المتطابقات المثلثية 2

المتطابقات المثلثية (2)

تعرفنا في الدرس السابق على مجموعة من المتطابقات المثلثية الأساسية بالإضافة إلى مجموعة من متطابقات المجموع والفرق واستخدمناها في إثبات بعض المتطابقات وغيرها من المسائل.

سنتعرف اليوم على مجموعة جديدة من المتطابقات التي تخص ضعف الزاوية ونصف الزاوية ومجموعة أخرى من المتطابقات تخص تحويل الضرب إلى الجمع والعكس في المتطابقات المثلثية.

المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية:

نستخدم هذه المجموعة من المتطابقات لإيجاد قيمة اقتران مثلثي عند الزاوية $2\theta$ باستعمال قيمة الاقتران عند الزاوية $\theta$.

المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية

صيغة الجيب: $\sin 2\theta =2 \sin \theta \cos \theta$ صيغ جيب التمام: $$\begin{gathered} \cos 2\theta ={\cos }^2 \theta -{\sin }^2 \theta \\ \cos 2\theta =1-2 {\sin }^2 \theta \\ \cos 2\theta =2 {\cos }^2 \theta -1 \end{gathered}$$ صيغة الظل: $\tan 2\theta =\frac{2 \tan \theta }{1-{\tan }^2 \theta }$

مثال:

إذا كان $\cos \left(\theta \right)=\frac{3}{4}$، حيث $0<\theta <\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ فأجد قيمة كل مما يأتي:

$1) \cos 2\theta$

$$\begin{gathered} cos 2\theta =2 co{s}^2-1 \\ =2 {\left(\frac{3}{4}\right)}^2-1 \\ =\frac{9}{8}-1=\frac{1}{8} \end{gathered}$$

$2) \sin 2\theta$

$$\begin{gathered} sin \theta \mathrm{قيمة} \mathrm{نحتاج} \\ co{s}^2 \theta +si{n}^2 \theta =1 \\ {\left(\frac{3}{4}\right)}^2+si{n}^2 \theta =1 \\ sin \theta =\frac{\sqrt{7}}{4} \\ sin 2=2 sin \theta cos \theta \\ =2\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right) \\ =\frac{3\sqrt{7}}{8} \end{gathered}$$

$3) \tan 2\theta$

$$\begin{gathered} tan \theta \mathrm{قيمة} \mathrm{نحتاج} \\ tan \theta =\frac{sin \theta }{cos \theta }=\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=\frac{\sqrt{7}}{3} \\ tan 2\theta =\frac{2 tan \theta }{1-ta{n}^2 \theta } \\ =\frac{2\left({\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}}\right)}{1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}}\right)}^2}\approx 7.94 \end{gathered}$$

ملاحظة: لإيجاد قيمة اقتران مثلثي عند $3\theta$ باستعمال قيمة الاقتران عند $\theta$ يمكننا استعمال متطابقات ضعف الزاوية ومتطاقات مجموع زاويتين في ذلك.

مثال:

أكتب $\cos 3\theta$ بدلالة $\cos \theta$.

$$\begin{gathered} cos 3\theta =cos (2\theta +\theta ) \\ =cos 2\theta cos \theta -sin 2\theta sin \theta \\ =\left(2 co{s}^2 \theta -1\right) cos \theta -\left(2 sin \theta cos \theta \right)sin \theta \\ =2 co{s}^3 \theta -cos \theta -2 si{n}^2 \theta cos \theta \\ =2 co{s}^3 \theta -cos \theta -2 cos \theta \left(1-co{s}^2 \theta \right) \\ =2 co{s}^3 \theta -cos \theta -2 cos \theta +2 co{s}^3 \theta \\ =4 co{s}^3 \theta -3 cos \theta \end{gathered}$$

المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية

1) نستعمل المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية في كتابة المقادير المثلثية التي تتضمن قوى للجيب وجيب التمام والظل بدلالة القوى الأولى لجيب التمام فقط.

${\sin }^2 \theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2} {\cos }^2 \theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2} {\tan }^2 \theta =\frac{1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }$

مثال:

أعيد كتابة ${\sin }^2 x {\cos }^2 x$ بدلالة القوة الأولى لجيب التمام.

$$\begin{gathered} si{n}^2 x co{s}^2 x=\left(\frac{1-cos 2x}{2}\right) \left(\frac{1+cos 2x}{2}\right) \\ =\frac{1-co{s}^2 2x}{4} \\ =\frac{1}{4}-\frac{1}{4} co{s}^2 2x \\ =\frac{1}{4}-\frac{1}{4} \left(\frac{1+cos 4x}{2}\right) \\ =\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{cos 4x}{8} \\ =\frac{1}{8} \left(1-cos 4x\right) \end{gathered}$$

2) المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية هي نتيجة مباشرة لمتطابقات تقليص القوة والناتجة عن أخذ الجذر التربيعي لطرفي كل متطابقة بالإضافة إلى استعمال الزاوية $\frac{\theta }{2}$ بدلا من الزاوية $\theta$.

$$\begin{gathered} \sin \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}} \\ \cos \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}} \\ \tan \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }} \end{gathered}$$

مثال:

أجد قيمة $\cos 15°$.

$cos 15°=cos \frac{30}{2}=\sqrt{\frac{1+cos 30}{2}}\approx 1.20$

مثال:

إذا كان $\sin x=-\frac{2}{3}$ حيث $\mathrm{\pi }<x<\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ فاجد قيمة كل مما يأتي:

$1) \cos \frac{x}{2}$

$$\begin{gathered} cos x \mathrm{قيمة} \mathrm{نحتاج} \\ si{n}^2 x+co{s}^2 x=1 \\ {\left(\frac{-2}{3}\right)}^2+co{s}^2 x \\ \frac{4}{9}+co{s}^2 x=1 \\ cos x=\frac{-\sqrt{5}}{3} \\ \frac{\mathrm{\pi }}{2}<\frac{x}{2}<\frac{3\mathrm{\pi }}{4} \\ cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+cos x}{2}} \\ =-\sqrt{\frac{1+\left({\displaystyle \frac{-\sqrt{5}}{3}}\right)}{2}} \\ \approx -0.792 \end{gathered}$$

$2) \sin \frac{x}{2}$

$$\begin{gathered} sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-cos x}{2}} \\ =\sqrt{\frac{1-\left({\displaystyle \frac{-\sqrt{5}}{3}}\right)}{2}} \\ \approx 0.934 \end{gathered}$$

$3) \tan \frac{x}{2}$

$$\begin{gathered} tan \frac{x}{2}=-\sqrt{\frac{1-cos x}{1+cos x}} \\ =-\sqrt{\frac{1-\left({\displaystyle \frac{-\sqrt{5}}{3}}\right)}{1+\left({\displaystyle \frac{-\sqrt{5}}{3}}\right)}} \\ tan \frac{x}{2}\approx 2.616 \end{gathered}$$

يمكننا التحويل من الضرب إلى الجمع أو الطرح في المقادير المثلثية باستعمال بعض المتطابقات الخاصة بذلك.

1) متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع أو فرق.

$$\begin{gathered} \sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2} \left[\cos (\alpha -\beta )-\cos \left(\alpha +\beta \right)\right] \\ \sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2} \left[\sin \left(\alpha -\beta \right)+\sin \left(\alpha +\beta \right)\right] \\ \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2} \left[\cos \left(\alpha -\beta \right)+\cos \left(\alpha +\beta \right)\right] \\ \cos \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2} \left[\sin \left(\alpha -\beta \right)-\sin \left(\alpha +\beta \right)\right] \end{gathered}$$

مثال:

أعيد كتابة المقدار  $\cos 2x \cos 4x$ في صورة مجموع أو فرق.

$$\begin{gathered} cos 2x cos 4x \\ =\frac{1}{2} \left[cos\left(2x-4x\right)+cos\left(2x+4x\right)\right] \\ =\frac{1}{2} cos \left(-2x\right)+\frac{1}{2} cos \left(6x\right) \\ =\frac{1}{2} cos \left(2x\right)+\frac{1}{2} cos 6x \end{gathered}$$

2) متطابقات تحويل المجموع أو الفرق إلى ضرب.

$$\begin{gathered} sin \alpha +sin \beta =2 sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right) cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right) \\ cos \alpha +cos \beta =2 cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right) cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right) \\ sin \alpha -sin \beta =2 cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right) sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right) \\ cos \alpha -cos \beta =-2 sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right) sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right) \end{gathered}$$

مثال:

أعيد كتابة المقدار $\cos 6x-\cos x$ في صورة ضرب.

$$\begin{gathered} cos 6x-cos x=-2 sin \left(\frac{6x+x}{2}\right) sin \left(\frac{6x-x}{2}\right) \\ =-2 sin \left(\frac{7x}{2}\right) sin \frac{5x}{2} \end{gathered}$$

ملاحظة: جميع المتطابقات السابقة يمكن استعمالها في إثبات متطابقات مثلثية أخرى.

مثال:

أثبت صحة المتطابقة الآتية:

$\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}=sec 2x-\tan 2x$

$$\begin{gathered} \frac{cos x-sin x}{cos x+sin x}\frac{(cos x-sin x)}{(cos x-sin x)}=\frac{co{s}^2 x-2 cos x sin x+si{n}^2 x}{co{s}^2 x-si{n}^2 x} \\ =\frac{1-sin 2x}{cos 2x} \\ =\frac{1}{cos 2x}-\frac{sin 2x}{cos 2x} \\ =sec 2x-tan 2x \end{gathered}$$