رياضيات فصل ثاني

التوجيهي علمي

icon

الدرس الثاني:المستقيمات في الفضاء

 أتحقق من فهمي 127

‏إذا كان:G(7 , 5 , -11) , H(4 , 4, -4) , K(4 , 5 , 3) , L(7 , 7 , 3) ،

فأحدد إن كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أم لا     :

a GH , KL   Solution:G(7 , 5 , -11) , H(4 , 4 ,-4) , K(4 , 5 , 3) , L(7 , 7 , 3) GH=<4-7 ,4-5 ,-4-11>=<-3 ,-1 ,-15> KL=<7-4 ,7-5 ,3-3>=<-3 ,2 ,0> GH c KL  GH  KL  b GL , HK   Solution:G(7 , 5 , -11) , H(4 , 4, -4) , K(4 , 5 , 3) , L(7 , 7 , 3) GL=<7-7 ,7-5 ,3--11>=<0 ,2 ,14> HK =<4-4 ,5-4 ,3--4>=<0 ,1 ,7> GL =12 HK   GL  HK     

        

أتحقق من فهمي  129

في المثلث RST المجاور. إذا كان: RS=4a , RT=6b                                

والنقطة u  منتصف RS  والنقطة v  منتصف  RT  فأثبت أن uv ST 

 

 

Solution: RS +ST =RT  4a+ST =6b ST =6b- 4a  ...  1 RU +UV =RV 2a+UV=3b UV=3b- 2a  ...  2 from 1 and  2 ST =2(3b- 2a) ST =2UV ST   UV   

 

أتحقّق من فهمي 130

يظهر في الشكل المجاور المثلثOAB. إذا كان OA=a , OB=b  .                           

 وكانت النقطة D تقع على OB  والنقطة E  منتصف AB  والنقطة F تقع على AD

  حيث:  OF=25(a+b)  فأثبت أن E.O.F  تقع على استقامة واحدة.

Solution: OE+EB=OB OE+12AB=b To solve AB  OA+AB=OB a+AB=b    AB=b-a Now:  OE+12b-a=b       OE=12a+b  ...  1But     OF=25a+b  ...  2 from 1 and  2           OF=45OE          OF  OE  

والمتجهان لهما نفس نقطة الانطلاق فهما منطبقين أي متوازيين .

أتحقق من فهمي  132

أجد معادلة متجهة للمستقيم   الذي يوازي المتجه v=1,-4,-5:  ويمر بالنقطة U(0,-6, 9).

        Solution: V=<1 ,-4, -5> and  U(0 ,-6 ,9)         rο=<0 ,-6, 9> r=rο+tV r=rο+tV r=<0 ,-6, 9>+t<1 ,-4, -5>

 

اتحقق من فهمي 133

أجد معادلة متجهة للمستقيم  المار بالنقطتين: N(2,-4,3) , M(3,7,-9) 

      Solution:N(2,-4,3) , M(3,7,-9)let  NM=V            =<3-2 ,7--4,-9-3>       V =<1 ,11, -12>  and  N(2,-4,3)         rο=<2 ,-4, 3> r=rο+tV r=<2 ,-4, 3>+t<1 ,11, -12>

 

أتحقق من فهمي 134

تمثل: r=11i^+5j^-6k^ +t(7i^-2j^+5k^)  معادلة متجهة للمستقيم .l 

a) أبين أن النقطة  التي متجه الموقع لها هو  (39i^-3j^+14k^) تقع على المستقيم  .l

Solution:(39i^-3j^+14k^)=11i^+5j^-6k^ +t(7i^-2j^+5k^)39i^-3j^+14k^=11i^+5j^-6k^ +7ti^-2tj^+5tk^28i^-8j^+20k^=7ti^-2tj^+5tk^Now:       for i^ 28=7tt=4|for j^ -8=-2tt=4||for k^ 20=5tt=4| 

b) أجد متجه الموقع للنقطة التي تقع على هذا المستقيم؛ وتقابل القيمة: t = -3‏ 

 

Solution:r=11i^+5j^-6k^ +t(7i^-2j^+5k^) for  t=-3r=11i^+5j^-6k^ +(-3)(7i^-2j^+5k^)   =11i^+5j^-6k^ -21i^+6j^+-15k^  v =-10i^+11j^-21k^ 

 

c) إذا كانت النقطة (v ,-3v , 5v-1) تقع على المستقيم l. فما قيمة v ؟  

        بما أنّ النقطة تقع على المستقيم فهي تحققه وأن متجه الموقع لها كما يلي:

Solution:r=vi^+-3vj^+(5v-1)k^  vi^+-3vj^+(5v-1)k^=11i^+5j^-6k^ +t(7i^-2j^+5k^)vi^+-3vj^+(5v-1)k^=11+7ti^+5-2tj^+(-6+5t)k^ Now: for i^ : v=11+7t             ... 1 for j^ : -3v=5-2t          ... 2 for k^ : 5v-1=-6+5t    ... 3 

وبحل نظام المعادلات نجد أن : 

 3v=33+21t             ... 1-3v=5-2t              ... 2 38+19t=0  t=-2 when  t=-2  v=11+7(-2) v=-3

بالتالي فإن إحداثيات النقطة هي : (v ,-3v , 5v-1)=(-3 , 9 , -16) 

أتحقق من فهمي 136

إذا كانت: r=<3 , 7 , -9>+t<1 , 11 , -12> معادلة متجهة للمستقيم  l1

وكانت: r=<-30 , -6 , 30> +u<4 , -6 , 3> معادلة متجهة للمستقيم l2 ،  

فأحدد إذا كان المستقيمان: l1, l2  متوازيين ، أو متقاطعين ، أو متخالفين ،

ثم أجد إحداثيات نقطة تقاطعهما إذا كانا متقاطعين     .

 

لتحديد إذا كان المستقيمان متوازيان فيجب أن يكون أحدهما مضاعفاً للآخر من خلال الإتجاه في صيغة المستقيم لكل منهما .

Solution: V1=<1 , 11 , -12>V2=<4 , -6 , 3> 

لاحظ أن أحدهما ليس مضاعفاً للآخر بالتالي فهما غير متوازين

وسنبحث الآن في التقاطع أي وجود نقطة مشتركة بينهما .وذلك بفرض تساوي المتجهين عند نقطة التقاطع:

 solution:r=<3 , 7 , -9>+t<1 , 11 , -12>r=<-30 , -6 , 30>+u<4 , -6 , 3><3 , 7 , -9>+t<1 , 11 , -12>=<-30 , -6 , 30>+u<4 , -6 , 3> now  for i: 3+t=-30+4u    33=4u-t            .... 1 for j: 7+11t=-6-6u  13=-6u-11t     .... 2 

وبحل نظام المعادلات نجد أن : 

    33=4u-t             .... 1    13=-6u-11t     .... 2    99=12u-3t      26=-12u-22t      125=-25t   t=-5   therfore:               u=7          

بالتالي فإن إحداثيات نقطة التقاطع هي :

when t=-5 r=<3 , 7 , -9>+<-5 , -55 , 60>=<-2 , -48 , 51>when u=7r=<-30 , -6 , 30>+<28 , -42 , 21>=<-2 , -48 , 51>

 

أتحقق من فهمي 138 

عرض جوي: أقلعت طائرة من موقع إحداثياته :(0,7,0) . وفي الوقت نفسه.

أقلعت طائرة ثانية من موقع إحداثياته: (-2,0,0).  وبعد التحليق مدة قصيرة

في مسارين مستقيمين ، أصبحت الطائرة الأولى عند الموقع الذي إحداثياته:(8,15,16) ،

وأصبحت الطائرة الثانية عند الموقع الذي إحدائياته: (22,24,48) .

 هل خطا سير الطائرتين متوازيان أم متقاطعان ، أم متخالفان؟

Solution:

سنجد معادلة مسار كل من الطائرتين بحيث : 

v1=<8-0,15-7,16-0>   =<8,8,16>=<1,1,2>r=<0,7,0>+t<1,1,2>v2=<22--2,24-0,48-0>   =<24,24,48>=<1,1,2>r=<-2,0,0>+u<1,1,2>

خطا سير الطائرتين متوازيان لأن أحدهما مضاعفاً للآخر .

 

أتدرب وأحل المسائل :

أحدد إذا كان المتجهان متوازيين أم لا في كل مما يأتي:

1 <8 , 12 , 24> , <15 , 10 , -2>   Solution:         

غير متوازيين لأن أحدهما ليس من مضاعفات الآخر .

2 <27 , -48 , -36> , <9 , -16 , -12>   Solution: <27 , -48 , -36>=3 <9 , -16 , -12>

متوازيان لأن أحدهما  مضاعفا للآخر .

3 <-6 , -4 , 10> , <-3 , -1, 13>   Solution: <-6 , -4 , 10>  k<-3 , -1, 13>

غير متوازيين لأن أحدهما ليس من مضاعفات الآخر .

4 <12 , -8 , 32> , <21 , -14, 56>   Solution:<12 , -8 , 32>=47 <21 , -14, 56>

متوازيان لأن أحدهما  مضاعفا للآخر .

يمثل الشكل المجاور متوازي الأضلاع      PQRS

الذي تقع فيه النقطةNعلى SQ 

حيث: SN:NQ = 3:2  و PQ=a, PS=b 

5 أكتب SQ بدلالة  a,b .  

   Solution:SQ=?PS+SQ=PQb+SQ=a  SQ=a-b

6  أكتب NR  بدلالة a,b .  

Solution:NR =?SN +NR =SR    but SR =aSN +NR =bnow we need to solve SN SN :NQ =3:2SN NQ =3223SN =NQ   ... 1and SN +NQ = SQ =a-b       SN +NQ =a-b      ... 2 from 1 and 2  SN +23SN =a-b SN =35a-b now SN +NR =a    35a-b+NR =a    NR =a-35a+35b   NR=25a+35b

7 معتمدا المعلومات المعطاة في الشكل المجاور

   أثبت أنّ BEDC متوازي أضلاع

   سيكون الشكل متوازي اضلاع إذا كان كل ضلعين متقابلين متوازيين

  أي أنّ :

Solution:BE =?BA+AE=BE               a+2b=BE   ... 1 CD =?DE+EC=DCa-3b+b -2a=DC  a+2b=CD  ... 2     from 1 and 2   BE DC  and BE =DC Now :BC =? BE+EC=BC    a+2b+b -2a=BC  -a+3b=BC  ... 3  Now :ED=a-3b       -a+3b=DE    ... 4   from 1 and 2   BC DE  and BC =DE   

8   في متوازي الأضلاع OABC  المجاور.                            

    والنقطة  T هي منتصف الضلع CB والنقطة  U تقسم AB

     بنسبة  2:1   ، إذا مد الضلع OA على استقامته إلى النقطة  X   

    حيث OA =AX :.

    فأثبت أن T و U و X   تقع على استقامة واحدة. 

           تقع النقاط T,U,X على استقامة واحدة إذا   TU// UX

    Solution:TU =?TB +BU =TU    3a+BU =TU     to solve  BU=?BU=12UA  BU+UA=BA=6a  UA=6a-BU BU=126a-BU BU=2a 3a+BU =TU    3a+2a=TU    TU =5a    .... 1 Now UX =? AU +UX =AXbut: BU+UA=6a         2a+UA=6a   UA=4a-4a+UX =6a   UX=10a  .... 2  from 1 and 2 :UX =2TU 

متوازيان ويلتقان في نقطة واحدة فهما على استقامة واحدة 

أجد معادلة متجهة للمستقيم الذي يوازي المتجه a  ويمر بنقطة متجه الموقع لها  bفي كل مما يأتي:

9 a=-7i^+j^   , b=5i^+3j^ Solution:r=b+tar=5i^+3j^ +t(-7i^+j^)    =5,3,0+t-7,1,010 a=-3i^+2j^ -k^  , b=-2i^+8k^ Solution:r=b+tar=-2i^+8k^ +t(-3i^+2j^ -k^)    =<-2,0,8>+t<-3,2,-1>

 

11 a=<4,3>   , b=<9,-2> Solution:r=b+tar=<9,-2> +t<4,3>12 a=<0,-1,3>  , b=<10,3,-6> Solution:r=b+tar=<10,3,-6> +t<0,-1,3>

 

أجد معادلة متجهة للمستقيم المار بالنقطتين في كل مما يأتي:

 

13 (10,3,-6)  , (0,-1,3) Solution:r=rο+tv v=<0-10,-1-3,3--6>=<-10,-4,9>r=<10,3,-6> +t<-10,-4,9>14 (11,-6,9)  , (1,4,29) Solution:r=rο+tv v=<1-11,4--6,29-9>=<-10,10,20>                                               =<-1,1,2>r=<11,-6,9> +t<-1,1,2>

 

15 (-30,-6,30)  , (-26,-12,23) Solution:r=rο+tv v=<-26--30,-12--6,23-30>=<4,-6,-7>r=<-30,-6,30> +t<4,-6,-7>16 (-2,9,1)  , (10,5,-1) Solution:r=rο+tv v=<10--2,5-9,-1-1>=<12,-4,-2>                                               =<6,-2,-1>r=<-2,9,1> +t<6,-2,-1>

 

17 أجد إحداثيات نقطة تقاطع المستقيمينr=<-2 , 2 ,-1>+t<1 ,2 , -1>، r=<4 , 4 , -7>+u<-1 , 3 , 1> :

  solution:r=<-2 , 2 ,-1>+t<1 ,2 , -1>r=<4 , 4 , -7>+u<-1 , 3 , 1><-2 , 2 ,-1>+t<1 ,2 , -1>=<4 , 4 , -7>+u<-1 , 3 , 1> now  for i: -2+t=4-u    6=t+u            .... 1 for j: 2+2t=4+3u    -2=-2t+3u     .... 2 from 1 and 2  u =2 and  t=4  So:r=<-2 , 2 ,-1>+4<1 ,2 , -1>=<2 ,10 , -5> The intersection point =(2 ,10 , -5)

يمر المستقيم l1  بالنقطتين: F , E  ويمر المستقيم l2  بالنقطتين: H , G .

أحدد إذا كان هذان المستقيمان متوازيين، أو متخالفين . أو متقاطعين. 

ثم أجد إحداثيات نقطة التقاطع إذا كانا متقاطعين في كل مما يأتي:

18 E(3,-5,-7)  , F(-11,9,14) , G(8,-1,-8)  , H(2,5,1) Solution:EF =<-11-3,9--5,14--7>=<-14,14,21>=<-2,2,3>GH=<2-8,5--1,1--8>=<-6,6,9>=<-2,2,3> EF GH

 

19 E(3,7,-9)  , F(2,-4,3) , G(-30,-6,30)  , H(-26,-12,33) Solution:EF =<2-3,-4-7,3--9>=<-1,-11,12>GH=<-26--30,-12--6,33-30>=<4,-6,3> EF   GH solution:EF =<3 , 7 ,-9>+t<-1,-11,12>GH=<-30 ,-6 , 30>+u<4,-6,3><3 , 7 ,-9>+t<-1,-11,12>=<-30 ,-6 , 30>+u<4,-6,3> now  for i: 3-t=-30+4u      33=t+4u            .... 1 for j: 7-11t=-6-6u    13=11t-6u         .... 2 from 1 and 2  u =7 and  t=5  So:r=<3 , 7 ,-9>+5<-1,-11,12>=<-2 ,-48 , 51> The intersection point =(-2 ,-48 , 51)

يمر المستقيم l بالنقطتين: A (-2,9,1) ، B(10,5,-7)  :

20  أكتب معادلة متجهة للمستقيم  

 A(-2,9,1)  , B(10,5,-7)  Solution:AB =<10--2,5-9,-7-1>=<12,-4,-8>=<3,-1,-2>r=<-2 ,9 ,1>+t<3,-1,-2>

21 أبين أن النقطة (19,2,-13)  تقع على المستقيم l   

              متجه الموقع للنقطة هو:

  Solution:<19,2,-13>=<-2 ,9 ,1>+t<3,-1,-2>SO:19=-2+3t      t=7 2=9-t             t=7 -13=1-2t     t=7 Therfor (19,2,-13) satisfied the line equation 

22 أجد قيمة a إذا كانت النقطة (1,a,-1)  تقع على المستقيم 

  Solution:<1,a,-1>=<-2 ,9 ,1>+t<3,-1,-2>SO:1=-2+3t     t=1 a=9-1          a=8 

23 أجد قيمة c و b  إذا كانت النقطة (-8,b,c) تقع على المستقيم 

          Solution:<-8,b,c>=<-2 ,9 ,1>+t<3,-1,-2>SO:-8=-2+3t     t=-2  b=9-t      b=9--2        b=11  c=1-2t            c=1-2(-2)   c=5 

 

24 أجد نقطة تقع على المستقيم l ، وتقع أيضا فى المستوى xz 

  Solution:<x,0,z>=<-2 ,9 ,1>+t<3,-1,-2>SO:0=9-t               t=9  x=-2+3t x=-2+3(9)     x=25    z=1-2t z=1-2(9)        z=-17        (x,0,z)=(25,0,-17)

25 إذا كان: m=1,-2,3 , n=-5,4,a وكان المتجه: 3n+bm

      يوازي المتجه: 3,-3,5   فأجد  قيمة كل من b و a .  

  Solution:3n+bm=3<-5 ,4 ,a>+b<1,-2,3>3n+bm=<-15+b ,12-2b ,3a+3b> but (3n+bm)<3 ,-3 ,5> so there exiest k(constsnt) such that:3n+bm=k<3 ,-3 ,5><-15+b ,12-2b ,3a+3b>=<3k ,-3k ,5k>-15+b=3k          ... 1 12-2b=-3k        ... 2 3a+3b=5k           ... 3  from 1 and 2 :  -3-b=0                   b=-3     from 1 :  -15-3=3k               k=-6 from 3 :  3a+3(-3)=5(-6)   a=-7 

 26 إذاكان:  v=a3-56+b14c فأجد قيمة كل من: a , b , c  

      علما بأن اتجاه v في اتجاه محورy  المو جب و v=34 

  Solution:v=a<3 ,-5 ,6>+b<1,4,c>       =<3a ,-5a ,6a>+<b,4b,bc>   =<3a+b ,-5a+4b ,6a+bc> and v=k<0 ,1 ,0>=<0 ,k ,0>  34=(0)2+(k)2+(0)2  k=+34 therefore:<0 ,k ,0>=<3a+b ,-5a+4b ,6a+bc>0=3a+b                 ... 1 k=-5a+4b         34=-5a+4b         ... 2  0=6a+bc               ... 3  from 1 and 2 : 0=15a+5b102=-15a+12b   b=6     from 1 :  0=3a+6                a=-2 from 3 :  0=6(-2)+6c       c=2

متجهات الموقع للنقاط : A ,B , C   الواقعة على مستقيم واحد هي:

على الترتيب a=2i^+pj^-qk^ ,b=-4i^+13j^-k^ , c=14i^+j^+5k^ , :

27  أجد قيمة p   

      بما أن المتجهات الثلاثة تقع على مستقيم واحد فسنجد معادلة المستقيم من النقطتين المعلومتين B , C .

 Solution:a=2i^+pj^-qk^ ,b=-4i^+13j^-k^ , c=14i^+j^+5k^ ,BC =(14--4)i^+(1-13)j^+(5--1)k^BC =18i^-12j^+6k^      divided by 6V=3i^-2j^+k^and r=-4,13,-1+t3,-2,1

    وكذلك النقاط الثلاث لمتجهات الموقع جميعها تحقق معادلة المستقيم  BC

 Solution: so a=2i^+pj^-qk^  satisfied r:  <2,p,q>=<-4,13,-1>+t<3,-2,1>  for i: 2=-4+3t  t=2  for j: p=13-2(2) p=9   for k: q=-1+(2) q=1 

28  أجد قيمة q

 Solution: for k: q=-1+(2) q=1 

29 أجد إحدائيات نقطة تقاطع المستقيم المار بالنقطتين: B ,A  مع المستوى yz .

    Solution: BA=<-4,13,-1>+t<3,-2,1> and v for yz plain where x=0 is : v=<0,y,z><0,y,z>=<-4,13,-1>+t<3,-2,1>  for i: 0=-4+3t         t=43  for j: y=13-2(43)    y=313   for k: z=-1+(43)    z=13 so the intersection point =(0,313,13)

30  أجد طول AC¯ في صورة: a14 حيث a عدد صحيح 

    Solution: A(2,9,1) , C(14,1,5) AC =(14-2)2+(1-9)2+(5-1)2 AC =144+64+16          =224=16×14=414

31 B(2,3) , A(1,2) نقطتان في المستوى الإحداثي. أجد معادلة المستقيم المار بهاتين النقطتين ،

       ثم أجد معادلة متجهة لهذا المستقيم مقارنا بين المعادلتين.

      Solution:A(1,2) , B(2,3)  y-y1=m(x-x1) y-2=3-22-1(x-1)  y=x+1 in xy plainv=2-1,3-2=<1,1> r=1,2+t1,1So: x=1+t  y=2+t  if we solve it in x and y  x-y=-1y=x+1 

 

 إذا كان المستقيم l1 يمر بالنقطة  A(-3,-1,12)والنقطة  B(-2,0,11)؛

 وكان المستقيم l2  يوازي المستقيم l1 ويمر بالنقطة  C(11,9,12)فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعا :

32  أجد معادلة متجهة للمستقيم l1

 Solution: AB =<-2--3,0--1,11-12>       =<1,1,-1> r=<-3,-1,12>+t<1,1,-1>

33  أجد معادلة متجهة للمستقيم l2   

 Solution: c(11,9,12) and l1l2 and v =<1,1,-1> r=<11,9,12>+u<1,1,-1>

إذا كانت: C(0,-2,4) , B(-3,4,-5), A(-1,-2,1)؛ فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعا:

34  أجد إحداثيات النقطة M التي هي نقطة منتصف AB¯  

 Solution:C(0,-2,4) , B(-3,4,-5), A(-1,-2,1) M=-1+-32,-2+42,1+-52 M=-2,1,-2

35  إذا وقعت النقطة  ‎N على القطعة المستقيمة BC¯ . وكان:2BN=NC

      فأجد معادلة متجهة للمستقيم المار  ‏بالنقطتين M ,N  .  

       Solution:C(0,-2,4) , B(-3,4,-5), A(-1,-2,1), M