رياضيات فصل ثاني

التوجيهي علمي

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

درسنا فيما سبق طريقتي التكامل بالتعويض ، والكسور الجزئية وكذلك الحل الجبري المعتمد على التبسيط ،

وسندرس الآن طريقة التكامل بالأجزاء لكل تكامل لا يُحل بالطرق السابقة.

وتقوم فكرة التكامل بالأجزاء على قانون مشتقة الضرب

فكما تعلم أن : $(f \times g)' = f \times g' + f' \times g$

وبإجراء التكامل:

$\int (f \times g)' d x = \int f \times g' d x + \int f' \times g d x$

أي أن :

$\int f \times g' d x = f \times g - \int f' \times g d x$

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int x e^{x} d x$

لاحظ أن التكامل لا يحل بالطرق السابقة كالتعويض أو التبسيط لذلك سنقوم بحله بالأجزاء وذلك بفرض:

$u = x \to d u = d x d v = e^{x} \to v = e^{x}$

ومنه فإن:

$\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + c$

والمهم ذكره هنا أنه يمكن استخدام طريقة الجداول لحل التكامل بالأجزاء على النحو التالي:

ومن المهم معرفة أيهما يكون للإشتقاق وأيهما يكون للتكامل

$\int x e^{x} d x S o l u t i o n : \begin{matrix} للتكامل & للإشتقاق & الإشارة \\ e^{x} & ↙ & x & + \\ e^{x} & ↙ & 1 & - \\ e^{x} & \overset{\int}{\to} & 0 & + \end{matrix} \int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + c$

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int x {(x + 1)}^{3} d x S o l u t i o n : \begin{matrix} للتكامل & للإشتقاق & الاشارة \\ {(x + 1)}^{3} & ↙ & x & + \\ \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} & ↙ & 1 & - \\ \frac{1}{20} {(x + 1)}^{5} & \overset{\int}{\to} & 0 & + \end{matrix} \int x {(x + 1)}^{3} d x = \frac{x}{4} {(x + 1)}^{4} - \frac{1}{20} {(x + 1)}^{5} + c$

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int x l n x d x S o l u t i o n : \begin{matrix} للتكامل & للإشتقاق & الإشارة \\ x & ↙ & l n x & + \\ \frac{x^{2}}{2} & \overset{\int}{\to} & \frac{1}{x} & - \end{matrix} \int x l n x d x = x^{2} l n x - \int x d x = x^{2} l n x - \frac{x^{2}}{2} + c$

لاحظ أننا لن نصل إلى مشتقة = صفر فتتوقف بعد الاشتقاق مباشرة عند التخلص من اللوغرتم.

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int e^{x} s i n x d x S o l u t i o n : \begin{matrix} للتكامل & للإشتقاق & الإشارة \\ e^{x} & ↙ & s i n x & + \\ e^{x} & ↙ & c o s x & - \\ e^{x} & \overset{\int}{\to} & - s i n x & + \end{matrix} \int e^{x} s i n x d x = e^{x} s i n x - e^{x} c o s x - \int e^{x} s i n x d x \int e^{x} s i n x d x = \frac{e^{x} s i n x - e^{x} c o s x}{2} + c$

لاحظ أننا لن نصل إلى مشتقة = صفر فنتوقف عند تكرار أصل المسألة $e^{x} s i n x$

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x$

لابد من إعادة كتابة المسألة على النحو التالي :

$\int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x = \int \frac{1}{l n x} d x - \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x$

وسنبدأ بتكامل المقدار $\frac{1}{l n x}$ باستخدام طريقة الجداول

$\int \frac{1}{\ln x} d x S o l u t i o n : \begin{matrix} للتكامل & للإشتقاق & الإشارة \\ d x & ↙ & \frac{1}{\ln x} & + \\ x & \overset{\int}{\to} & \frac{- 1}{x {(\ln x)}^{2}} & - \end{matrix} \int \frac{1}{l n x} d x = \frac{x}{l n x} + \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x \int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x = \frac{x}{l n x} + \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x - \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x \int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x = \frac{x}{l n x} + \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x - \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x \int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x = \frac{x}{l n x} + c$

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int x e^{\sqrt{x}} d x$

لاحظ أن المقدار $e^{\sqrt{x}}$ سيحل بالتعويض أولًا وذلك بفرض:

$u = \sqrt{x} \Rightarrow u^{2} = x 2 u d u = d x \int x e^{\sqrt{x}} d x = \int x e^{u} 2 u d u b u t (x = u^{2}) = 2 \int u^{3} e^{u} d u$

وسيحل الآن بالأجزاء

$\begin{matrix} للتكامل & للإشتقاق & الإشارة \\ e^{u} & ↙ & 2 u^{3} & + \\ e^{u} & ↙ & 6 u^{2} & - \\ e^{u} & ↙ & 12 u & + \\ e^{u} & ↙ & 12 & - \\ e^{u} & \overset{\int}{\to} & 0 & + \end{matrix} \int 2 u^{3} e^{u} d u = 2 u^{3} e^{u} - 6 u^{2} e^{u} + 12 u e^{u} - 12 e^{u} b u t (u = \sqrt{x}) = 2 x \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 6 x e^{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 12 e^{\sqrt{x}} + c$

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int s i n (\sqrt{x}) d x S o l u t i o n : l e t u = \sqrt{x} u^{2} = x \to 2 u d u = d x \int s i n \sqrt{x} d x = \int 2 u s i n u d u n o w b y p a r t s : \begin{matrix} للتكامل & للإشتقاق & الإشارة \\ s i n u & ↙ & 2 u & + \\ - c o s u & ↙ & 2 & - \\ - s i n u & \overset{\int}{\to} & 0 & + \end{matrix} \int 2 u s i n u d u = - 2 u c o s u + 2 s i n u = - 2 \sqrt{x} c o s \sqrt{x} + s i n \sqrt{x} + c$

رياضيات فصل ثاني

التوجيهي علمي

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS