رياضيات فصل أول

الحادي عشر خطة جديدة

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

أتحقق من فهمي صفحة 87:

جد المشتقة الثانية لكل اقتران مما يأتي:

b) $f (x) = \frac{2}{x^{3}}$

a) $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$

الحل:

a) $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$

$f^{'} (x) = 4 x^{2} - 6 x f^{'}' (x) = 8 x - 6$

b) $f (x) = 2 x^{- 3}$

$f^{'} (x) = - 6 x^{- 4} f^{'}' (x) = 24 x^{- 5} = \frac{24}{x^{5}}$

أتحقق من فهمي صفحة 89

إذا كان: $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 5$ ، فأستعمل اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم القصوى المحلية للاقتران f .

الحل:

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 = 0 (3 x + 2) (x - 2) = 0 x = \frac{- 2}{3}, x = 2 الحرجة القيم$

$f^{'}' (x) = 6 x - 4 f^{'}' (- \frac{2}{3}) = 6 (- \frac{2}{3}) - 4 = - 8 < 0 f^{'}' (2) = 12 - 4 = 8 > 0$

نلاحظ ان $f^{'}' (- \frac{2}{3}) < 0$ أذن توجد قيمة عظمى محلية عندما $x = - \frac{2}{3}$ وهي: $f (- \frac{2}{3}) = \frac{175}{27}$
نلاحظ ان $f^{'}' (2) > 0$ أذن توجد قيمة صغرى محلية عندما $x = 2$ وهي: $f (2) = - 3$

أتحقق من فهمي صفحة 90

أمثّل كلًًّّا من الاقترانات الآتية بيانيًّا:

a) $h (x) = x^{4} - \frac{8}{3 x^{3}}$

b) $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 4$

الحل:

a) $h^{'} (x) = 4 x^{3} - 8 x^{2} = 0$

$4 x^{2} (x - 2) = 0$

$x = 0, x = 2$

- عندما $x = 0$ ، فأن $f (0) = 0$

- عندما $x = 2$ ، فأن $f (2) = - \frac{16}{3}$

إذن النقاط الحرجة هي: $(2, - \frac{16}{3}) و (0, 0)$

$h^{'}' (x) = 12 x^{2} - 16 x \to h^{'}' (0) = 0$

بما أن $h^{'}' (0) = 0$ فأنه لا يمكن تحديد نوع النقطة الحرجة باستعمال المشتقة الثانية لذا نلجأ الى دراسة المشتقة الاولى حول النقطة لتحديد نوعها .

اذن : (0,0) نقطة انعطاف أفقي

$\to h^{'}' (2) = 12 (4) - 16 (2) = 48 - 32 = 16 > 0$

- نقطة صغرى محلية: $(2, \frac{- 16}{3})$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 0 (x + 1) (x - 3) = 0 x = - 1, x = 3$

$x = - 1, f (- 1) = 9 \to (- 1, 9) حرجة نقطة x = 3, f (3) = - 23 \to (3, - 23) حرجة نقطة f^{'}' (x) = 6 x - 6 \to f^{'}' (- 1) = - 6 - 6 = - 12 < 0 (- 1, 9) عظمى f^{'}' (3) = 18 - 6 = 12 > 0 (3, - 23) صغرى$

أتحقق من فهمي صفحة 92

يمثل الاقتران: $s (t) = 3 t^{2} - t^{3}, t \geq 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم ، حيث s الموقع بالأمتار ، و t الزمن بالثواني :

1) ما سرعة الجسم عندما t=3 ؟
2) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما t=3 ؟
3) ما تسارع الجسم عندما t=3 ؟
4) جد قيم t التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي .

الحل:

1) $s (t) = 3 t^{2} - t^{3}, t \geq 0$

$v (t) = s^{'} (t) = 6 t - 3 t^{2} v (3) = 18 - 27 = - 9$

اذن ، سرعة الجسم عندما t=3 هي: $- 9 m / s$

2) بما أن اشارة السرعة سالبة عندما t=3 فإنّ الجسم يتحرك في الاتجاه السالب عند تلك اللحظة.

3) $a (t) = s^{'}' (t) = 6 - 6 t a (3) = 6 - 18 = - 12$

اذن ، تسارع الجسم عندما t=3 هو: $- 12 m / s^{2}$

4) $6 t - 3 t^{2} = 0 3 t (2 - t) = 0 t = 0, t = 2$

يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما $t = 0, t = 2$

أتحقق من فهمي صفحة 94

يمكن نمذجة موقع فهد يطارد فريسته على أرض مستوية متحركاً في خط مستقيم باستعمال الاقتران: $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ ، حيث t الزمن بالثواني ، و s الموقع بالأمتار
1) ما سرعة الفهد بعد 3 ثوان من بدء حركته؟
2) ما تسارع الفهد بعد 3 ثوان من بدء حركته؟
3) جد قيم t التي يكون عندها الفهد في حالة سكون لحظي؟

الحل:

1) $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t, t \geq 0$

$v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 t v (3) = 27 - 36 = - 9$

إذن، سرعة الفهد بعد 3 ثوان من بدء حركته هي : $- 9 m / s$

2) $a (t) = s^{'}' (t) = 6 t - 12$

$a (3) = 18 - 12 = 6$

إذن، تسارع الفهد بعد 3 ثوان هو : $6 m / s^{2}$

3) $3 t^{2} - 12 t = 0$

$3 t (t - 4) = 0 t = 0, t = 4$

يكون الفهد في حالة سكون لحظي عندما $t = 0, t = 4$

أتدرّب وأحلّ المسائل صفحة 94

أجد المشتقّة الثانية لكل اقتران ممّا يأتي:

1) $f (x) = 3 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x$ 2) $f (x) = 2 x^{- 3}$ 3) $f (x) = x^{3} - \frac{5}{x}$

4) $f (x) = \sqrt{x} = (x)^{\frac{1}{2}}$ 5) $f (x) = 2 - 4 x + x^{2} - x^{3}$

الحل:

1) $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 8 x + 5 f^{''} (x) = 12 x - 8$

2) $f^{'} (x) = - 6 x^{- 4} f^{''} (x) = 24 x^{- 5}$

3) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + \frac{5}{x^{2}}$

$f^{'}' (x) = 6 x - \frac{5 (2 x)}{x^{4}} = 6 x - \frac{10}{x^{3}}$

4) $f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

$f^{'}' (x) = - \frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{2}} = - \frac{1}{4 \sqrt{x^{3}}}$

5) $f^{'} (x) = - 4 + 2 x - 3 x^{2} f^{'}' (x) = 2 - 6 x$

أجد المشتقّة الثانية لكل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

6) $f (x) = 8 x^{3} - 3 x + \frac{4}{x}, x = - 2$ 7) $f (x) = \sqrt{x^{3}}, x = 4$

الحل:

6) $f^{'} (x) = 24 x^{2} - 3 - \frac{4}{x^{2}}$

$f^{'}' (x) = 48 x + \frac{8}{x^{3}} f^{'}' (- 2) = 48 (- 2) + \frac{8}{- 8} = - 96 - 1 = - 97$

7) $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} f^{'}' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{2}} f^{'}' (4) = \frac{3}{4 \sqrt{4}} = \frac{3}{8}$

أستعمل اختبار المشتقّة الثانية لإيجاد القِيَم القصوى المحلية (إنْ وُجِدت) لكل اقتران ممّا يأتي:

8) $y = x^{4} - 2 x^{2}$ 9) $f (x) = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2}$

10) $y = x^{2} (x - 4)$ 11) $f (x) = x^{5} - 5 x^{3}$

الحل:

8) $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x = 0$

$4 x (x^{2} - 1) = 0 x = 0, x = 1, x = - 1$

اذن ، القيم الحرجة للاقتران y هي: $x = 0, x = 1, x = - 1$

$y^{'}' = 12 x^{2} - 4 y^{'}' (0) = - 4 < 0 y^{'}' (1) = 8 > 0 y^{'}' (- 1) = 8 > 0$

نلاحظ أن:
$y^{'}' (0) < 0$ أذن ، توجد قيمة عظمى محلية عندما $x = 0$ وهي : $y (0) = 0$
$y^{'}' (1) > 0$ أذن ، توجد قيمة صغرى محلية عندما $x = 1$ وهي : $y (1) = - 1$
$y^{'}' (- 1) > 0$ أذن ، توجد قيمة صغرى محلية عندما $x = - 1$ وهي : $y (- 1) = - 1$

9) $f^{'} (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x = 0$

$12 x (x^{2} - 2 x + 1) = 0 12 x (x - 1)^{2} = 0 x = 0, x = 1$

- اذن ، القيم الحرجة للاقتران y هي : x=0,x=1

$f^{'}' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12 f^{'}' (0) = 12 > 0 f^{'}' (1) = 0$

نلاحظ أن:
$f^{'}' (0) > 0$ أذن ، توجد قيمة صغرى محلية عندما $x = 0$ وهي: $f (0) = 0$
$f^{'}' (1) = 0$ أذن ، يفشل الاختبار

10) $y = x^{3} - 4 x^{2}$

$y^{'} = 3 x^{2} - 8 x = x (3 x - 8) = 0$

$x = 0, x = \frac{8}{3}$

النقاط الحرجة: $(0, 0), (\frac{8}{3}, - 9.48)$

$y^{'}' = 6 x - 8$

يوجد قيمة عظمى محلية: $y^{'}' (0) = - 8 < 0$

يوجد قيمة صغرى محلية: $y^{'}' (\frac{8}{3}) = 16 > 0$

11) $f^{'} (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2}$

$= 5 x^{2} (x^{2} - 3) = 0 x = 0, x = \pm \sqrt{3}$

النقاط الحرجة: $(0, 0), (\sqrt{3}, - 10.4), (- \sqrt{3}, 10.4)$

$f^{'}' (x) = 20 x^{3} - 30 x f^{'}' (0) = 0 الاختبار يفشل$

يوجد قيمة صغرى محلية عند: $y^{'}' (\sqrt{3}) \approx 8 > 0$

يوجد قيمة عظمى محلية عند: $y^{'}' (- \sqrt{3}) \approx - 8 < 0$

عند $(0, 0)$ نقطة انعطاف أفقي.

أُمثّل كلًًّّا من الاقترانات الآتية بيانيًّا:

12) $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 15$ 13) $y = x^{2} - 12 x - 20$

14) $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 180 x$ 15) $y = 2 x^{4} - 15 x^{2} + 12$

الحل:

12) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$ $3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x - 3) (x + 1) = 0 x = 3, x = - 1 f (3) = - 12, f (- 1) = 20$ صغرى محلية: $(3, - 12)$ عظمى محلية: $(- 1, 20)$

13) $y^{'} = 2 x - 12 = 0$ $x = 6$ النقطة الحرجة: $(6, - 56)$ يوجد قيمة صغرى محلية عند: $(6, - 56)$
14) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x - 180 = 3 (x^{2} - 4 x - 60) = 0$ $(x - 10) (x + 6) = 0 x = 10, x = - 6$ صغرى محلية: $f (10) = - 1400 \to (10, - 1400)$ عظمى محلية: $f (- 6) = 648 \to (- 6, 648)$ $f (0) = 0 \to (0, 0)$
15) $y^{'} = 8 x^{3} - 30 x = 0$ $2 x (4 x^{2} - 15) = 0$ $x = 0, x = \frac{\sqrt{15}}{2}, x = - \frac{\sqrt{15}}{2}$ $y (0) = 12 y (\frac{\sqrt{15}}{2}) = - \frac{129}{8} y (- \frac{\sqrt{15}}{2}) = - \frac{129}{8}$ يوجد قيمة عظمى محلية: $y^{'}' (0) = - 30 < 0$ يوجد قيمة صغرى محلية: $y^{'}' (\frac{\sqrt{15}}{2}) = 60 > 0$ يوجد قيمة صغرى محلية: $y^{'}' (- \frac{\sqrt{15}}{2}) = 60 > 0$

يُمثِّل الاقتران: $s (t) = t^{5} - 20 t^{2}, t \geq 0$ موقع جسم يتحرَّك على خط مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

16) ما سرعة الجسم عندما t=3 ؟

17) في أيِّ اتجاه يتحرَّك الجسم عندما t=3 ؟
18) ما تسارع الجسم عندما t=3 ؟

19) أجد قِيَم t التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي ؟

الحل:

16) $v (t) = s^{'} (t) = 5 t^{4} - 40 t v (3) = 5 (81) - 40 (3) = 285$

اذن ، سرعة الجسم عندما $t = 3$ هي : $285 m / s$

17) بما أن $v (t) > 0$ يكون الاتجاه الموجب.

18) $a (t) = s^{'}' (t) = 20 t^{3} - 40 a (3) = 20 (27) - 40 = 500$

اذن ، تسارع الجسم عندما $t = 3$ هي : $500 m / s^{2}$

19) $5 t^{4} - 40 t = 0 5 t (t^{3} - 8) = 0 t = 0, t = 2$

يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما $t = 0, t = 2$

لوح تزلُّج: يتحرَّك رامي في مسار مستقيم على لوح تزلُّج، بحيث يُمكِن نمذجة موقعه
باستعمال الاقتران: $s (t) = t^{2} - 8 t + 12$ ، حيث t الزمن بالثواني، و s الموقع بالأمتار:
20) ما سرعة رامي بعد 6 ثوانٍ من بَدْء حركته؟
21) ما تسارع رامي بعد 6 ثوانٍ من بَدْء حركته؟
22) أجد قِيَم t التي يكون عندها رامي في حالة سكون لحظي.

الحل:

20) $v (t) = s^{'} (t) = 2 t - 8 v (6) = 2 (6) - 8 = 4$

اذن، سرعة رامي بعد 6 ثوان هي: $4 m / s$

21) $a (t) = s^{'}' (t) = 2 a (6) = 2$

اذن ، تسارع رامي بعد 6 ثوان هي: $2 m / s^{2}$

22) $2 t - 8 = 0 \to 2 t = 8 \to t = 4$

يكون رامي في حالة سكون لحظي عندما $t = 4$

مهارات التفكير العليا
تبرير: إذا كان الاقتران $y = x (6 - x^{2})$ ؛ فأُجيب عما يأتي، مع تبرير الإجابة:
23) أُمثّل منحنى كلّ من الاقترانات: $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}, y$ على المستوى الإحداثي نفسه.
24) أصف العلاقة بين منحنيات الاقترانات الثلاثة، مع توظيف مفهوم المشتقّة.

الحل:

23) $y = 6 x - x^{3}$

$\frac{d y}{d x} = 6 - 3 x^{2} = 0 ⟹ x = \pm \sqrt{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 6 x = 0 ⟹ x = 0$

24) اشارة $\frac{d y}{d x}$ تدل على تزايد وتناقص $y$ واصفار $\frac{d y}{d x}$ هي قيم حرجة لـ $y$
اشارة $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ تدل على تزايد وتناقص $\frac{d y}{d x}$ واصفار $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ هي قيم حرجة لـ $y$

25) تحدّ: يُمثّل الشكل المجاور منحنى الاقتران $f (x)$ . أُمثّل بيانيًّا منحنى الاقتران $f' (x)$ .

الحل:

- من الرسم الاحظ أن:

$f (x)$ متزايد في $(- \infty, - 1)$ وكذلك: $(4, \infty)$

$f (x)$ متناقص في $(- 1, 4)$

وبالتالي فإنّ: $f^{'} (x) > 0$ في الفترتين: $(- \infty, - 1) و (4, \infty)$

و $f^{'} (x) < 0$ في الفترة: $(- 1, 4)$ ، وأنّ: $f^{'} (x) = 0$ عند $x = - 1, 4$

$f^{'} (x) = (x + 1) (x - 4) = x^{2} - 3 x - 4 a = 1, b = - 3, c = - 4 \frac{- b}{2 a} = \frac{3}{2} = 1.5$

26) تحدٍّ: إذا مثَّل الاقتران: $s (t) = t^{3} - 12 t - 9, t \geq 0$ موقع جسم يتحرَّك في مسار مستقيم، حيث s الموقع
بالأمتار، و t الزمن بالثواني، فما سرعة الجسم عندما يكون تسارعه صفرًا؟

الحل:

$v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 a (t) = 0 معطى a (t) = s^{'}' (t) = 6 t 6 t = 0 t = 0 v (0) = 3 (0) - 12 = - 12$

اذن سرعة الجسم عندما يكون تسارعه صفراً هو: $- 12 m / s$

27) تحدٍّ: إذا مثَّل الاقتران: $s (t) = 2 t^{3} - 24 t - 10, t \geq 0$ موقع جسم يتحرَّك في مسار مستقيم، حيث s الموقع
بالأمتار، و t الزمن بالثواني، فما تسارع الجسم عندما تكون سرعته صفرًا؟

الحل:

$v (t) = 0 معطى v (t) = s^{'} (t) = 6 t^{2} - 24 = 0 6 (t^{2} - 4) = 0 t = \pm 2 a (t) = 12 t a (2) = 24 a (- 2) = - 24$

رياضيات فصل أول

الحادي عشر خطة جديدة

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS