رياضيات فصل أول

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 157

أستعمِلُ خطَّ الأعدادِ المُبَيَّنَ أعلاهُ لأجد كُلًّ ممّا يأتي : 

a) AD                                                             b) CB

الحل :

a) AD 

بما أنّ إحداثِيّ النقطة A هُوَ 8 - ، وإحداثِيَّ النقطة E هُو 0 ، فإنّ : 

صيغةُ المسافةِ على خطِّ الأعدادِ	$AD = |x_2 - x_1|$
بتعويض $x_1 =-8 , x_2 = 0$	$AD = |0 - (-8\left)\right|$
بالتبسيطِ	$AD = 8$

 

 

 

---

b) CB

بما أنّ إحداثِيّ النقطة C هُوَ 2 - ، وإحداثِيَّ النقطة B هُو 5- ، فإنّ : 

صيغةُ المسافةِ على خطِّ الأعدادِ	$CB = |x_2 - x_1|$
بتعويض $x_1 =-2 , x_2 = -5$	$CB = |-5 -(-2\left)\right|$
بالتبسيطِ	$CB = 3$

 

 

 

---

 

أتحقق من فهمي صفحة 158

أَجِدُ المسافةَ بينَ كلِّ نقطتَيْنِ ممّا يأتي ، مُقَرِّبًا إجابتي لأقربِ جُزءٍ مِنْ عشرَةٍ (إنْ لَزِمَ) :

a) C(5, 0) , D( -7, 9)                                                                               b) G(4, -2) , H(8, -8)

الحل :

a) C(5, 0) , D( -7, 9) 

$$\begin{gathered} CD = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(-7 - 5)}^2 + {(9 - 0)}^2} \\ = \sqrt{225} \\ = 15 \end{gathered}$$

---

 b) G(4, -2) , H(8, -8)

$$\begin{gathered} GH = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(8 - 4)}^2 + {(-8 -(-2\left)\right)}^2} \\ = \sqrt{52} \\ \approx 7.2 \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة 160

يظهرُ في المُستوى الإحداثِيِّ المُجاوِرِ مُخَطَّطُ حديقةٍ مُثَلَّثَةِ الشكلِ، يرغبُ خالدٌ في تركيبِ مِرَشّاتٍ لريِّها عندَ رؤوسِ المُثَلَّثِ. إذا كانتْ كلُّ وحدةٍ في المُستوى الإحداثِيِّ تُمَثِّلُ مترًا واحدًا، فَأَجِدُ طولَ الأنابيبِ التي تصلُ بينَ المِرَشّاتِ الثلاثةِ، مُقَرِّبًا إجابتي لأقربِ جُزءٍ مِنْ عشرَةٍ.

 

 

 

 

 

 

 

الحل :

أحدد رؤوس المثلث :  $N (0 , 1) , M (4 , 0) , L (4 , 4)$ 

أجد طول كل من  $LN , NM , ML$

طول $LN$  نقطتي نهايتي القطعة هما $N (0 , 1) , L (4 , 4)$

$$\begin{gathered} LN = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(4 - 0)}^2 + {(4 -1)}^2} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 \end{gathered}$$

طول $NM$ نقطتي نهايتي القطعة هما $N (0 , 1) , L (4 , 0)$

$LM = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}= \sqrt{{(4 - 0)}^2 + {(0 -1)}^2}= \sqrt{17}\approx 4.1$

 

طول $ML$  نقطتي نهايتي القطعة هما $M (4 , 0) , L (4 , 4)$

$ML=\sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}= \sqrt{{(4 - 4)}^2 + {(4 -0)}^2}= \sqrt{16}= 4$

---

أتحقق من فهمي صفحة 161

a) إذا كانَ إحداثيّا نقطتَيْ نهايتي PT هُما 9- وَ 10 ، فَأَجِدُ إحداثِيَّ نقطةِ مُنتصفِ $\overline{PT}$

الحل :

صيغةُ نقطةِ المُنتصفِ على خطِّ الأعدادِ	$\frac{x_1 + x_2}{2}$
بتعويض x2 = 10 , x1 = -9	$=\frac{-9 + 10}{2}$
بالتبسيط	$=0.5$

 

 

 

 

 

---

 

b) في الشكل المُجاور ، إذا كانت M نقطة مُنتصف $\overline{VW}$ ، فَأَجِدُ طول $\overline{VM }$ وطول $\overline{VW}$

 

 

 

الحل :

الخُطوة 1 : أجد قيمة x  

تعريفُ نقطةِ مُنتصفِ قطعةٍ مستقيمةٍ	$\overline{VM} \cong \overline{MV}$
تعريفُ تطابقِ القطعِ المستقيمةِ	$VM = MW$
بالتعويضِ	$4x -1 = 3x + 3$
بجمع 1 إلى طَرَفَيِ المُعادلةِ	$4x = 3x + 4$
بطرحِ 3x مِنْ طَرَفَيِ المُعادلةِ	$x = 4$

 

 

 

 

 

الخُطوةُ 2 : أَجِدُ طولَ $\overline{VM}$

طول $\overline{VM}$	$4x -1$
بتعويض x = 4	$= 4\times 4 - 1$
بالتبسيط	$= 15$

 

 

 

طول $\overline{VW}$  = 30 

---

أتحقق من فهمي صفحة 162

أَجِدُ إحداثِيَّيِ النقطةِ M ، التي تُمَثِّلُ مُنتصفَ $\overline{HI }$؛ حيثُ $I (-1 , -7) و H (5 , -3)$. 

الحل :

صيغةُ نقطةِ المُنتصفِ في المُستوى الإحداثِيِّ	$M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2})$
بتعويض $(x_1 , y_1) = (-1 , -7) , (x_2 , y_2) = (5 , -3)$	$M (\frac{-1 + 5}{2} , \frac{-7 +(-3)}{2})$
بالتبسيطِ	$M (2 , -5)$

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 163

إذا كانت ( 10 , M(-5 نقطةَ مُنتصفِ $\overline{EP}$ ؛ حيثُ (6 , E(-8 ، فَأَجِدُ إحداثِيَّيِ النقطةِ P.

الحل :

الخطوة 1 : أُعَوِّضُ الإحداثياتِ المعلومة في صيغةِ نقطة المُنتصف في المُستوى الإحداثِيِّ.

أفترِضُ أنَّ $P (x_{2 }, y_2) و E (x_1 , y_1)$

صيغةُ نقطةِ المُنتصفِ في المُستوى الإحداثِيِّ	$M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_2 +y_2}{2}) = M (-5 , 10)$
بتعويض $(x_1 , y_1) = (-8 , 6)$	$M (\frac{-8 + x_2}{2} , \frac{6 +y_2}{2}) = M (-5 , 10)$

 

 

 

 

الخطوة 2 : أكتبُ مُعادلَتَيْنِ ، وَأَحُلُّهُما لإيجادِ إحداثِيَّيْ P

أجد y2	أجد x2
$$\begin{gathered} \frac{6+ y_2}{2} = 10 \\ 6 + y_2 = 20 \\ y_2 = 14 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \frac{-8 + x_2}{2} = -5 \\ -8 + x_2 = -10 \\ x_2 = -2 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

---

 

 أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

 

أستعمل خطَّ الأعداد المُجاور لأجد كُلّ ممّا يأتي :

 

 

1) AB                                2) CD                                  3) CB                                4) AC

الحل :

1) AB 

$AB = |x_2 - x_1| = |10 -2| = 8$

---

2) CD 

$CD = |x_2 - x_1| = |4 -(-3\left)\right| = 7$

---

3) CB 

$CB = |x_2 - x_1| = |10 -(-3\left)\right| = 13$

---

 4) AC

$AC = |x_2 - x_1| = |2 -(-3\left)\right| = 5$

---

 

أَجِدُ المسافة بين كلِّ نقطتَين ممّا يأتي، مُقَرِّبًا إجابتي لأقرب جُزء من عشرة (إن لزم) :

5) C (-1, 6) , D (4, 8)                                               6) E (6, -1) , F (2, 0)                                 7) G (4, - 5) , H (0, 2)

الحل :

5) C (-1, 6) , D (4, 8) 

$$\begin{gathered} CD = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(4 -(-1\left)\right)}^2 + {(8 - 6)}^2} \\ = \sqrt{29} \\ \approx 5.4 \end{gathered}$$

---

  6) E (6, -1) , F (2, 0) 

 $$\begin{gathered} EF = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(2 -6)}^2 + {(0 - (-1\left)\right)}^2} \\ = \sqrt{17} \\ \approx 4.1 \end{gathered}$$

---

  7) G (4, - 5) , H (0, 2)

$$\begin{gathered} GH = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(0 -4)}^2 + {(2 - (-5\left)\right)}^2} \\ = \sqrt{65} \\ \approx 8.1 \end{gathered}$$

---

 

8) أَجِدُ محيطَ المضلّعِ المُعطاةِ رؤوسُهُ في المُستوى الإحداثِيِّ المُجاورِ.

 

 

 

 

 

 

الحل :

أُسمي الرؤوس، والاحظ أن القطعة المستقيمة CD أفقية طولها 2 وحدة  ( $CD = |x_2 - x_1| = |4-2| = 2$ )

أجد طول كل من $AB , BC , AD$

طول $AB$ : نقطتي نهايتي القطعة هما $A(1 , 4) , B(-1 , -2)$

$$\begin{gathered} AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(-1 -1)}^2 + {(-2 -4)}^2} \\ = \sqrt{40} \\ \approx 6.3 \end{gathered}$$

طول $BC$ : نقطتي نهايتي القطعة هما $B(-1 , -2) , C(2 , 0)$

$$\begin{gathered} BC = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(2 -(-1\left)\right)}^2 + {(0 -(-2\left)\right)}^2} \\ = \sqrt{13} \\ \approx 3.6 \end{gathered}$$

طول$AD$ : نقطتي نهايتي القطعة هما $A(1 , 4) , D(4 , 0)$ 

$$\begin{gathered} AD = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(4 -1)}^2 + {(0 -4)}^2} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 \end{gathered}$$

محيط الشكل = مجموع أطوال أضلاعه : 

$$\begin{gathered} = CD + AB + BC + AD \\ = 2 + 6.3 + 3.6 + 5 \\ \approx 16.9 \end{gathered}$$

إذن محيط الشكل = 16.9 وحدة طول . 

---

 

أستعملُ خطَّ الأعداد المُجاور لأجد نقطة المُنتصف لكلٍّ من القطع المستقيمة الآتية :         $\mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }\overline{RS} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{10}\mathbf{)} \overline{UV} \mathbf{11}\mathbf{)}\overline{ VS}$

 

 

 

 

الحل :

$\mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }\overline{RS}$

$$\begin{gathered} \frac{x_1 + x_2}{2} \\ =\frac{-10 + -2}{2} = -6 \end{gathered}$$

---

$\mathbf{10}\mathbf{)} \overline{UV}$

$$\begin{gathered} \frac{x_1 + x_2}{2} \\ =\frac{-3 + 6}{2} = 1.5 \end{gathered}$$

---

$\mathbf{11}\mathbf{)}\overline{ VS}$

$$\begin{gathered} \frac{x_1 + x_2}{2} \\ =\frac{-2 + 6}{2} = 2 \end{gathered}$$

---

 

12) أَجِدُ مساحةَ المستطيلِ FEHG المُعطاةِ رؤوسُهُ في       المُستوى الإحداثِيِّ المُجاورِ.

 

 

 

 

 

 

الحل :

$$\begin{gathered} GF = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(-2 -0)}^2 + {(1 -(-3\left)\right)}^2} \\ = \sqrt{20} \\ \approx 4.5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} FE = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(0 -(-2\left)\right)}^2 + {(2 -1)}^2} \\ = \sqrt{5} \\ \approx 2.2 \end{gathered}$$

مساحة المستطيل  = الطول $\times$ العرض

$4.5 \times 2.2 \approx 9.9$

مساحة المستطيل 9.9 وحدة مُربعة . 

---

أستعمِلُ الشكلَ في أدناهُ لأجد PT في كلٍّ ممّا يأتي :

   

13) PT = 5x + 3 , TQ = 7x -9                                                                14) PT = 7x -24 , TQ = 6x -2

الحل :

	14) PT = 7x -24 , TQ = 6x -2	13) PT = 5x + 3 , TQ = 7x - 9
x إيجاد قيمة	$$\begin{gathered} 7x-24 = 6x - 2 \\ 7x = 6x +22 \\ x = 22 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 5x + 3 = 7x - 9 \\ 5x +12 = 7x \\ 12 = 2x \\ 6 = x \end{gathered}$$
إيجاد طول القطعة المستقيمة	$$\begin{gathered} PT = 7x -24 \\ = 7\left(22\right) - 24 \\ = 130 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} PT = 5x + 3 \\ = 5\left(6\right) + 3 \\ = 33 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أَجِدُ إحداثِيَّيْ نقطةِ مُنتصفِ$\overline{HK}$ في كلٍّ مِنَ الحالاتِ الآتيةِ : 

15) H(7, 3) , K(-4, -1)                                              16) H(-4, -5) , K(2, 9)                                           17) H(-6, 10) , K(8, -2)

الحل :

15) H(7, 3) , K(-4, -1) 

$$\begin{gathered} M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2}) \\ M (\frac{7 + (-4)}{2} , \frac{3 +(-1)}{2}) \\ M (\frac{3}{2} , 1) \end{gathered}$$

---

 16) H(-4, -5) , K(2, 9)   

$$\begin{gathered} M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2}) \\ M (\frac{-4+2}{2} , \frac{-5+9}{2}) \\ M (-1 , 2) \end{gathered}$$

---

17) H(-6, 10) , K(8, -2)

$$\begin{gathered} M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2}) \\ M (\frac{-6+8}{2} , \frac{10+(-2)}{2}) \\ M (1 , 4) \end{gathered}$$

---

 

أَجِدُ إحداثِيَّيْ نقطةِ نهايةِ القطعةِ المستقيمةِ $\overline{CD}$ المجهولةِ في كلٍّ ممّا يأتي. علمًا أنَّ M نقطةُ مُنتصفِ$\overline{CD}$

18) C(-5 , 4) , M(-2 , 5)                                              19) D(1 , 7) , M(-3 , 1)                                          20) D(-4 , 2) , M(6 , -1)

الحل :

18) C(-5, 4), M(-2, 5) 

 

الخطوة 1 : أُعَوِّضُ الإحداثياتِ المعلومة في صيغةِ نقطة المُنتصف في المُستوى الإحداثِيِّ.

أفترِضُ أنَّ $C (x_{2 }, y_2) ، D (x_1 , y_1)$

صيغةُ نقطةِ المُنتصفِ في المُستوى الإحداثِيِّ	$M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_2 +y_2}{2}) = M (-2 , 5)$
بتعويض $(x_1 , y_1) = (-5 , 4)$	$M (\frac{-5 + x_2}{2} , \frac{4 +y_2}{2}) = M (-2 , 5)$

 

 

 

 

الخطوة 2 : أكتبُ مُعادلَتَيْنِ ، وَأَحُلُّهُما لإيجادِ إحداثِيَّيْ D

أجد y2	أجد x2
$$\begin{gathered} \frac{4+ y_2}{2} = 5 \\ 4 + y_2 = 10 \\ y_2 = 6 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \frac{-5 + x_2}{2} = -2 \\ -5 + x_2 = -4 \\ x_2 = 1 \end{gathered}$$

 

---

19) D(1 , 7) , M(-3 , 1)   

الخطوة 1 : أُعَوِّضُ الإحداثياتِ المعلومة في صيغةِ نقطة المُنتصف في المُستوى الإحداثِيِّ.

أفترِضُ أنَّ $C (x_{1 }, y_1) ، D (x_2 , y_2)$

صيغةُ نقطةِ المُنتصفِ في المُستوى الإحداثِيِّ	$M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_2 +y_2}{2}) = M (-3 , 1)$
بتعويض $(x_1 , y_1) = (1 , 7)$	$M (\frac{1 + x_2}{2} , \frac{7 +y_2}{2}) = M (-3 , 1)$

 

 

 

 

الخطوة 2 : أكتبُ مُعادلَتَيْنِ ، وَأَحُلُّهُما لإيجادِ إحداثِيَّيْ C

أجد y2	أجد x2
$$\begin{gathered} \frac{7+ y_2}{2} = 1 \\ 7 + y_2 = 2 \\ y_2 = -5 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \frac{1 + x_2}{2} = -3 \\ 1 + x_2 = -6 \\ x_2 = -7 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

---

  20) D(-4 , 2) , M(6 , -1)

 

الخطوة 1 : أُعَوِّضُ الإحداثياتِ المعلومة في صيغةِ نقطة المُنتصف في المُستوى الإحداثيِّ.

أفترِضُ أنَّ $C (x_{1 }, y_1) ، D (x_2 , y_2)$

صيغةُ نقطةِ المُنتصفِ في المُستوى الإحداثِيِّ	$M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_2 +y_2}{2}) = M (6 , -1)$
بتعويض $(x_2 , y_2) = (-4 , 2)$	$M (\frac{x_1 - 4 }{2} , \frac{y_2 +2}{2}) = M (6 , -1)$

 

 

 

 

الخطوة 2 : أكتبُ مُعادلَتَيْنِ ، وَأَحُلُّهُما لإيجادِ إحداثِيَّيْ C

أجد y2	أجد x2
$$\begin{gathered} \frac{y_1 + 2 }{2} = -1 \\ {y}_1 + 2 = - 2 \\ {y}_1 = -4 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \frac{x_1 -4}{2} = 6 \\ {x}_1 - 4 = 12 \\ x_1 = 16 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

---

 

 

أستعمِل الشكل المُجاور الذي يُبين $△ ABC$ في المُستوى الإحداثيِّ، للإجابة عن السؤالين الآتيين تِباعًا : 21) أُحَدِّدُ نوعَ المُثَلَّثِ مِنْ حيثُ الأضلاعُ. 22) أَجِدُ محيطَ المُثَلَّثِ.

 

 

 

 

 

 

الحل :

أحدد رؤوس المثلث ، ثم أجد أطوال الأضلاع  

رؤوس المثلث  : $A(0 , 1 ) , B(4 , 4) , C(7 , 0)$

$$\begin{gathered} AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(4 -0)}^2 + {(4 -1)}^2} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} BC = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(7 -4)}^2 + {(0 -4)}^2} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} AC = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(4 -0)}^2 + {(4 -1)}^2} \\ = \sqrt{50} \\ = 5\sqrt{2} \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

نوع المثلث متطابق الضلعين .

محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه :

$5 + 5 + 2\sqrt{5} = 10 + 2\sqrt{5}$

---

 

23) مسافةٌ : تظهَرُ في المُستوى الإحداثِيِّ المُجاورِ 3 مناطقَ في العاصمةِ عمّانَ ، هِيَ: صويلحُ، والجامعةُ الأردنيَّةُ، والرابيةُ. إذا كانتْ كلُّ وحدةٍ في المُستوى الإحداثِيِّ تُمَثِّلُ كيلومترًا واحدًا، فَأَجِدُ المسافةَ بينَ صويلحَ والجامعةِ الأردنيَّةِ والمسافةَ بينَ الرابيةِ والجامعةِ الأردنيَّةِ، مُقَرِّبًا إجابتي لأقربِ جُزءٍ مِنْ عشرَةٍ.

 

 

 

 

 

 

الحل :

أحدد الرؤوس التي تمثل مواقع المناطق : الرابية $(-4 , -2)$  ،  الجامعة الأردنية  $(1 , -1)$ ، صويلح $(3 , 2)$

المسافة بين صويلح والجامعة الأردنية	المسافة بين الرابية والجامعة الأردنية
$$\begin{gathered} = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(1 -3)}^2 + {(-1 -2)}^2} \\ = \sqrt{13} \\ \approx 3.6 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(1 -(-4\left)\right)}^2 + {(-1 -(-2\left)\right)}^2} \\ = \sqrt{26} \\ \approx 5.1 \end{gathered}$$

 

---

 

24) أَحُلُّ المسألةَ الواردةَ في بدايةِ الدرسِ.

مسألة اليوم : تلتقطُ آلةُ تصويرٍ صورًا عاليةَ الدقةِ للطيور التي تبعُدُ عنها 50 m أوْ أقلَّ. هلْ تلتقطُ الآلة صورة عالية الدقة لطائر النورس المُوَضَّح موقعُهُ في المُستوى الإحداثِيِّ المُجاور؟

 

 

 

 

 

 

 

الحل :

موقع طائر النورس (30 ، 20 )

$$\begin{gathered} = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(20 -0)}^2 + {(30 -0)}^2} \\ = \sqrt{1300} \\ \approx 36.1 \end{gathered}$$

المسافة بين آلة التصوير وطائر النورس 36.1 مترًا تقريبًا وهي أقل من 50 متر ؛ إذن آلة التصوير تلتقط صورة عالية الدقة لطائر النورس

 

---

مهاراتُ التفكيرِ العُليا

25) أكتشِفُ الخطأَ : وجدَ عمادٌ المسافةَ التقريبيَّةَ بينَ النقطتَيْنِ A(6, 2) وَ ( 4- , B(1 ، كما هُوَ مُبَيَّنٌ جانبًا. أكتشِفُ الخطأَ في حلِّ عمادٍ، وَأُصَحِّحُهُ.

 

 

 

 

 

 

الحل :

أخطأ عماد إذ عوّض في القانون الفرق بين إحداثي y في نقطة وإحداثي x في النقطة الثانية ، والصحيح أن يعوّض الفرق بين إحداثيا x في النقطتين ، والفرق بين إحداثبا y في النقطتين .

الحل الصحيح 

$$\begin{gathered} AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(6 -1)}^2 + {(2 -(-4\left)\right)}^2} \\ = \sqrt{61} \\ \approx 7.8 \end{gathered}$$

---

26) تبرير : تقعُ النقطة P على القطعةِ المستقيمةِ التي نهايَتاها النقطتان ( 4 , A(1 وَ ( 13 , D(7 . إذا كانَت المسافةُ بين P وَ A ثلاثةَ أمثال المسافة

بين P وَ D، فأجدُ إحداثيات النقطة P. أبرِّرُ إجابتي.

الحل :

 

 

 

أجد  نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة AD 

$M (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_2 +y_2}{2}) = M(\frac{1 + 7}{2} , \frac{4 +13}{2}) = M (4 , 8.5)$

أفترض طول PD = x  ، إذن طول AP = 3x  وعليه طول AD = 4x 

إذن طول  $PD = \frac{1}{4} \left(AD\right)$  ،  إذن P تقع منتصف القطعة MD 

$M(4 , 8.5) , D(7 , 13)$

$P (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_2 +y_2}{2}) = P(\frac{4 + 7}{2} , \frac{8.5 +13}{2}) =P (5.5 , 10.75)$

 

---

 

 

27) تبريرٌ : يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ مُخَطَّطًا لحديقةٍ عامَّةٍ على شكلِ مُثَلَّثٍ مُحاطةٍ بِمَمَرِّ مُشاةٍ. تمارسُ فيها مرامُ رياضةَ الركضِ، حيثُ انطلقَتْ على المَمَرِّ بسرعةٍ ثابتةٍ مقدارُها 130 m لكلِّ دقيقةٍ مِنْ P إلى Q ثمَّ مِنْ Q إلى R ثمَّ عادَتْ إلى P. كمْ دقيقةً تقريبًا استغرَقَتْ مرامُ للعودةِ إلى P مرّةً أخرى؟  أُبَرِّرُ إجابتي.

 

 

 

 

 

 

 

الحل :

$P(10 , 50) , Q(10 , 10)$  ، المسافة رأسية  :$|y_2 - y_1) = |10 - 50| = 40$

$Q(10 , 10) , R(80 , 10)$  ، المسافة أفقية  :    $|x_2 - x_1) = |80 -10| = 70$

باستخدام نظرية فيثاغورس أستطيع إيجاد طول RP

$$\begin{gathered} RP = \sqrt{{\left(PQ\right)}^2 + {\left(QR\right)}^2} \\ RP = \sqrt{{\left(40\right)}^2 + {\left(70\right)}^2} \\ RP = \sqrt{1600 + 4900} \\ RP = \sqrt{6500} \\ RP \approx 80.6 \end{gathered}$$

المسافة الكاملة التي قطعتها مرام  $40 + 70 +\sqrt{6500} \approx 110+\sqrt{6500} m$

المدة الزمنية التي استغرقتها مرام بالدقائق: $\frac{110+\sqrt{6500}}{130}\approx 1.5 min$

 

---

 أسئلة كتاب التمارين

أَجِدُ المسافة بين كلِّ نقطتَين ممّا يأتي، مُقَرِّبًا إجابتي لأقرب جُزء من عشرة (إن لزم) : 

1) A(1 , 2) , B(0 , -7)                             2) C(-1 , -2) , D(3 , -4)                                  3) E(9 , 1) , F(-2 , 3)

الحل :

1) A(1 , 2) , B(0 , -7)	2) C(-1 , -2) , D(3 , -4)	3) E(9 , 1) , F(-2 , 3)
$$\begin{gathered} AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(0 -1)}^2 + {(-7 -2)}^2} \\ = \sqrt{82} \\ \approx 9.1 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} CD = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(3 +1)}^2 + {(-4 +2)}^2} \\ = \sqrt{20} \\ \approx 4.5 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} EF = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(-2-9)}^2 + {(3 -1)}^2} \\ = \sqrt{125} \\ \approx 11.2 \end{gathered}$$

 

---

 

يُبَيِّنُ الشكلُ المُجاورُ مواقعَ ثلاثةِ لاعِبينَ في مباراةِ كرةِ الماءِ. أَجِدُ: 4) المسافةَ بينَ اللاعِبَيْنِ A وَ B 5) المسافةَ بينَ اللاعِبَيْنِ B وَ C 6) المسافةَ بينَ اللاعِبَيْنِ A وَ C

 

 

 

 

 

 

 

 

الحل :

4) المسافةَ بينَ اللاعِبَيْنِ A وَ B	5) المسافةَ بينَ اللاعِبَيْنِ B وَ C	6) المسافةَ بينَ اللاعِبَيْنِ A وَ C
$$\begin{gathered} AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(18 -8)}^2 + {(7 -4)}^2} \\ = \sqrt{109} \\ \approx 10.4 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} CB = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(24 -18)}^2 + {(14 -7)}^2} \\ = \sqrt{85} \\ \approx 9.2 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} CA = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(24 -8)}^2 + {(14 -4)}^2} \\ = \sqrt{356} \\ \approx 18.9 \end{gathered}$$

 

---

 

إذا كانَتْ M نقطة مُنتَصف $\overline{FG}$ ، فَأَجِدُ القيمة المجهولة في كلٍّ ممّا يأتي :

7) FM = 3x – 4, MG = 5x – 26, FG = ?                                                        8) FM = 5y + 13, MG = 5 – 3y, FG = ?

9) MG = 7x – 15, FG = 33, x = ?                                                                 10) FM = 8a +1, FG = 42, a = ?

الحل :

 

	8) FM = 5y + 13, MG = 5 – 3y, FG = ?	7) FM = 3x – 4 , MG = 5x – 26 , FG = ?
أجد قيمة x	$$\begin{gathered} 5y + 13 = 5 - 3y \\ 8y + 13 = 5 \\ 8y = -8 \\ y = -1 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 3x - 4 = 5x - 26 \\ 3x = 5x -22 \\ -2x = -22 \\ x = 11 \end{gathered}$$
أجد طول FG	$$\begin{gathered} FM = 5y+13 \\ = 5(-1) +13 \\ = 8 \end{gathered}$$ $FG = 2 \times 8 = \mathbf{16}$	$$\begin{gathered} FM = 3x- 4 \\ = 3\left(11\right) - 4 \\ = 29 \end{gathered}$$      $FG = 2 \times 29 = \mathbf{58}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10) FM = 8a +1, FG = 42, a = ?	9) MG = 7x – 15, FG = 33, x = ?
$FM = \frac{1}{2} \times 42 = 21$ $$\begin{gathered} 8a + 1 = 21 \\ 8a = 20 \\ a = 20 ÷ 8 =\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{5} \end{gathered}$$	$MG = \frac{1}{2} \times 33 = 16.5$ $$\begin{gathered} 7x – 15 = 16.5 \\ 7x = 31.5 \\ x = 31.5 ÷ 7 =\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{5} \end{gathered}$$

 

---

 

 

11) إذا علمتُ أنَّ النقطةَ B هِيَ مُنتَصَفُ $\overline{AC}$ والنقطةَ C هِيَ مُنتَصَفُ $\overline{AD}$ ، كما هُوَ مُبَيَّنٌ في الشكلِ المُجاورِ، فَأَجِدُ إحداثِيَّيْ B

 

 

 

 

 

 

الحل :

أجد إحداثيي النقطة C

$C (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_2 +y_2}{2}) = (\frac{-4 + 6}{2} , \frac{-5 +11}{2}) = C(1 , 3)$

أجد إحداثيي النقطة B

$B (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_2 +y_2}{2}) = (\frac{-4 + 1}{2} , \frac{-5 +3}{2})= B (\frac{-3}{2} , -1)$

---

 

12) هَلِ المُثَلَّثانِ المرسومانِ في المُستوى الإحداثِيِّ المُجاورِ  مُتطابِقانِ؟ أُبَرِّرُ إجابتي.

 

 

 

 

 

 

الحل : 

أجد أطوال أضلاع المثلثين 

في المثلث PQR طول الضلع PR يساوي 4  وحدات 

في المثلث TSW طول الضلع SW يساوي 4 وحدات 

أضلاع المثلث PQR
$$\begin{gathered} QR = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(4 -1)}^2 + {(0 -3)}^2} \\ = \sqrt{18} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} PQ = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(1 -0)}^2 + {(3 -0)}^2} \\ = \sqrt{10} \end{gathered}$$
أضلاع المثلث TSW
$$\begin{gathered} TW = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(8 -5)}^2 + {(4 -1)}^2} \\ = \sqrt{18} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} TS = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2} \\ = \sqrt{{(8 -5)}^2 + {(0 -1)}^2} \\ = \sqrt{10} \end{gathered}$$

إذن أضلاع المثلثين متطابقة ؛ فالمثلثان متطابقان .

---