رياضيات فصل ثاني

السابع

icon

مفاهيم أساسية 

علاقةُ التناسُبِ العكسيِّ: هيَ علاقةٌ بينَ كمّيتَينِ بحيثُ تؤدي زيادةُ الكميةِ الأولى إلى نقصانِ الكمّيةِ الثانيةِ 

.k فإنَّ ناتجَ ضربِهِما يساوي ثابتًا هُوَ y وَ x  إذا وُجدَتْ علاقةُ تناسُبٍ عكسيٍّ بينَ المتغيّرَينِ

k ≠ حيثُ 0 ، x × y = k

   تمثل y=kx معادلةَ التناسُبِ العكسيِّ

 

x 5 10 25 50
y 20 10 4  ??

: y وَ x مثال 1: يمثّلُ الجدولُ المجاورُ علاقةً بينَ المتغيّرَين

1) أبيّنُ أنَّ x وy متناسبانِ عكسيًّا، ثمَّ أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ k

 أَجِدُ x × y للقِيَمِ المتناظِرةِ جميعِها:

x × y  5 × 20 =100, 10 ×10 =100, 25 × 4 = 100

.k = وثابت التناسُبِ 100  y وَ x متساوٍ للأزواجِ المرتَّبةِ جميعِها، إذنْ، توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ عكسيٍّ بينَ المتغيّرَينِ x×y ألاحظُ أنَّ ناتجَ

2) أكتبُ معادلةَ التناسُبِ العكسيِّ، ثم أَجِدُ القيمةَ المجهولةَ في الجدولِ السابقِ.

y=100x                    أكتبُ معادلةَ التناسُبِ العكسيِّ

y=10050                    أُعوّضُ x=50 في المعادلةِ 

y=2                            أَجِدُ الناتجَ  

 

مثال 2: منَ الحياةِ يمثّلُ الجدولُ المجاورُ العلاقةَ بينَ معدَّلِ السرعةِ والزمنِ اللازمِ لقطعِ المسافةِ بينَ عمّانَ والطفيلةِ الّتي تساوي180 km :

الزمن h   معدل السرعة  Km/h
2 90
2.5 72
3 60
4 45


1) أبيّنُ أنَّ معدَّلَ السرعةِ والزمنَ متناسبانِ عكسيًّا ثمَّ أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ k 

معدل السرعة ×الزمن     2× 90 = 180, 2.5 × 72 = 180, 3 × 60 = 180, 4 × 45 = 180  

.k = ألاحظُ أنَّ ناتجَ الضربِ متساوٍ للقِيَمِ المتناظِرةِ جميعِها؛ إذنْ، معدَّلُ السرعةِ وَالزمنُ متناسبانِ عكسيًّا، وثابتُ التناسُبِ 180

2) أكتبُ معادلةَ العلاقةِ.

y=180x

 

يُمكنُنا إيجادُ ثابتِ التناسُبِ لعلاقةِ تناسُبٍ عكسيٍّ ممثَّلةٍ بيانيًّا، وذلكَ بتحديدِ زوجٍ مرتَّبٍ على التمثيلِ البيانيِّ، وتعويضِ قيمةِ y وَ x  في معادلةِ التناسُبِ العكسيِّ. 

 

مثال 3 : يبيّنُ الشكلُ المجاورُ علاقةً عكسيةً بينَ المتغيّرَينِ  y وَ x  الشكلُ المجاورُ علاقةً عكسيةً بينَ المتغيّرَينِ  y وَ x 

1)أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ k

أختارُ زوجًا مرتَّبًا على التمثيلِ البيانيِّ للعلاقةِ، مثلَ (2,1) وأعوّضُهُ في معادلةِ التناسُبِ العكسيِّ.

y=kx                          أكتبُ معادلةَ التناسُبِ العكسيِّ

1=k2                        أُعوّضُ x=2 , y=1 في المعادلةِ  

 k =  2                         بالضربِ التبادليِّ أَجِدُ الناتجَ

2)أكتبُ معادلةَ التناسُبِ العكسيِّ:

y=2x

 

مثال 4: منَ الحياةِ محيطاتٌ: يبيّنُ الجدولُ المجاورُ العلاقةَ بينَ عُمقِ الماءِ وَدرجاتِ الحرارةِ في المحيطِ الأطلسيِّ:

   العمق Ft     الحرارة f°
500 28
1000 14
2000 7

1)أحددُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ طرديٍّ أَمْ عكسيٍّ.

ألاحظُ مِنَ الجدولِ أنَّهُ كلّما ازدادَ العُمقُ انخفضَتْ درجَةُ الحرارةِ؛ لذا، لا يُمكنُ أنْ تمثِّلَ العلاقةُ تناسبًا طرديًّا

أختبرُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ تمثّلُ تناسبًا عكسيًّا:

العمقُ × الحرارةِ درجة   500 × 28 = 14000, 1000 × 14 = 14000,  2000 × 7 = 14000

ألاحظُ أنَّ ناتجَ الضربِ متساوٍ للقِيَمِ المتناظِرةِ جميعِها، إذنْ، درجةُ الحرارةِ وَعُمقُ الماءِ متناسبانِ عكسيًّا، وثابتُ التناسُبِ k=14000

2) أكتبُ معادلةَ التناسُبِ العكسيِّ.

y=14000x

3)أمثّلُ علاقةَ التناسُبِ بيانيًّا. العلاقةَ بينَ عُمقِ الماءِ وَدرجاتِ الحرارةِ في المحيطِ الأطلسيِّ
أمثلُ الأزواجَ المرتبةَ في الجدولِ في المستوى الإحداثيِّ، ثمَّ أرسمُ خطًّا منحنيًا يمرُّ بها جميعًا. 

4)أَجِدُ درجةَ الحرارةِ على عُمقِ 7000ft 

y=14000x                 أكتبُ معادلةَ التناسُبِ العكسيِّ

y=140007000                 أُعوّضُ x=7000 في المعادلةِ 

y=2                               أَجِدُ الناتجَ

درجةَ الحرارةِ على عُمقِ 7000ft تساوي 2°f