رياضيات فصل أول

التاسع

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 87

أصفُ كيف يرتبطُ مُنحنى كل اقتران مما يأتي بمُنحنى الاقتران الرئيس f(x) = x2 ، ثم أُمثلُهُ بيانيا :

a) p(x) = x2+3                               b) t(x) = x2-4

الحل : 

b) t(x) = x2-4 a) p(x) = x2+3 

 انسحاب رأسي للاقتران f(x) بمقدار 4 وحدات إلى الأسفل 

أختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  
  طرح 4 من الإحداثِيِّ y للنقاطِ التي تم اختيارها

   انسحاب رأسي للاقترانf(x) بمقدار 3 وحدات إلى الأعلى

  أختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  
  أضافة  3 للإحداثِيِّ y للنقاطِ التي تم اختيارها

 

 


 

أتحقق من فهمي صفحة 88

أصفُ كيف يرتبطُ مُنحنى كل اقتران مما يأتي بمُنحنى الاقتران الرئيس f(x) = x2  ، ثم أُمثلُهُ بيانيا :

a) p(x) = (x-4)2                                         b) t(x) = (x+3)2  

 

الحل : 

b) t(x) = (x+3)2   a) p(x) = (x-4)2                          

 انسحاب أفقي للاقتران f(x) بمقدار 3 وحدات إلى اليسار 

أختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  

طرح 3 من الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها

 انسحاب أفقي للاقتران f(x) بمقدار 4 وحدات إلى اليمين

أختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  

أُضافة 4 إلى الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها

 


  أتحقق من فهمي صفحة 90 

أصفُ كيف يرتبطُ مُنحنى كل اقتران مما يأتي بمُنحنى الاقتران الرئيس f(x) = x2  ، ثم أُمثلُهُ بيانيا : 

a) g(x) = 3x2                                     b) g(x) = 13x2

الحل : 

b) g(x) = 13x2 a) g(x) = 3x2        

تضييقٌ رأسي لِمُنحنى f(x) بمعاملٍ مقدارُهُ 13  

اختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  

 ضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي تم اختيارها في 13   

هُوَ توسيعٌ رأسيٌّ لِمُنحنى f(x) بمعاملٍ مقدارُهُ 3

اختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  

 ضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي تم اختيارها في 3  

                                                                                                 


 

أتحقق من فهمي صفحة 92

أصفُ كيف يرتبطُ مُنحنى كل اقتران مما يأتي بمُنحنى الاقتران الرئيس f(x) = x2 ، ثم أُمثلُهُ بيانيا : 

a) -12x2                                        b) -x2-4

الحل : 

b) -x2-4 a) g(x) = -12x2     

انعكاس لمنحنى f(x) ثم انسحاب إلى الأسفل 4 وحدات

اختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  

ثم ضرب الإحداثي y في 1- ثم طرح 4 من الإحداثي y

انعكاس لمنحنى f(x) ثم تضييق رأسي بمعامل مقداره 12

اختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  

 ضرب الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي تم اختيارها في 12- 

 


أتحقق من فهمي صفحة 93

إذا كانَ مُنحنى الاقترانِ (g(x ناتجًا مِنَ انعكاسِ مُنحنى الاقترانِ الرئيسِ f(x) = x2 حولَ المحورِ x ، ثمَّ تضييقٍ رأسيٍّ بِمُعاملٍ مقدارُهُ 12 ، ثمَّ انسحابٍ إلى اليمينِ بِمِقدارِ 3 وحداتٍ، ثمَّ انسحابٍ إلى الأسفلِ بِمِقدارِ 5 وحداتٍ، فَأُجيبُ عَنِ الأسئلةِ الآتيةِ:

a) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ (g(x باستعمالِ صيغةِ الرأسِ.

b) أَجِدُ إحداثِيَّيْ رأسِ القطعِ، ومُعادلةَ محورِ التَّماثُلِ، والقيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى للاقترانِ (g(x.

c) أُمَثِّلُ الاقترانَ (g(x بيانيًّا.

الحل : 

a) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ (g(x باستعمالِ صيغةِ الرأسِ.

• بما أنَّ الانعكاسَ حولَ المحورِ x ، ومعاملَ التضييق الرأسيِّ 12  ، فإنَّ : a = -12

• بما أنَّ الانسحابَ الأفقيَّ إلى اليمين بِمِقدارِ 3 ، فإنَّ  h =  3

• بما أنَّ الانسحابَ الرأسيَّ إلى الأسفل  بِمِقدارِ 5 ، فإنَّ : k = - 5 

صيغةُ الرأسِ للاقترانِ التربيعيِّ  g(x) = a(x-h)2+k
بتعويض a = -12  , h = 3  , k =-5  g(x) = -12(x - 3)2 - 5

 

 

 

 

b) أَجِدُ إحداثِيَّيْ رأسِ القطعِ، ومُعادلةَ محورِ التَّماثُلِ، والقيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى للاقترانِ (g(x.

بما أنَّ g(x) = -12(x - 3)2 - 5 ، فإنَّ:

• رأسُ القطعِ ( 5 - , 3)

• مُعادلةُ محورِ التماثلِ x = 3

• القيمةُ العُظمى 5 -

 

c) أُمَثِّلُ الاقترانَ (g(x بيانيًّا.

 


 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أصفُ كيف يرتبطُ مُنحنى كل اقتران مما يأتي بمُنحنى الاقتران الرئيس f(x) = x2  ، ثم أُمثلُهُ بيانيا : 

 1) h(x) = x2+5 2) g(x) = x2-6 3) h(x) =(x-2)2   
4) g(x) =(x+1)2 5) v(x) = (x-1)2+3 6) u(x) =(x+2)2-4  
7) l(x) = 14x2  8) m(x) = 2x2-3 9) h(x) = -13x2-1    
10) g(x) = -4(x+2)2+3 11) p(x) =(x-7)2+1    12) t(x) =2(x-3)2 -10 

 

 

 

 

 

الحل : 

 1) h(x) = x2+5 2) g(x) = x2-6

انسحاب رأسي للاقتران f(x) بمقدار 5 وحدات إلى الأعلى 

أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  
  وأجمع 5 إلى الإحداثِيِّ y للنقاطِ التي تم اختيارها

انسحاب رأسي للاقتران f(x) بمقدار 6 وحدات إلى الأسفل 

أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  
  وأطرح 6 من الإحداثِيِّ y للنقاطِ التي تم اختيارها

 

4) g(x) =(x+1)2 3) h(x) =(x-2)2   

 انسحاب أفقي للاقتران f(x) بمقدار 1 وحدة إلى اليسار 

أختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  

طرح 1 من الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها

 انسحاب أفقي للاقتران f(x) بمقدار وحدتين إلى اليمين

أختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  

أُضافة 2 إلى الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها

 

6) u(x) =(x+2)2-4   5) v(x) = (x-1)2+3

انسحاب إلى اليسار بمقدار وحدتين ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  

طرح 2 من الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها ، ثم انسحاب الى الأسفل

بمقدار 4 وحدات وذلك بطرح 4 من الإحداثي y

 

انسحاب إلى اليمن بمقدار وحدة ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  

أُضافة 1 إلى الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها ، ثم انسحاب الى الأعلى

بمقدار 3 وحدات وذلك بإضافة 3 إلى الإحداثي y

 

 

8) m(x) = 2x2-3 7) l(x) = 14x2 

توسيع رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ 2 لِمُنحنى ( f(x

 أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) 

أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في 2 ، ثم انسحاب إلى الأسفل 3

وحدات وذلك بطرح 3 من الإحداثي y

تضييقٌ رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ  14 لِمُنحنى ( f(x

 أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) 

أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في 14

 

 

10) g(x) = -4(x+2)2+3 9) h(x) = -13x2-1    

 

انعكاس وتوسيع رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ 4 ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ

التي تقعُ على مُنحنى f(x) ، أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في 4- 

 ، ثم انسحاب إلى الأعلى بمقدار 3 وحدات  

أضيف  3 إلى الإحداثِيِّ y للنقاط الناتجة من الخُطوة السابقة.

 

انعكاس وتضييقٌ رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ 13 ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ

التي تقعُ على مُنحنى f(x) ، أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في -13 ، ثم انسحاب

إلى الأسفل بمقدار وحدة ، أطرح  1 من الإحداثِيِّ y للنقاط الناتجة من الخُطوة السابقة

 

12) t(x) =2(x-3)2 -10  11) p(x) =(x-7)2+1   

توسيع رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ 2 ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ

التي تقعُ على مُنحنى f(x) ، أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في 2

 ، ثم انسحاب إلى اليمين بمقدار 3 وحدات  

أضيف 3 إلى الإحداثِيِّ x ، ثم انسحاب إلى الأسفل 10 وحدات ، أطرح 10 من الإحداثي y 

انسحاب إلى اليمن بمقدار 7 وحدات ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  

أُضافة 7 إلى الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها ، ثم انسحاب الى الأعلى

بمقدار وحدة وذلك بإضافة 1 إلى الإحداثي y

 


 

أَصِلُ الاقترانَ بتمثيلِهِ البيانِيِّ في كلٍّ ممّا يأتي : 

13) a(x) = 4(x+8)2-3                                     14) b(x) = -2(x-8)2+3                              15) c(x) = -12(x+3)+8

                                                         

الحل : 

13) a(x) = 4(x+8)2-3 

 

 

 

 

 

 

14) b(x) = -2(x-8)2+3

 

 

 

 

 

 

15) c(x) = -12(x+3)+8

 

 

 

 

 

 


 

إذا كانَ مُنحنى الاقترانِ (g(x ناتجًا مِنِ انعكاسِ مُنحنى الاقترانِ الرئيسِ  f(x) = x2 حولَ المحورِ x ، ثمَّ توسيعٍ رأسيٍّ بِمِعاملٍ مقدارُهُ 4، ثمَّ

انسحابٍ إلَى الأعلى بِمِقدارِ وحدتَيْنِ، فَأُجيبُ عنِ الأسئلةِ الآتيةِ:

16) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ (g(x باستعمالِ صيغةِ الرأسِ.

17) أَجِدُ إحداثِيَّيْ رأسِ القطعِ، ومُعادلةَ محورِ التَّماثلِ، والقيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى للاقترانِ (g(x.

18) أُمَثِّلُ الاقترانَ (g(x بيانيًّا.

الحل : 

16) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ (g(x باستعمالِ صيغةِ الرأسِ.

• بما أنَّ الانعكاسَ حولَ المحورِ x ، ومعاملَ التوسيع الرأسيِّ 4  ، فإنَّ : a = -4 

• بما أنَّ لا يوجد انسحاب أفقيَّ فإنَّ  h =  0

• بما أنَّ الانسحابَ الرأسيَّ إلى الأعلى  بِمِقدارِ 2 ، فإنَّ : k = 2 

صيغةُ الرأسِ للاقترانِ التربيعيِّ  g(x) = a(x-h)2+k
بتعويض a = -4  ,  h = 0 ,  k = 2 g(x) = -4(x-0)2+2
بالتبسيط  g(x) = -4x2+2

 

 

 

 


17) أَجِدُ إحداثِيَّيْ رأسِ القطعِ، ومُعادلةَ محورِ التَّماثلِ، والقيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى للاقترانِ (g(x.

بما أنّ  g(x) = -4x2+2

• رأسُ القطعِ ( 2 , 0)

• مُعادلةُ محورِ التماثلِ x = 0

• القيمةُ العُظمى 2


18) أُمَثِّلُ الاقترانَ (g(x بيانيًّا.

 


 

آلياتٌ ثقيلةٌ : يُمَثِّلُ الاقترانُ l(t) = -t2+200العلاقةَ بينَ عددِ لتراتِ الوقودِ l(t) المُتبقيةِ في خزّانِ آليَّةٍ ثقيلةٍ والزمنِ t بالساعاتِ خلالَ مدَّةِ عملِها ؛ حيثُ t ≥ 0

 

 

 

 

19) ماذا تُمَثِّلُ نقطةُ رأسِ القطعِ المُكافِئ في سياقِ المسألةِ؟ أُبَرِّرُ إجابتي.

الحل : 

نقطةُ رأسِ القطعِ المُكافِئ (200 ، 0) كمية الوقود المتوفرة في الخزان قبل بدء العمل . 

20) هلْ يمكنُ أنْ يكونَ معاملُ t2 موجبًا في مواقفَ حياتيَّةٍ مشابهةٍ؟ أُبَرِّرُ إجابتي.

الإجابة : لا  ، لأن إذا كان معامل t موجبًا فإن كمية الوقود ستزيد عند عمل الآلة ومن المفترض أن الوقود سينقص إذا عملت الآلة . 

 

21) أصنف العلاقة بين منحنى الاقتران l(t) ، ومنحنى الاقتران الأصلي: f(t)=t2 

الإجابة: انعكاس حول المحور t، وإزاحة للأعلى 200 وحدة.


 

مهاراتُ التفكيرِ العُليا

تبريرٌ : في الشكلِ الآتي ، إذا كانَ مُنحنى الاقترانِ g ناتجًا مِنْ تحويلٍ هندسيٍّ أوْ أكثرَ لِمُنحنى الاقترانِ f، فَأُجيبُ عَنِ السؤالَيْنِ الآتِيَيْنِ:

22) أَصِفُ التحويلاتِ الهندسيَّةَ التي مَرَّ بها مُنحنى الاقترانِ f لينتجَ الاقترانُ g، مُبَرِّرًا إجابتي.

الإجابة : انعكاس لمنحنى الاقتران f(x) حول المحور x ، وانسحاب أفقي إلى اليمين بمقدار 4 وحدات . 

23) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ g بصيغةِ الرأسِ.

الحل : 

انعكاس لمنحنى الاقتران f(x) حول المحور x  ، إذن  : a = -1

الرأس : (0 ، 4-) ، إذن  : h = -4  ,  k = 0 

صيغةُ الرأسِ للاقترانِ التربيعيِّ g(x) = a(x-h)2+k
بتعويض a = -1 , h = -4 , k = 0 g(x) = -(x-(-4))2+0
بالتبسيط   g(x) = -(x+4)2 

 

 

 

 


 

24) تَحَدٍّ : أكتبُ بصيغةِ الرأسِ قاعدةَ الاقترانِ المُمَثَّلِ بيانيًّا في الشكلِ الآتي:

الحل : 

الرأس : (4 ، 2-) ، إذن  : h = -2  ,  k = 4 

صيغةُ الرأسِ للاقترانِ التربيعيِّ g(x) = a(x-h)2+k
بتعويض g(x) = (x-(-2))2+4
بالتبسيط   g(x) = (x+2)2+4

 

 

 


 

أسئلة كتاب التمارين 

أصفُ كيف يرتبطُ مُنحنى كل اقتران مما يأتي بمُنحنى الاقتران الرئيس f(x) = x2 ، ثم أُمثلُهُ بيانيا :

1) h(x) = x2+4                               2) g(x) =(x-2)2 -3                           3) h(x) =-(x+9)2   4) g(x) =x2-7                                5) v(x) =13 x2 -6                                6) u(x) =2(x-4)2+1 

الحل : 

  2) g(x) =(x-2)2 -3 1) h(x) = x2+4 

انسحاب إلى اليمين بمقدار 2 وحدة 

أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  
  وأجمع 2 إلى الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها

ثم انسحاب إلى الأسفل بمقدار 3 وحدات ، أطرح 3 من الإحداثي y

انسحاب رأسي للاقتران f(x) بمقدار 4 وحدات إلى الأعلى 

أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  
  وأجمع 4 إلى الإحداثِيِّ y للنقاطِ التي تم اختيارها

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) g(x) =x2-7    3) h(x) =-(x+9)2

انسحاب رأسي للاقتران f(x) بمقدار 7 وحدات إلى الأسفل 

أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)  
  وأطرح 7 من الإحداثِيِّ y للنقاطِ التي تم اختيارها

انعكاس لمنحنى الاقتران f(x) حول المحور x ، وانسحاب أفقي

إلى اليسار بمقدار 9 وحدات 

أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x)   
وأطرح 9 من الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 6) u(x) =2(x-4)2+1 5) v(x) =13 x2 -6

توسيع رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ 2 ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ

التي تقعُ على مُنحنى f(x) ، أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في 2

 ، ثم انسحاب إلى اليمين بمقدار 4 وحدات  

أضيف 4 إلى الإحداثِيِّ x ، ثم انسحاب إلى الأعلى وحدة   ، أضيف 1 إلى الإحداثي y 

تضييقٌ رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ 13 

 

أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) ، 

أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في  13

 ، ثم انسحاب إلى الأسفل بمقدار 6 وحدات  ، أطرح 6 من الإحداثي y

 


 

7) بيسبول : رمى لاعبٌ كرةَ البيسبولِ في الهواءِ، فكانَ ارتفاعُها بالقدمِ h مُعطًى بالاقترانِ h(t) = -16(t-1)2+20 ؛ حيثُ t الزمنُ بالثواني بعدَ إفلاتِ الكرةِ مِنْ يدِ اللاعبِ.

أَصِفُ العلاقةَ بينَ مُنحنى الاقترانِ h وَمُنحنى الاقترانِ h(t) = t2 .

الحل : 

انعكاس لمنحنى الاقتران h(t) حول المحور x ، وتوسيع بمعامل مقداره 16 ، وانسحاب إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة ، وانسحاب إلى الأعلى بمقدار 20 وحدة . 


إذا كانَ مُنحنى الاقترانِ (g(x ناتجًا مِنْ تضييقٍ رأسيٍّ لِمُنحنى الاقترانِ الرئيسِ f(x) = x2  بمعاملٍ مقدارُهُ 14 ، ثمَّ انسحابٍ إلى الأسفلِ بمقدارِ 3

وحداتٍ، ثمَّ انسحابٍ إلى اليسارِ بمقدارِ وحدتَيْنِ، فَأُجيبُ عَنِ الأسئلةِ الآتيةِ :

8) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ ( g(x باستعمالِ صيغةِ الرأسِ.

9) أَجِدُ إحداثِيَّي رأسِ القطعِ، ومعادلةَ محورِ التَّماثُلِ، والقيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى للاقترانِ (g(x.

10) أُمَثِّلُ الاقترانَ ( g(x بيانِيًّا. 

الحل : 

8) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ (g(x باستعمالِ صيغةِ الرأسِ.

• بما أنَّ الانعكاسَ حولَ المحورِ x ، ومعاملَالتضييق الرأسيِّ 14  ، فإنَّ : a = -14

• بما أنَّ الانسحابَ الأفقيَّ إلى اليسار بِمِقدارِ 2 ، فإنَّ  h =  2

• بما أنَّ الانسحابَ الرأسيَّ إلى الأسفل  بِمِقدارِ 3 ، فإنَّ : k = -3

صيغةُ الرأسِ للاقترانِ التربيعيِّ g(x) = a(x-h)2+k
بتعويض  g(x) = -14(x-2)2-3

 

 

 

9) أَجِدُ إحداثِيَّي رأسِ القطعِ، ومعادلةَ محورِ التَّماثُلِ، والقيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى للاقترانِ (g(x.

بما أنّ : g(x) = -14(x-2)2-3 ، فإنّ : 

• رأسُ القطعِ ( 3 - , 2)

• مُعادلةُ محورِ التماثلِ x = 2

• القيمةُ العُظمى 3 -


10) أُمَثِّلُ الاقترانَ (g(x بيانِيًّا.