حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين
أسئلة أتحقق من فهمي
أتحقق من فهمي صفحة 87
أصفُ كيف يرتبطُ مُنحنى كل اقتران مما يأتي بمُنحنى الاقتران الرئيس ، ثم أُمثلُهُ بيانيا :
الحل :
انسحاب رأسي للاقتران f(x) بمقدار 4 وحدات إلى الأسفل أختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) |
انسحاب رأسي للاقترانf(x) بمقدار 3 وحدات إلى الأعلى أختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) |
![]() |
![]() |
أتحقق من فهمي صفحة 88
أصفُ كيف يرتبطُ مُنحنى كل اقتران مما يأتي بمُنحنى الاقتران الرئيس ، ثم أُمثلُهُ بيانيا :
الحل :
انسحاب أفقي للاقتران f(x) بمقدار 3 وحدات إلى اليسار أختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) طرح 3 من الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها |
انسحاب أفقي للاقتران f(x) بمقدار 4 وحدات إلى اليمين أختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) أُضافة 4 إلى الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها |
![]() |
![]() |
أتحقق من فهمي صفحة 90
أصفُ كيف يرتبطُ مُنحنى كل اقتران مما يأتي بمُنحنى الاقتران الرئيس ، ثم أُمثلُهُ بيانيا :
الحل :
تضييقٌ رأسي لِمُنحنى f(x) بمعاملٍ مقدارُهُ اختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) ضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي تم اختيارها في |
هُوَ توسيعٌ رأسيٌّ لِمُنحنى f(x) بمعاملٍ مقدارُهُ 3 اختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) ضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي تم اختيارها في 3 |
![]() |
![]() |
أتحقق من فهمي صفحة 92
أصفُ كيف يرتبطُ مُنحنى كل اقتران مما يأتي بمُنحنى الاقتران الرئيس ، ثم أُمثلُهُ بيانيا :
الحل :
انعكاس لمنحنى f(x) ثم انسحاب إلى الأسفل 4 وحدات اختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) ثم ضرب الإحداثي y في 1- ثم طرح 4 من الإحداثي y |
انعكاس لمنحنى f(x) ثم تضييق رأسي بمعامل مقداره اختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) ضرب الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي تم اختيارها في |
![]() |
![]() |
أتحقق من فهمي صفحة 93
إذا كانَ مُنحنى الاقترانِ (g(x ناتجًا مِنَ انعكاسِ مُنحنى الاقترانِ الرئيسِ حولَ المحورِ x ، ثمَّ تضييقٍ رأسيٍّ بِمُعاملٍ مقدارُهُ ، ثمَّ انسحابٍ إلى اليمينِ بِمِقدارِ 3 وحداتٍ، ثمَّ انسحابٍ إلى الأسفلِ بِمِقدارِ 5 وحداتٍ، فَأُجيبُ عَنِ الأسئلةِ الآتيةِ:
a) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ (g(x باستعمالِ صيغةِ الرأسِ.
b) أَجِدُ إحداثِيَّيْ رأسِ القطعِ، ومُعادلةَ محورِ التَّماثُلِ، والقيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى للاقترانِ (g(x.
c) أُمَثِّلُ الاقترانَ (g(x بيانيًّا.
الحل :
a) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ (g(x باستعمالِ صيغةِ الرأسِ.
• بما أنَّ الانعكاسَ حولَ المحورِ x ، ومعاملَ التضييق الرأسيِّ ، فإنَّ :
• بما أنَّ الانسحابَ الأفقيَّ إلى اليمين بِمِقدارِ 3 ، فإنَّ h = 3
• بما أنَّ الانسحابَ الرأسيَّ إلى الأسفل بِمِقدارِ 5 ، فإنَّ : k = - 5
صيغةُ الرأسِ للاقترانِ التربيعيِّ | |
بتعويض |
b) أَجِدُ إحداثِيَّيْ رأسِ القطعِ، ومُعادلةَ محورِ التَّماثُلِ، والقيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى للاقترانِ (g(x.
بما أنَّ ، فإنَّ:
• رأسُ القطعِ ( 5 - , 3)
• مُعادلةُ محورِ التماثلِ x = 3
• القيمةُ العُظمى 5 -
c) أُمَثِّلُ الاقترانَ (g(x بيانيًّا.
أسئلة أتدرب وأحل المسائل
أصفُ كيف يرتبطُ مُنحنى كل اقتران مما يأتي بمُنحنى الاقتران الرئيس ، ثم أُمثلُهُ بيانيا :
الحل :
انسحاب رأسي للاقتران f(x) بمقدار 5 وحدات إلى الأعلى أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) |
انسحاب رأسي للاقتران f(x) بمقدار 6 وحدات إلى الأسفل أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) |
![]() |
![]() |
انسحاب أفقي للاقتران f(x) بمقدار 1 وحدة إلى اليسار أختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) طرح 1 من الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها |
انسحاب أفقي للاقتران f(x) بمقدار وحدتين إلى اليمين أختيار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) أُضافة 2 إلى الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها |
![]() |
![]() |
انسحاب إلى اليسار بمقدار وحدتين ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) طرح 2 من الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها ، ثم انسحاب الى الأسفل بمقدار 4 وحدات وذلك بطرح 4 من الإحداثي y
|
انسحاب إلى اليمن بمقدار وحدة ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) أُضافة 1 إلى الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها ، ثم انسحاب الى الأعلى بمقدار 3 وحدات وذلك بإضافة 3 إلى الإحداثي y
|
![]() |
![]() |
توسيع رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ 2 لِمُنحنى ( f(x أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في 2 ، ثم انسحاب إلى الأسفل 3 وحدات وذلك بطرح 3 من الإحداثي y |
تضييقٌ رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ لِمُنحنى ( f(x أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في
|
![]() |
![]() |
انعكاس وتوسيع رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ 4 ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) ، أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في 4- ، ثم انسحاب إلى الأعلى بمقدار 3 وحدات أضيف 3 إلى الإحداثِيِّ y للنقاط الناتجة من الخُطوة السابقة.
|
انعكاس وتضييقٌ رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) ، أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في ، ثم انسحاب إلى الأسفل بمقدار وحدة ، أطرح 1 من الإحداثِيِّ y للنقاط الناتجة من الخُطوة السابقة |
![]() |
![]() |
توسيع رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ 2 ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) ، أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في 2 ، ثم انسحاب إلى اليمين بمقدار 3 وحدات أضيف 3 إلى الإحداثِيِّ x ، ثم انسحاب إلى الأسفل 10 وحدات ، أطرح 10 من الإحداثي y |
انسحاب إلى اليمن بمقدار 7 وحدات ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) أُضافة 7 إلى الإحداثِيِّ x للنقاطِ التي تم اختيارها ، ثم انسحاب الى الأعلى بمقدار وحدة وذلك بإضافة 1 إلى الإحداثي y |
![]() |
![]() |
أَصِلُ الاقترانَ بتمثيلِهِ البيانِيِّ في كلٍّ ممّا يأتي :
الحل :
![]() |
![]() |
![]() |
إذا كانَ مُنحنى الاقترانِ (g(x ناتجًا مِنِ انعكاسِ مُنحنى الاقترانِ الرئيسِ حولَ المحورِ x ، ثمَّ توسيعٍ رأسيٍّ بِمِعاملٍ مقدارُهُ 4، ثمَّ
انسحابٍ إلَى الأعلى بِمِقدارِ وحدتَيْنِ، فَأُجيبُ عنِ الأسئلةِ الآتيةِ:
16) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ (g(x باستعمالِ صيغةِ الرأسِ.
17) أَجِدُ إحداثِيَّيْ رأسِ القطعِ، ومُعادلةَ محورِ التَّماثلِ، والقيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى للاقترانِ (g(x.
18) أُمَثِّلُ الاقترانَ (g(x بيانيًّا.
الحل :
16) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ (g(x باستعمالِ صيغةِ الرأسِ.
• بما أنَّ الانعكاسَ حولَ المحورِ x ، ومعاملَ التوسيع الرأسيِّ 4 ، فإنَّ :
• بما أنَّ لا يوجد انسحاب أفقيَّ فإنَّ
• بما أنَّ الانسحابَ الرأسيَّ إلى الأعلى بِمِقدارِ 2 ، فإنَّ :
صيغةُ الرأسِ للاقترانِ التربيعيِّ | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
17) أَجِدُ إحداثِيَّيْ رأسِ القطعِ، ومُعادلةَ محورِ التَّماثلِ، والقيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى للاقترانِ (g(x.
بما أنّ
• رأسُ القطعِ ( 2 , 0)
• مُعادلةُ محورِ التماثلِ x = 0
• القيمةُ العُظمى 2
18) أُمَثِّلُ الاقترانَ (g(x بيانيًّا.
آلياتٌ ثقيلةٌ : يُمَثِّلُ الاقترانُ العلاقةَ بينَ عددِ لتراتِ الوقودِ المُتبقيةِ في خزّانِ آليَّةٍ ثقيلةٍ والزمنِ t بالساعاتِ خلالَ مدَّةِ عملِها ؛ حيثُ t ≥ 0 | ![]() |
19) ماذا تُمَثِّلُ نقطةُ رأسِ القطعِ المُكافِئ في سياقِ المسألةِ؟ أُبَرِّرُ إجابتي.
الحل :
نقطةُ رأسِ القطعِ المُكافِئ (200 ، 0) كمية الوقود المتوفرة في الخزان قبل بدء العمل .
20) هلْ يمكنُ أنْ يكونَ معاملُ موجبًا في مواقفَ حياتيَّةٍ مشابهةٍ؟ أُبَرِّرُ إجابتي.
الإجابة : لا ، لأن إذا كان معامل t موجبًا فإن كمية الوقود ستزيد عند عمل الآلة ومن المفترض أن الوقود سينقص إذا عملت الآلة .
21) أصنف العلاقة بين منحنى الاقتران ، ومنحنى الاقتران الأصلي:
الإجابة: انعكاس حول المحور t، وإزاحة للأعلى 200 وحدة.
مهاراتُ التفكيرِ العُليا
تبريرٌ : في الشكلِ الآتي ، إذا كانَ مُنحنى الاقترانِ g ناتجًا مِنْ تحويلٍ هندسيٍّ أوْ أكثرَ لِمُنحنى الاقترانِ f، فَأُجيبُ عَنِ السؤالَيْنِ الآتِيَيْنِ:
22) أَصِفُ التحويلاتِ الهندسيَّةَ التي مَرَّ بها مُنحنى الاقترانِ f لينتجَ الاقترانُ g، مُبَرِّرًا إجابتي.
الإجابة : انعكاس لمنحنى الاقتران f(x) حول المحور x ، وانسحاب أفقي إلى اليمين بمقدار 4 وحدات .
23) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ g بصيغةِ الرأسِ.
الحل :
انعكاس لمنحنى الاقتران f(x) حول المحور x ، إذن :
الرأس : (0 ، 4-) ، إذن :
صيغةُ الرأسِ للاقترانِ التربيعيِّ | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
24) تَحَدٍّ : أكتبُ بصيغةِ الرأسِ قاعدةَ الاقترانِ المُمَثَّلِ بيانيًّا في الشكلِ الآتي:
الحل :
الرأس : (4 ، 2-) ، إذن :
صيغةُ الرأسِ للاقترانِ التربيعيِّ | |
بتعويض | |
بالتبسيط |
أسئلة كتاب التمارين
أصفُ كيف يرتبطُ مُنحنى كل اقتران مما يأتي بمُنحنى الاقتران الرئيس ، ثم أُمثلُهُ بيانيا :
الحل :
انسحاب إلى اليمين بمقدار 2 وحدة أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) ثم انسحاب إلى الأسفل بمقدار 3 وحدات ، أطرح 3 من الإحداثي y |
انسحاب رأسي للاقتران f(x) بمقدار 4 وحدات إلى الأعلى أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) |
![]() |
![]() |
انسحاب رأسي للاقتران f(x) بمقدار 7 وحدات إلى الأسفل أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) |
انعكاس لمنحنى الاقتران f(x) حول المحور x ، وانسحاب أفقي إلى اليسار بمقدار 9 وحدات أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) |
![]() |
![]() |
توسيع رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ 2 ، أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) ، أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في 2 ، ثم انسحاب إلى اليمين بمقدار 4 وحدات أضيف 4 إلى الإحداثِيِّ x ، ثم انسحاب إلى الأعلى وحدة ، أضيف 1 إلى الإحداثي y |
تضييقٌ رأسيٌّ بمعاملٍ مقدارُهُ
أختار مجموعةً مِنَ النقاطِ التي تقعُ على مُنحنى f(x) ، أضربُ الإحداثِيَّ y للنقاطِ التي اخترتُها في ، ثم انسحاب إلى الأسفل بمقدار 6 وحدات ، أطرح 6 من الإحداثي y |
![]() |
![]() |
7) بيسبول : رمى لاعبٌ كرةَ البيسبولِ في الهواءِ، فكانَ ارتفاعُها بالقدمِ h مُعطًى بالاقترانِ ؛ حيثُ t الزمنُ بالثواني بعدَ إفلاتِ الكرةِ مِنْ يدِ اللاعبِ.
أَصِفُ العلاقةَ بينَ مُنحنى الاقترانِ h وَمُنحنى الاقترانِ .
الحل :
انعكاس لمنحنى الاقتران h(t) حول المحور x ، وتوسيع بمعامل مقداره 16 ، وانسحاب إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة ، وانسحاب إلى الأعلى بمقدار 20 وحدة .
إذا كانَ مُنحنى الاقترانِ (g(x ناتجًا مِنْ تضييقٍ رأسيٍّ لِمُنحنى الاقترانِ الرئيسِ بمعاملٍ مقدارُهُ ، ثمَّ انسحابٍ إلى الأسفلِ بمقدارِ 3
وحداتٍ، ثمَّ انسحابٍ إلى اليسارِ بمقدارِ وحدتَيْنِ، فَأُجيبُ عَنِ الأسئلةِ الآتيةِ :
8) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ ( g(x باستعمالِ صيغةِ الرأسِ.
9) أَجِدُ إحداثِيَّي رأسِ القطعِ، ومعادلةَ محورِ التَّماثُلِ، والقيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى للاقترانِ (g(x.
10) أُمَثِّلُ الاقترانَ ( g(x بيانِيًّا.
الحل :
8) أكتبُ قاعدةَ الاقترانِ (g(x باستعمالِ صيغةِ الرأسِ.
• بما أنَّ الانعكاسَ حولَ المحورِ x ، ومعاملَالتضييق الرأسيِّ ، فإنَّ :
• بما أنَّ الانسحابَ الأفقيَّ إلى اليسار بِمِقدارِ 2 ، فإنَّ h = 2
• بما أنَّ الانسحابَ الرأسيَّ إلى الأسفل بِمِقدارِ 3 ، فإنَّ : k = -3
صيغةُ الرأسِ للاقترانِ التربيعيِّ | |
بتعويض |
9) أَجِدُ إحداثِيَّي رأسِ القطعِ، ومعادلةَ محورِ التَّماثُلِ، والقيمةَ العُظمى أوِ الصُّغرى للاقترانِ (g(x.
بما أنّ : ، فإنّ :
• رأسُ القطعِ ( 3 - , 2)
• مُعادلةُ محورِ التماثلِ x = 2
• القيمةُ العُظمى 3 -
10) أُمَثِّلُ الاقترانَ (g(x بيانِيًّا.