رياضيات فصل ثاني

المتغيرات العشوائية

المتغير العشوائي: هو متغير تعتمد قيمه على نواتج تجربة عشوائية.

مثال:

اذا دل المتغير العشوائي X على عدد مرات ظهور الكتابة في تجربة قطعتي نقد عشوائيا، أجد مجموعة قيم X:

نفرض أن رمز ظهور الصورة هو H ورمز ظهور الكتابة T.

الفضاء العيني لتجربة هو: $\Omega =\left\{\right(T،T), (T,H), (H,T),(H,H\left)\right\}$

عدد الصور المرتبطة بكل عنصر في الفضاء العيني (مجموعة قيم المتغير العشوائي X): $X=\{0,1,2\}$.

التوزيع الاحتمالي للتجربة العشوائية: هو اقتران يربط قيم المتغير العشوائي باحتمالات وقوعها في التجربة، ويرمز له بالرمز P(X)، وقد يكتب في صورة P(X=x).

مثال:

في المثال السابق جد جدول التوزيع الاحتمالي.

X	0	1	2
P(X)	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

 

مثال:

في تجربة إلقاء حجري نرد منتظمين ومتمايزين معا مرة واحدة اذا دل المتغير العشوائي X على الفرق المطلق للعددين الظاهرين على الوجهين العلويين، أجد التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X:

1) أجد قيم المتغير العشوائي X.

$X=0,1,2,3,4,5$

2) أنشئ جدول التوزيع الاحتمالي.

قيم X	0	1	2	3	4	5
عدد النواتج	6	10	8	6	4	2
الاحتمال P(X)	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{36}$

 

اذا كان X متغيرا عشوائيا، فإن مجموع قيم التوزيع الاحتمالي P(X=x) يساوي 1. اذا كان X متغيرا عشوائيا، فإن $\Sigma P(X=x)=1$

ملاحظة: يمكننا إيجاد احتمالات مجهولة في التوزيع الاحتمالي باستخدام خاصية مجموعة احتمالات قيم المتغير.

مثال:

في تجربة عشوائية كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X، كما في الجدول الآتي:

X	-4	-2	0	2	4
P(X)	0.23	0.14	a	a	a

 

1) أجد قيمة a.

$$\begin{gathered} 0.23+0.14+a+a+a=1 \\ 0.38+3a=1 \\ a=\frac{1-0.37}{3} \\ \frac{0.63}{3}=0.21 \end{gathered}$$

2) أجد ناتج $P(X\le 2)$.

$$\begin{gathered} P(X<2)=P(X=0)+P(X=-2)+P(X=-4) \\ =0.21+0.14+0.23=0.58 \end{gathered}$$

3) أجد منوال التوزيع.

ملاحظة: المنوال هو قيمة X الأعلى تكرار وفي هذه المسألة يكون المنوال هو القيمة المقابلة لأعلى احتمال.

منوال التوزيع هو: 4-.

 

يمكننا إيجاد الوسط الحسابي لتوزيع احتمالي حيث أن مجموع التكرارات يساوي 1 فإن الوسط الحسابي هو: $\Sigma x.p\left(x\right)$ وهو ما يعرف بالتوقع للمتغير العشوائي X ويرمز له بالرمز E(X).

التوقع للمتغير العشوائي X في توزيع احتمالي لتجربة عشوائية يساوي مجموع حواصل ضرب كل قيمة للمتغير X في احتمال تلك القيمة. $E\left(X\right)=\Sigma x.P\left(x\right)$

مثال:

في دراسة شملت 50 طالباً اختيروا عشوائيا للتعرف على عدد الساعات التي يقضونها على الهواتف الخلوية، والجدول الآتي يبين نتائج الدراسة:

عدد الساعات (X)	2	3	5	7
عدد الطلبة (التكرار F)	14	10	15	11

 

بافتراض أن المتغير العشوائي X يمثل عدد الساعات التي يقضونها الطلبة على الأجهزة الخلوية:

1) أنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X.

X	2	3	5	7
P(X=x)	0.28	0.20	0.30	0.22

2) أجد توقع المتغير العشوائي X.

$$\begin{gathered} E\left(X\right)=\Sigma X.P\left(X\right) \\ =(2\times 0.28)+(3\times 0.20)+(5\times 0.30)+(7\times 0.22) \\ =4.2 \end{gathered}$$

ملاحظة: في بعض المسائل التي تتطلب إيجاد التوقع نكون بحاجة إلى إنشاء جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X، ثم إيجاد المطلوب.

مثال:

ألقيت قطعة نقود غير منتظمة 3 مرات متتالية. اذا دل المتغير العشوائي X على عدد مرات ظهور الصورة H، فأجد E(X)، علما بأن احتمال ظهور الصورة في الرمية الواحدة هو 0.3.

1) أجد قيم المتغير العشوائي X.

$X=0,1,2,3$

2) أجد الاحتمالات.

$$\begin{gathered} P(X=0)=P(T,T,T) \\ =0.7\times 0.7\times 0.7 \\ =0.343 \\ P(X=1)=P(H,T,T)+P(T,H,T)+P(T,T,H) \\ =(0.3\times 0.7\times 0.7)+(0.7\times 0.3\times 0.7)+(0.7\times 0.7\times 0.3) \\ =0.441 \\ P(X=2)=P(H,H,T)+P(H,T,H)+P(T,H,H) \\ =(0.3\times 0.3\times 0.7)+(0.3\times 0.7\times 0.3)+(0.7\times 0.3\times 0.3) \\ =0.189 \\ P(X=3)=P(H,H,H) \\ =0.3\times 0.3\times 0.3 \\ =0.027 \end{gathered}$$

3) أنشئ جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X.

X	0	1	2	3
P(X=x)	0.343	0.441	0.189	0.027

4) أجد توقع E(X).

$$\begin{gathered} E\left(X\right)=\Sigma x.P\left(x\right) \\ =(0\times 0.343)+(1\times 0.441)+(2\times 0.189)+(3\times 0.027) \\ =0.9 \end{gathered}$$

التباين: هو مقياس لتشتت قيم المتغير عن وسطها الحسابي E(X) ويرمز إليه بالرمز Var(x) أو الرمز ${\sigma }^2$، ويحسب بالعلاقة: $Var\left(X\right)={\sigma }^2=E\left(X^2\right)-(E{\left(X\right))}^2$

التباين للمتغير العشوائي X في توزيع احتمالي لتجربة عشوائية يساوي مجموع نواتج ضرب مربعات قيم المتغير X في احتمال كل قيمة، مطروحا منه مربع توقع المتغير X. $Var \left(X\right)={\sigma }^2=\Sigma (x^2.P(x\left)\right)-(E{\left(X\right))}^2$

مثال:

يبين الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X.

X	2	4	6	8
P(X=x)	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

1) أجد التوقع E(X).

$$\begin{gathered} E\left(X\right)=\Sigma X.P\left(X\right) \\ =(2\times \frac{1}{3})+(4\times \frac{1}{6})+(6\times \frac{5}{12})+(8\times \frac{1}{12}) \\ =4.5 \end{gathered}$$

2) أجد التباين Var(X).

$$\begin{gathered} Var \left(X\right)=\Sigma (x^2.P(X\left)\right)-(E{\left(X\right))}^2=(4\times \frac{1}{3})+(16\times \frac{1}{6})+(36\times \frac{5}{12})+(64\times \frac{1}{12})-{(4.5)}^{2}24.3-20.25 \\ =4.05 \end{gathered}$$