3\times {}_{4}C_1=194$

 

أجد قيمة n في كلٍّ ممّا يأتي:

14) $n!=720$                    15) ${}_{n}P_2 = 42$                          16) ${}_{n}P_3=10\times {}_{n}P_2$                

17) ${}_{n}C_3=26n$                  18) ${}_{n}C_5 = {}_{n}C_7$                       19) ${}_{n}C_3 – {}_{(n-2)}C_3 = 64$

الحل:

14) $6$                               

15) $\frac{n!}{(n-2)!}=42 \to n(n*1)=42 \to n=7$

16) $\frac{n!}{(n-3)!}=10\times \frac{n!}{(n-2)!}$

$n(n-1)(n-2)=10n(n-1) \to n=12$

17) $\frac{n!}{(n-3)!3!}=26n \to \frac{n(n-1)(n-2)}{6}=26n \to n=14$

18) $\frac{n!}{(n-5)!5!}=\frac{n!}{(n-7)!7!} \to (n-5)(n-6)=42 \to n=12$

19) $\frac{n!}{(n-3)!3!}-\frac{(n-2)!}{(n-5)!3!}=64 \to n=10$

---

20) رياضة: يدير أحد الاتحادات الرياضية مجلسًا مُكوَّنًا من 14 سيدة و 10 رجال. قرَّر الاتحاد اختيار لجنة مُصغَّرة من المجلس تضمُّ 4 أعضاء بصورة عشوائية، ويُنتخَب منها رئيس للجنة، وأمين للسر، وأمينان للصندوق. ما احتمال أنْ تتألَّف اللجنة من 3 سيدات تتولّى إحداهن رئاسة اللجنة، ورجل واحد هو أمين سر اللجنة؟

الحل:

$$\begin{gathered} {}_{24}P_2\times {}_{22}C_2=127512 \\ {}_{14}P_1\times {}_{10}P_1\times {}_{13}P_2=21840 \\ P\left(A\right)=\frac{21840}{127512}\approx 0.17 \end{gathered}$$

---

21) زراعة: يضمُّ قسم التطوير في إحدى الشركات الزراعية 7 مهندسين زراعيين، منهم رنا وأحمد. ما احتمال اختيار رنا وأحمد لحضور ندوة عن المُنتَجات المُعالَجة وراثيًّا إذا كانت عملية الاختيار عشوائية؟

الحل:

${}_{7}C_2=21 \to P\left(A\right)=\frac{1}{21}$

---

عائلة تضمُّ 6 أولاد و 3 بنات. أرادت الأم اختيار 4 منهم لإعداد وجبة العشاء:
22) ما احتمال اختيار اثنين من الأولاد، واثنتين من البنات لإعداد وجبة العشاء؟
23) ما احتمال اختيار ولد لإعداد الشاي، وولد لطهي الطعام، وبنتين لتجهيز المائدة؟

الحل:

22) ${}_{6}C_2\times {}_{3}C_2=45 , {}_{9}C_4=126$

        $P\left(A\right)=\frac{45}{126}\approx 0.36$

23) ${}_{6}P_2\times {}_{3}C_2=90$

---

24) هندسة: إذا اختيرت 3 نقاط عشوائيًّا من بين النقاط: A, B, C, D, E, F, G, H في الشكل المجاور، فما احتمال أنْ تكون هذه النقاط على استقامة واحدة؟

الحل:

${}_{8}C_3=56$

$P\left(A\right)=\frac{4}{56}$

---

مهارات التفكير العليا
25) تبرير: متى يكون ${}_{n}C_r = {}_{n}P_r$ ؟ أُبرِّر إجابتي.

الحل:

$\frac{n!}{(n-r)!r!}=\frac{n!}{(n-r)!} \to r!=1 \to r=0 or r=1$
 

---

26) مسألة مفتوحة: أكتب مسألة تتضمَّن حادثًا احتماله $\frac{1}{{}_{10}C_3}$.

اجابة محتملة:

يراد اختيار لجنة ثلاثية من بين 10 موظفين في شركة منهم سعيد و أمين وصادق ، ما احتمال ان تتكون اللجنة من هؤلاء الزملاء الثلاثة ؟ الاجابة : $\frac{1}{{}_{10}C_3}$

---

27) تبرير: بلال وصالح لاعبان في فريق كرة القدم للصف الحادي عشر الذي يضم 14 لاعبًا. أراد معلِّم التربية الرياضية
أنْ يُوزِّع عشوائيًّا على كل لاعب قميصًا رياضيًّا من القمصان المُرقَّمة من 1 إلى 14 . ما احتمال حصول صالح على
القميص رقم 9، وحصول بلال على القميص رقم 10 ؟ أبرر إجابتي.

الحل:

    أحتمال حصول صالح على القميص رقم 9 : 
P(A)=12P2/14P2=66/91
    أحتمال حصول بلال على القميص رقم 10  : 
P(A)=12P2/14P2=132/182=66/91
الترتيب مهم ، ويجب استعمال التباديل.

---

أسئلة كتاب التمارين

أجد قيمة كلٍّ ممّا يأتي:

1) $\frac{8!}{4!}$                 2) ${}_{7}P_3$                  3) ${}_{7}C_3$

4) ${}_{9}C_0$               5) ${}_{5}P_5$                  6) $\frac{6! \times {}_{4}C_2}{{}_{10}C_3}$

الجواب:

1) $1680$              2) $210$                 3) $35$

4) $1$                   5) $120$                 6) $\frac{6! \times {}_{4}C_2}{{}_{10}C_3}=36$

---

 7) لدى أحمد 3 أزواج مختلفة من الأحذية، و 4 بناطيل مختلفة، و 4 قمصان مختلفة، و 3 ربطات عنق مختلفة. بكم طريقةً مختلفة يُمكِن أنْ يظهر أحمد مُرتدِيًا زوجًا من الأحذية، وبنطالًًا، وقميصًا، مع ربطة عنق، أو من دونها؟

الجواب:

 $192$

---

8) اجتمع في قاعة 20 شخصًا، ثم بادر كلٌّ منهم إلى مصافحة جميع الأشخاص الآخرين الموجودين في القاعة. كم مصافحةً شهدتها هذه القاعة؟

الجواب:

${}_{20}C_2=190$

---

9) في متحف 20 لوحة فنية، منها 8 لوحات لفنّان واحد، والبقية لفنّانين آخرين. إذا اختار المسؤول عن المتحف 4 لوحات عشوائيًّا لعرضها في أحد المعارض، فما عدد طرائق اختيار اللوحات الأربع إذا كان بينها لوحتان على الأكثر من لوحات الفنّان صاحب اللوحات الثماني؟

الجواب:

${}_{8}C_2\times {}_{12}C_2+{}_{8}C_1\times {}_{12}C_3+{}_{12}C_4=4103$

---

10) سباق: شارك كلٌّ من أحمد، وسلمان، وزياد في سباق 400 m مع 7 متسابقين آخرين. ما احتمال أنْ يفوز هؤلاء الثلاثة بالمراكز الثلاثة الأولى من السباق؟

الجواب:

${}_{7}C_3\times {}_{12}C_5+{}_{7}C_4\times {}_{12}C_4+{}_{7}C_5\times {}_{12}C_3=49665$

---

11) نظر محمد في برنامج توزيع الدروس ليوم الخميس، فوجده يحوي 6 حصص للمباحث الآتية: الرياضيات، واللغة العربية، والفيزياء، واللغة الإنجليزية، والتربية الإسلامية، والكيمياء. إذا حُدِّد ترتيب هذه الحصص في البرنامج عشوائيًّا، فما احتمال أنْ تكون الحصتان الأُوليان هما الفيزياء واللغة الإنجليزية بأيِّ ترتيب مُمكِن؟

الجواب:

$P\left(A\right)=\frac{7}{168}$

---

رتَّب فؤاد 4 كؤوس مختلفة ودرعين مختلفتين عشوائيًّا في صف واحد ضمن خزانة عرض. أجد احتمال كلٍّ ممّا يأتي:
12) أنْ تكون الكؤوس الأربع متجاورة.

13) أنْ يكون الدرعان في وسط الصف.

الجواب:

12) $P\left(A\right)=\frac{144}{720}=0.2$ 

13) $P\left(A\right)=\frac{240}{720}\approx 0.3$

---