أتحقَّق من فهمي صفحة (135)
في تجربة القاء قطعتي نقد عشوائياً ، إذا دل المتغير العشوائي X على عدد مرات ظهور الكتابة، فأجد مجموعة قيم X .
الحل:
اذن ، مجموعة قيم المتغير العشوائي هي :
أتحقَّق من فهمي صفحة (137)
سحبت بطاقتان عشوائياً من وعاء يحوي البطاقات الآتية:
إذا دل المتغير العشوائي X على مجموع العددين الظاهرين على هاتين البطاقتين ، فأنشىء جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير X .
الحل:
أتحقَّق من فهمي صفحة (138)
في تجربة عشوائية ، كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X كما في الجدول الآتي :
a) أجد قيمة g
b) أجد ناتج :
c) أجد ناتج :
d) أجد منوال التوزيع.
الحل:
a)
b)
c)
d)
أتحقَّق من فهمي صفحة (140)
تجد حنين عددًا من الرسائل في بريدها الإلكتروني كل يوم، فقررت رصد عدد الرسائل التي وصلتها يوميا من 50 يوما اختيرت عشوائيا، وكانت النتائج التي توصلت إليها كما في الجدول الآتي:
بافتراض أن المتغير العشوائي X يمثل عدد الرسائل اليومية التي تصل البريد الالكتروني لحنين :
1) أنشىء جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X
2) جد توقع المتغير العشوائي X .
الحل:
1)
2)
أتحقَّق من فهمي صفحة (141)
يحتوي وعاء على 6 بطاقات حمراء، و 4 بطاقات زرقاء، جميعها متماثلة. إذا سحبت منها بطاقتان على التوالي من دون إرجاع، ودل المتغير العشوائي X على عدد البطاقات الزرقاء المسحوبة، فأجد E(X) .
الحل:
أتحقَّق من فهمي صفحة (143)
يبين الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X .
a) جد التوقع
b) جد التباين
الحل:
a)
b)
أتدرَّب وأحُلُّ المسائل صفحة (143)
في تجربة سحب 4 كرات على التوالي من كيس يحوي 3 كرات حمراء، وكرتين سوداوين، إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي X على عدد الكرات الحمراء في الكرات المسحوبة، فأجد قِيَم X في كلٍّ من الحالتين الآتيتين:
1) السحب مع الإرجاع.
2) السحب من دون إرجاع.
3) في تجربة إلقاء قطعة نقود 6 مرّات متتالية، إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي X على عدد مرّات ظهور الصورة ( H)، فأجد قِيَم X
4) في تجربة إلقاء حجري نرد معًا مرَّة واحدة، إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي X على ناتج ضرب العددين الظاهرين على الحجرين، فأجد قِيَم X
الحل:
1)
2)
3)
4)
يحتوي وعاء على 3 أقراص زرقاء، و 6 أقراص خضراء. إذا سُحِبت من الوعاء 3 أقراص على التوالي مع الإرجاع، ودلَّ المُتغيِّر العشوائي X على عدد الأقراص الزرقاء المسحوبة، فأجد كُلّا ممّا يأتي:
5) التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي X في صورة جدول.
6) احتمال سحب قرص أزرق واحد على الأقل.
الحل:
5)
6)
في تجربة تدوير مُؤشِّر القرص المجاور عشوائيًّا مرَّتين متتاليتين، إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي X على مجموع العددين اللذيْنِ توقَّف عندهما المُؤشِّر، وكان القطاعان الأخضر والأصفر متطابقان، فأجد: 7) التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر X في صورة جدول. 8) منوال التوزيع. |
![]() |
الحل:
7)
8)
في تجربة عشوائية، كان التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي X كما في الجدول الآتي:
9) أجد قيمة b
10) أجد ناتج:
11) أجد ناتج:
الحل:
9)
10)
11)
12) يتألَّف مجلس الطلبة في إحدى الجامعات من 10 طلاب و 15 طالبة، وقد شكَّل هؤلاء الأعضاء لجنة تضمُّ ثلاثة منهم بصورة عشوائية للاجتماع مع مُمثِّلين عن رئاسة الجامعة. إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي X على عدد الطالبات في اللجنة المختارة، فأُنشِئ جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي X.
الحل:
أجد القيمة المُتوقَّعة لكلٍّ من التوزيعات الاحتمالية الآتية:
13)
14)
الحل:
13)
14)
15) دَوَّن أحد العلماء أعمار عدد من الغزلان في الجدول الآتي:
بافتراض أنَّ المُتغيِّر العشوائي X يُمثِّل عمر الغزال، أجد التوقُّع .
الحل:
16) يُبيِّن الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي
إذا كان توقُّع X هو ، فأجد قيمة كلٍّ من a و b.
الحل:
17) يعمل في إحدى المؤسسات 9 موظفين و 15 موظفة، وقد شكَّل هؤلاء معًا لجنة مشتريات تضمُّ أربعة منهم بصورة عشوائية. إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي X على عدد الموظفات في اللجنة المختارة، فأُنشِئ جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر X، ثم أجد التوقُّع (E(X.
الحل:
18) يُبيِّن الجدول الآتي التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي Y:
إذا كان ، فأجد (
الحل:
19) أحُلُّ المسألة الواردة في بند (مسألة اليوم).
الحل:
مهارات التفكير العليا
20) تبرير: في تجربة سحب بطاقتين عشوائيًّا على التوالي من صندوق يحوي 4 بطاقات مُتماثِلة، كلٌّ منها مُرقَّمة بأحد الأرقام: ، إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي X على مجموع الرقمين الظاهرين على البطاقتين المسحوبتين، وكانت قِيَمه: ، فأُحدِّد ما إذا كان السحب مع الإرجاع، أو من دون إرجاع، وأبرّر إجابتي.
الحل:
السحب دون ارجاع ، لأنه لو كان مع الارجاع لظهرت النواتج التي تعطي المجاميع
21) تحدٍّ: رُقِّمت أوجه حجر نرد أحمر بالأرقام: ، ثم رُقِّمت أوجه حجر نرد أزرق بالأرقام: ، ثم أُلقِي الحجران معًا مرَّة واحدة. إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي X على مجموع الرقمين الظاهرين على الوجه العلوي لكلا الحجرين، فأُنشِئ جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي.
الحل:
22) تحدٍّ: في تجربة عشوائية، اختيرت بطاقة من بين 3 بطاقات تحمل الأرقام: 1، 3، 5، ثم أُلقِيت قطعة نقود منتظمة عددًا من المرّات يُطابِق الرقم المكتوب على البطاقة. إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي H على عدد مرّات ظهور الصورة ()، فأجد عناصر الحادث المُرتبِط بالقيمة: ، ثم أجد ناتج: .
الحل:
23) مسألة مفتوحة: أُنشِئ جدول التوزيع الاحتمالي لمُتغيِّر عشوائي X، قِيَمه: ، وقيمة
الحل:
أسئلة كتاب التمارين
أجد مجموعة قِيَم المُتغيِّر العشوائي X في كلٍّ من الحالات الآتية:
1) سحب 6 كرات عشوائيًّا من دون إرجاع من صندوق يحوي 4 كرات خضراء، و 5 كرات زرقاء، ودلَّ المُتغيِّر العشوائي X على عدد الكرات الخضراء المسحوبة.
الحل:
2) إطلاق 8 طلقات على هدف ثابت، ودلَّ المُتغيِّر العشوائي X على عدد مرّات إصابة الهدف.
الحل:
3) تدوير مُؤشِّر القرص المجاور مرَّتين، ودلَّ المُتغيِّر العشوائي X على مجموع الرقمين اللذيْنِ توقَّف عليهما المُؤشِّر.
الحل:
4) سُحِب بالونان عشوائيًّا مع الإرجاع من كيس فيه 8 بالونات حمراء، وبالون واحد أصفر، و 3 بالونات بيضاء. إذا دلَّ المُتغيِّر العشوائي X على عدد البالونات الصفراء المسحوبة، فأُنشِئ جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي X، ثم أُمثِّله بيانيًّا.
الحل:
يُبيِّن الجدول المجاور التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي Y
5) أجد قيمة b
6) أجد ناتج:
7) أجد ناتج:
الحل:
5)
6)
7)
8) أجد التوقُّع والتباين للمُتغيِّر العشوائي ذي التوزيع الاحتمالي الآتي:
الحل:
سُئِل طلبة إحدى المدارس عن عدد الهواتف المحمولة في منازلهم، فكانت الإجابات كما في الجدول الآتي:
بافتراض أنَّ المُتغيِّر العشوائي X يُمثِّل عدد الهواتف المحمولة:
9) أُنشِئ جدول التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي .
10) أجد التوقع:
الحل:
9)
10)