العمليات على الاعداد المركبة

يمكن تعريف العمليات الحسابية الأربعة (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة) على مجموعة الأعداد المركبة،

تماما كما تم تعريفها على مجموعة الأعداد الحقيقية، و ذلك لحاجتنا لها في حل المسائل و المعادلات الناتجة من التطبيقات الحياتية.

ويتم ذلك بجمع (أو طرح) الجزأين الحقيقيين معاً .

وجمع (أو طرح) الجزأين التخيلين معاً . كما هو الحال في الأعداد الحقيقية و المقادير الجبرية بالرموز:

إذا كان  $z = a+ib، w = c+id$ ، فإن:

  $$\begin{gathered} z +w = (a+c) + i(b+d) \\ z-w = (a-c) +i(b-d) \end{gathered}$$

و يمكن استخدام الاستراتيجيات المستخدمة في الأعداد الحقيقية نفسها في الأعداد المركبة.

                   مثال :

      إذا كان $z = 5-3i ، w =-2+10i$  فجد كلاً مما يأتي:

                $$\begin{gathered} 1) z + w \\ Solution: \\ z + w = (5-3i) + (-2 + 10i) \\ = ( 5 +-2) + (-3+10)i \\ = 3+7i \end{gathered}$$             

---

         $$\begin{gathered} 2) w-z \\ Solution: \\ w-z = (-2+10i) - (5-3i) \\ = (-2-5) + (10--3)i \\ = -7 + 13i \end{gathered}$$             

---

            $$\begin{gathered} 3) w +L= z find l \\ Solution: \\ w +L = z \\ L = z-w \\ L = 7-13i \end{gathered}$$            

---

و يتم ذلك بطريقة مشابهة لعملية ضرب المقادير الجبرية، و باستخدام قانون التوزيع، مع مراعاة أن: $\sqrt{-1}=i$

مثال :

جد ناتج ما يلي:

    $$\begin{gathered} 1) 4i(3-\frac{1}{2}i) \\ Solution: \\ 4i(3-\frac{1}{2}i) = 12i - 2i^2 \\ = 12i-2(-1) \\ =2 + 12i \end{gathered}$$           

---

           $$\begin{gathered} 2\left)\right(4 - i\sqrt{3}\left)\right(\sqrt{3}+7i) \\ Solution: \\ (4 - i\sqrt{3}\left)\right(\sqrt{3}+7i) = 4\sqrt{3}+4(7)i-i\sqrt{3}\sqrt{3}-7i^2\sqrt{3} \\ =4\sqrt{3}+28i-3i-7(-1)\sqrt{3} \\ =(4\sqrt{3}+7)+(28-3)i \\ =(4\sqrt{3}+7)+25i \end{gathered}$$ 

---

         $$\begin{gathered} 3) {(5-2i)}^2 \\ Solution: \\ {(5-2i)}^2 = (5-2i\left)\right(5-2i) \\ =25 - 10i - 10i + 4i^2 \\ =25 - 20i + 4(-1) \\ =21-20i \end{gathered}$$           

---

مثال :

إذا كان $z = 7+5i$  فجد ناتج ما يلي:

              $$\begin{gathered} 1) z.\overline{z} = (7+5i\left)\right(7-5i) \\ Solution: \\ z.\overline{z} = (7+5i\left)\right(7-5i) \\ = 49-35i+35i-25i^2 \\ 49 - 25{\left(i\right)}^2= 49 +25 = 74 \\ 2) \left|z\right| \\ Solution: \\ \left|z\right| = \sqrt{{\left(7\right)}^2+{\left(5\right)}^2}=\sqrt{74} \end{gathered}$$         

من هذا المثال، نلاحظ أن:  $z.\overline{z} = |z{|}^2$

---

لإيجاد ناتج قسمة عددين مركبين (بصورة قياسية):

يمكن ضرب كل من المقسوم و المقسوم عليه في مرافق المقسوم عليه، لنحويل المقسوم عليه عدداً حقيقياً موجباً،

اعتماداً على أن :   $z.\overline{z} = |z{|}^2$

مثال :

جد ناتج كل مما يلي بالصورة القياسية: 

$$\begin{gathered} 1) \frac{-4+3i}{2-i} \\ Solution: \\ \frac{-4+3i}{2-i} = \frac{-4+3i}{2-i}\times \frac{2+i}{2+i} \\ = \frac{-4 + 3i}{4+1} \\ = \frac{-4}{5}+\frac{3}{5}i \end{gathered}$$           

---

                 $$\begin{gathered} 2) ) \frac{4-10i}{-3i} \\ Solution: \\ \frac{4-10i}{-3i}= \frac{4-10i}{-3i}\times \frac{i}{i} \\ =\frac{4i-10{\left(i\right)}^2}{-3{\left(i\right)}^2}= \frac{4i+10}{3} \\ =\frac{10}{3}+\frac{4}{3}i \end{gathered}$$             

---

يمكن إجراء عملية ضرب (أو قسمة) عددين مركبين مكتوبين بالصورة المثلثية، بحيث يكون:

مقياس ناتج الضرب = ناتج ضرب مقياس العددين

سعة ناتج الضرب = ناتج جمع سعتي العددين ( بشرط أن ناتج جمع السعتين ضمن الفترة  $(-\mathrm{\pi }, \mathrm{\pi }]$)

و إذا كان ناتج جمع (أو طرح) سعتي العددين لا يقع ضمن الفترة  $(-\mathrm{\pi }, \mathrm{\pi }]$،

نجمع او نطرح دورة كاملة $2\mathrm{\pi }$    لتحويلها إلى السعة الرئيسية.

وبالرموز:

 إذا كان: $z = r\left(cos\right(\alpha ) + i sin(\alpha \left)\right) و w = k\left(cos\right(\theta ) + i sin(\theta \left)\right)$  فإن: 

 $$\begin{gathered} z.w = r.k\left(cos\right(\alpha +\theta ) + i sin(\alpha +\theta \left)\right) \\ \frac{z}{w}= \frac{r}{k}\left(cos\right(\alpha -\theta ) + i sin(\alpha -\theta \left)\right) \end{gathered}$$    

حيث    $k \ne 0$ ، $\alpha -\theta , \alpha +\theta$  تقع ضمن الفترة  $(-\mathrm{\pi }, \mathrm{\pi }]$  

مثال :

إذا كان:$z = 4(cos (\frac{2\pi }{3})+i sin(\frac{2\pi }{3}\left)\right) ، w = 2( cos(\frac{-5\pi }{6})+ i sin(\frac{-5\pi }{6}\left)\right)$

فجد ناتج كل مما يأتي بالصورة المثلثية:

   $$\begin{gathered} 1) z.w \\ Solution: \\ z.w = (4\left)\right(2\left)\right(\cos (\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\frac{-5\mathrm{\pi }}{3}) + i \sin (\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\frac{-5\mathrm{\pi }}{3})) \\ = 8(cos\frac{-\mathrm{\pi }}{6}+ i sin\left(\frac{-\mathrm{\pi }}{6}\right) \end{gathered}$$            

---

$$\begin{gathered} 2) \frac{z}{w} \\ Solution: \\ \frac{z}{w}= \frac{4}{2}( \cos (\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-\frac{-5\mathrm{\pi }}{6})+ i \sin (\frac{2\mathrm{\pi }}{3}-\frac{-5\mathrm{\pi }}{6}) \\ = 2\left(\cos \right(\frac{9\mathrm{\pi }}{6}) + i \sin (\frac{9\mathrm{\pi }}{6}) \\ = 2(\hspace{0.17em}\cos \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right)+i \sin \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right)) \\ = 2(\hspace{0.17em}\cos (\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-2\mathrm{\pi })+i \sin (\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-2\mathrm{\pi })) \\ =2(cos\left(\frac{-\mathrm{\pi }}{2}\right)+i sin\left(\frac{-\mathrm{\pi }}{2}\right) \end{gathered}$$            

---

يمكن إيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب، عن طريق توظيف خصائص عملية ضرب الأعداد المركبة، و كتابة معادلتين حقيقيتين لمتغيرين،

وحل النظام المكوّن من المعادلتين، و يمكن توضيح ذلك من خلال هذا المثال: 

مثال :

جد الجذرين التربيعيين لكل مما يأتي:

$$\begin{gathered} 1) z = 5 -12i \\ Solution: \\ let \sqrt{z} = x + iy \\ z = {(x +iy)}^2 \\ 5 -12i = (x^2-y^2) + 2ixy \\ {x}^2-y^2 = 5 (1) \\ 2xy = -12 (2) \\ y = \frac{-6}{x} (2) \\ {x}^2- \frac{36}{x^2}= 5 (1) \\ {x}^4 - 36= 5x^2 \\ {x}^4-5x^2-36=0 \\ (x^2-9\left)\right(x^2+4) = 0 \\ {x}^2= 9 \to x = \pm 3 \\ when x= 3 then y = \frac{-6}{3}=-2 then z =3-2i \\ when x=-3 then y = \frac{-6}{-3}=2 then z=-3+2i \end{gathered}$$           

---

النظرية الأساسية في الجبر: 

يوجد جذر مركب واحد (على الأقل) لأي معادلة كثير حدود درجتها اكبر من الصفر.

تعلمنا سابقاً أن مميز المعادلة التربيعية  $a{x}^2+bx+c=0$  ( حيث $a\ne 0$ ،  a , b , c أعداد حقيقية)

هو:$∆ = b^2-4ac$،  و إشارة المميز تحدد طبيعة جذور هذه المعادلة، و هي: $x = \frac{-b \pm \sqrt{∆}}{2a}$

المميز $∆ = b^2-4ac$	جذر المعادلة التربيعية   $a{x}^2+bx+c=0$
موجب	جذران حقيقيان مختلفان
صفراً	جذران حقيقيان متساويان
سالب	جذران مركبان مترافقان

 

نظرية التحليل المركب: 

لأي معادلة كثير حدود من الدرجة n ، يوجد n من الجذور المركبة، بما في ذلك الجذور المتكررة.

بتوظيف هذه النظرية، وأن الجذور المركبة غير الحقيقية تكون مترافقة (أزواج من الجذور المركبة غير الحقيقية)

فإنه يمكن معرفة طبيعة جذور معادلة كثير الحدود بناءً على درجتها.

فمثلا إذا كان العدد ($4+5i$) احد جذور معادلة كثير حدود، فإن مرافقه ($4-5i$) جذر آخر للمعادلة.

و بتوظيف هذه الحقائق، يمكن استنتاج طبيعة جذور معادلة كثير الحدود حسب الجدول التالي:

 

أنواع الجذور الممكنة	عدد الجذور	درجة معادلة كثير الحدود
جذر حقيقي واحد	1	1
جذران حقيقيان متساويان او مختلفان أو جذران مركبان( غير حقيقيين) مترافقان	2	2
3جذور حقيقية، أو: جذر حقيقي واحد و جذران مركبان ( غير حقيقيين) مترافقان	3	3
4 جذور حقيقية أو جذران حقيقيان و جذران مركبان (غير حقيقيين) مترافقان أو: 4 جذور مركبة( غير حقيقية) (زوجان من الجذور المركبة المترافقة)	4	4
5 جذور حقيقية أو: 3 جذور حقيقية و جذران مركبان (غير حقيقيين) مترافقان أو: جذر حقيقي واحد و 4 جذور مركبة (غير حقيقية) (زوجان من الجذور المركبة المترافقة)	5	5

و يمكن استخدام نظريتي الباقي و العوامل و القانون العام لحل المعادلة التربيعية لحل معادلة كثير الحدود

مثال:

 جد جميع الجذور المركبة للمعادلة:

$$\begin{gathered} z^4+ z^2 = 6z^3-34z \\ Solution: \\ {z}^4-6z^3+z^2+34z = 0 \\ z(z^3-6z^2+z+34)=0 \\ z = 0 \\ Or \\ {z}^3-6z^2+z+34 = 0 \end{gathered}$$            

حسب نظرية الأصفار النسبية المحتملة، فإن الأصفار النسبية المحتملة لهذه المعادلة (إن وجدت) فهي من بين عوامل الحد الثابت 34، و هي:$\pm 1, \pm 2, \pm 17, \pm 34$

و بالتجريب، نجد أن z = -2 أحد الجذور:

و يكون (z +2) أحد العوامل  و بإجراء عملية القسمة الطويلة، أو طريقة الجدول: 

و يكون $z^3 - 6z^2+z+34 = (z+2)(z^2-8z+17)$

و باستخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية:

يكون: $z = \frac{8\pm \sqrt{-4}}{2} = 4\pm i$

فتكون جذور المعادلة المعطاة هي: $\left\{0 , -2 , 4+i , 4-i\right\}$

مثال :

إذا كان  $4i-3$ هو أحد جذور المعادلة $x^2+bx+c=0$ ، فجد قيمة كل من b و c.

الحل:

بما أن العدد المركب:$-3 +4i$  أحد الجذور، فإن مرافقه  $-3 -4i$  جذر اخر

فيكون:

 $$\begin{gathered} x = -3\pm 4i \\ x +3 = \pm 4i \\ {(x+3)}^2= {(\pm 4i)}^2{x}^2+6x+9 = 16i^2 \\ {x}^2+6x + 9 = -16 \\ {x}^2+6x +25=0 \\ then b= 6 and c=25 \end{gathered}$$