الدرس الخامس: المعادلات الأسية:
سنتعلم في هذا الدرس ثلاث أفكار رئيسية هي:
1) اللوغاريتم الاعتيادي واللوغاريتم الطبيعي.
2) تغيير الأساس.
3) المعادلات الأسية.
4) التطبيقات الحياتية للمعادلات الأسية.
أولًا: اللوغاريتم الاعتيادي واللوغاريتم الطبيعي:
اللوغاريتم الاعتيادي:
- تعريفه: لوغاريتم للأساس 10 أو ، ويكتب عادة من دون أساس.
- يعد اقتران اللوغاريتم الاعتيادي: الاقتران العكسي للاقتران الأسي
أي أنّ:
- تنطبق خصائص اللوغاريتمات التي تعلمناها سابقًا على الاقتران اللوغاريتمي الاعتيادي، ويمكن استعمالها لإيجاد قيمته.
- تحوي الآلة الحاسبة على زر خاص باللوغاريتم الاعتيادي هو يستخدم لإيجاد القيمة التقريبية للوغاريتم الاعتيادي لأي عدد حقيقي موجب.
- خطوات إيجاد قيمة اللوغاريتم الاعتيادي باستخدام الآلة الحاسبة:
1) اضغط على زر الموجود بالآلة الحاسبة .
2) أدخل القيمة المطلوب إيجادها.
3) اضغط على زر المساواة (=)
4) قرب إجابتك للمنزلة المطلوبة.
مثال: استعمل الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة:
الحل:
اللوغاريتم الطبيعي:
- تعريفه: لوغاريتم للأساس أو
- يرمز له: بالرمز
- يعد اقتران اللوغاريتم الطبيعي: الاقتران العكسي للاقتران الأسي الطبيعي .
أي أنّ:
- تنطبق خصائص اللوغاريتمات التي تعلمناها سابقًا على الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي، ويمكن استعمالها لإيجاد قيمته.
- تحوي الآلة الحاسبة على زر خاص باللوغاريتم الطبيعي هو يستخدم لإيجاد القيمة التقريبية للوغاريتم طبيعي لأي عدد حقيقي موجب.
مثال: استعمل الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة:
الحل:
ثانيًا: تغيير الأساس
كيف تجد قيمة لوغاريتم له أساس غير العدد (10) ؟
1- غير الأساس غير المرغوب به إلى حاصل قسمة لوغاريتمين للأساس نفسه.
2- باستعمال الآلة الحاسبة جد قيمة اللوغاريتم المطلوبة.
صيغة تغيير الأساس إذا كانت أعدادًا حقيقية موجبة، حيث: ، فإنَّ:
|
مثال: جد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة(إن لزم):
الحل:
صيغة تغيير الأساس | |
قانون القسمة في اللوغاريتمات | |
باستعمال الآلة الحاسبة |
صيغة تغيير الأساس | |
باستعمال الآلة الحاسبة |
ثالثًا: المعادلة الأسية
- تعريفها: معادلة تتضمن قوى أسسها متغيرات.
- حلها:
1)إذا كان من الممكن كتابة طرفي المعادلة في صورة قوتين للأساس نفسه :(مثل المعادلة )
قارن بين أسي الطرفين وفق القاعدة الآتية:
إذا كان ، فإن : ، حيث: |
مثال: جد حل المعادلة
الحل:
المعادلة الأصلية | |
بمساواة الأساسين | |
بمساواة الأسس | |
بحل المعادلة |
2)إذا كان من غير الممكن كتابة طرفي المعادلة في صورة قوتين للأساس نفسه :(مثل المعادلة )
استخدم قاعدة المساواة اللوغاريتمية: بأخذ اللوغاريتم نفسه لطرفي المعادلة.
ثم استعمال قانون القوة للوغاريتمات.
خاصية المساواة اللوغاريتمية: إذا كان ،حيث: ،فإن:
|
مثال: حل المعادلات الأسية الآتية، مقربًا إجابتك إلى أقرب منزلتين عشريتين:
الحل:
المعادلة الأصلية | |
بأخذ اللوغاريتم الاعتيادي لكلا الطرفين | |
قانون القوة في اللوغاريتمات | |
بقسمة طرفي المعادلة على | |
باستعمال الآلة الحاسبة | |
إذن، حل المعادلة هو : |
المعادلة الأصلية | |
بقسمة طرفي المعادلة على 8 | |
بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين | |
بقسمة طرفي المعادلة على 2 |
|
باستعمال الآلة الحاسبة | |
إذن، حل المعادلة هو : |
المعادلة الأصلية | |
بأخذ اللوغاريتم الاعتيادي لكلا الطرفين | |
قانون القوة في اللوغاريتمات | |
خاصية التوزيع | |
بإعادة ترتيب المعادلة | |
بإخراج x كعامل مشترك | |
بقسمة طرفي المعادلة على | |
باستعمال الآلة الحاسبة | |
إذن، حل المعادلة هو : |
المعادلة الأصلية | |
بافتراض أن | |
بتحليل المعادلة التربيعية | |
باستخدام خاصية الضرب الصفري:
|
|
باستبدال بـــ | |
بما أن موجبة لأي قيمة ، فإنه لا يوجد حل للمعادلة : ، ونكتفي بأخذ حل المعادلة | |
بأخذ اللوغاريتم الاعتيادي لكلا الطرفين | |
قانون القوة في اللوغاريتمات | |
بقسمة طرفي المعادلة على | |
باستعمال الآلة الحاسبة | |
إذن، حل المعادلة هو : |
* ملاحظة :
يمكن استخدام برمجية جيوجيبرا لحل المعادلات الأسية باتباع الخطوات الآتية:
1) مَثِّل الاقتران بيانيًا باستخدام البرمجية.
2) حدد نقاط تقاطع منحنى الاقتران مع محور السينات (محور x).
3) نقطة (نقاط) تقاطع منحنى الاقتران مع محور x هي حلول المعادلة الأسية.
مثال: استخدم برمجية جيوجبرا لحل المعادلة الأسية :
الحل:
يتضح من الرسم أن حل المعادلة الأسية هو
رابعًا:التطبيقات الحياتية للمعادلات الأسية:
تستعمل المعادلات الأسية في كثير من التطبيقات الحياتية والعملية.
مثال: يمثل الاقتران عدد نوع معين من النباتات التي يتم زراعتها في حقل تجريبي لتحسين صفاتها بعد t من الأسابيع من بداية التجربة.
1) ما عدد النباتات المزروعة عند بدء التجربة؟
2) بعد كم أسبوع يصبح عدد النباتات 300 نبتة؟
الحل:
1) عدد النباتات المزروعة عند بدء التجربة (t=0)
50 نبتة عدد النباتات المزروعة عند بدء التجربة
2) بعد كم أسبوع يصبح عدد النباتات 300 نبتة؟
بعد حوالي 18 أسبوع يصبح عدد النباتات 300 نبتة.