الدرس الثاني:المستقيمات في الفضاء
أتحقق من فهمي 127
إذا كان: ،
فأحدد إن كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أم لا :
أتحقق من فهمي 129
في المثلث RST المجاور. إذا كان: 
والنقطة u منتصف والنقطة v منتصف فأثبت أن .
أتحقّق من فهمي 130
يظهر في الشكل المجاور المثلثOAB . إذا كان . 
وكانت النقطة D تقع على والنقطة E منتصف والنقطة F تقع على
حيث: فأثبت أن E.O.F تقع على استقامة واحدة.
والمتجهان لهما نفس نقطة الانطلاق فهما منطبقين أي متوازيين .
أتحقق من فهمي 132
أجد معادلة متجهة للمستقيم الذي يوازي المتجه : ويمر بالنقطة .
اتحقق من فهمي 133
أجد معادلة متجهة للمستقيم المار بالنقطتين:
أتحقق من فهمي 134
تمثل: معادلة متجهة للمستقيم .l
a) أبين أن النقطة التي متجه الموقع لها هو تقع على المستقيم .l
b) أجد متجه الموقع للنقطة التي تقع على هذا المستقيم؛ وتقابل القيمة: t = -3
c) إذا كانت النقطة تقع على المستقيم l. فما قيمة v ؟
بما أنّ النقطة تقع على المستقيم فهي تحققه وأن متجه الموقع لها كما يلي:
وبحل نظام المعادلات نجد أن :
بالتالي فإن إحداثيات النقطة هي :
أتحقق من فهمي 136
إذا كانت: معادلة متجهة للمستقيم
وكانت: معادلة متجهة للمستقيم ،
فأحدد إذا كان المستقيمان: متوازيين ، أو متقاطعين ، أو متخالفين ،
ثم أجد إحداثيات نقطة تقاطعهما إذا كانا متقاطعين .
لتحديد إذا كان المستقيمان متوازيان فيجب أن يكون أحدهما مضاعفاً للآخر من خلال الإتجاه في صيغة المستقيم لكل منهما .
لاحظ أن أحدهما ليس مضاعفاً للآخر بالتالي فهما غير متوازين .
وسنبحث الآن في التقاطع أي وجود نقطة مشتركة بينهما .وذلك بفرض تساوي المتجهين عند نقطة التقاطع:
وبحل نظام المعادلات نجد أن :
بالتالي فإن إحداثيات نقطة التقاطع هي :
أتحقق من فهمي 138
عرض جوي: أقلعت طائرة من موقع إحداثياته :(0,7,0) . وفي الوقت نفسه.
أقلعت طائرة ثانية من موقع إحداثياته: . وبعد التحليق مدة قصيرة
في مسارين مستقيمين ، أصبحت الطائرة الأولى عند الموقع الذي إحداثياته:(8,15,16) ،
وأصبحت الطائرة الثانية عند الموقع الذي إحدائياته: (22,24,48) .
هل خطا سير الطائرتين متوازيان أم متقاطعان ، أم متخالفان؟
Solution:
سنجد معادلة مسار كل من الطائرتين بحيث :
خطا سير الطائرتين متوازيان لأن أحدهما مضاعفاً للآخر .
أتدرب وأحل المسائل :
أحدد إذا كان المتجهان متوازيين أم لا في كل مما يأتي:
غير متوازيين لأن أحدهما ليس من مضاعفات الآخر .
متوازيان لأن أحدهما مضاعفا للآخر .
غير متوازيين لأن أحدهما ليس من مضاعفات الآخر .
متوازيان لأن أحدهما مضاعفا للآخر .
يمثل الشكل المجاور متوازي الأضلاع
PQRS
الذي تقع فيه النقطة Nعلى
حيث: SN:NQ = 3:2 و
أكتب بدلالة .
أكتب بدلالة .
معتمدا المعلومات المعطاة في الشكل المجاور 
أثبت أنّ BEDC متوازي أضلاع
سيكون الشكل متوازي اضلاع إذا كان كل ضلعين متقابلين متوازيين
أي أنّ :
في متوازي الأضلاع OABC المجاور. 
والنقطة T هي منتصف الضلع CB والنقطة U تقسم AB
بنسبة 2:1 ، إذا مد الضلع OA على استقامته إلى النقطة X
حيث OA =AX :.
فأثبت أن T و U و X تقع على استقامة واحدة.
تقع النقاط T,U,X على استقامة واحدة إذا TU// UX
متوازيان ويلتقان في نقطة واحدة فهما على استقامة واحدة
أجد معادلة متجهة للمستقيم الذي يوازي المتجه ويمر بنقطة متجه الموقع لها في كل مما يأتي:
أجد معادلة متجهة للمستقيم المار بالنقطتين في كل مما يأتي:
أجد إحداثيات نقطة تقاطع المستقيمين :
يمر المستقيم بالنقطتين: F , E ويمر المستقيم بالنقطتين: H , G .
أحدد إذا كان هذان المستقيمان متوازيين، أو متخالفين . أو متقاطعين.
ثم أجد إحداثيات نقطة التقاطع إذا كانا متقاطعين في كل مما يأتي:
يمر المستقيم l بالنقطتين: A (-2,9,1) ، B(10,5,-7) :
أكتب معادلة متجهة للمستقيم
أبين أن النقطة تقع على المستقيم l
متجه الموقع للنقطة هو:
أجد قيمة a إذا كانت النقطة تقع على المستقيم
أجد قيمة c و b إذا كانت النقطة تقع على المستقيم
أجد نقطة تقع على المستقيم l ، وتقع أيضا فى المستوى xz
إذا كان: وكان المتجه:
يوازي المتجه: فأجد قيمة كل من b و a .
إذاكان: فأجد قيمة كل من: a , b , c
علما بأن اتجاه v في اتجاه محورy المو جب و
متجهات الموقع للنقاط : A ,B , C الواقعة على مستقيم واحد هي:
على الترتيب :
أجد قيمة p
بما أن المتجهات الثلاثة تقع على مستقيم واحد فسنجد معادلة المستقيم من النقطتين المعلومتين B , C .
وكذلك النقاط الثلاث لمتجهات الموقع جميعها تحقق معادلة المستقيم BC
أجد قيمة q .
أجد إحدائيات نقطة تقاطع المستقيم المار بالنقطتين: B ,A مع المستوى yz .
أجد طول في صورة: حيث a عدد صحيح
نقطتان في المستوى الإحداثي. أجد معادلة المستقيم المار بهاتين النقطتين ،
ثم أجد معادلة متجهة لهذا المستقيم مقارنا بين المعادلتين.
إذا كان المستقيم يمر بالنقطة والنقطة ؛
وكان المستقيم يوازي المستقيم ويمر بالنقطة فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعا :
أجد معادلة متجهة للمستقيم
أجد معادلة متجهة للمستقيم
إذا كانت: ؛ فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعا:
أجد إحداثيات النقطة M التي هي نقطة منتصف
إذا وقعت النقطة N على القطعة المستقيمة . وكان:
فأجد معادلة متجهة للمستقيم المار بالنقطتين M ,N .