تبسيطُ المقاديرِ الجبريةِ النسبيةِ

المقدارُ الجبريُّ النسبيُّ (rational algebraic expression): هُوَ كسرٌ بسطُهُ ومقامُهُ مقدارانِ جبريّانِ.

يكونُ المقدارُ الجبريُّ النسبيُّ في أبسطِ صورةٍ إذا كانَ العاملُ المشتركُ الأكبرُ لكلٍّ مِنْ بسطِهِ ومقامِهِ يساوي 1

---

مثال(1): 

أكتبُ كلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

1) $\frac{-5 x^2 y^3}{20 x^4 y}$

 $$\begin{gathered} \frac{-5 x^2 y^3}{20 x^4 y}= \frac{\left(5x^{2}y\right) (-y^2)}{\left(5x^{2}y\right) \left(4x^2\right)} \\ = \frac{-y^2}{4x^2} \end{gathered}$$       $\left(5x^{2}y\right)$   اقسم البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر 

مثال(2): 

أكتبُ كلًّا ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

1) $\frac{6x+12}{6}$
$\frac{6x+12}{6}=\frac{6(x+2)}{6}$                               أخرج العدد 6 عاملاً مشتركاً للبسط 
$=x+2$                        نقسم كل من البسط والمقام على 6 للوصول الى أبسط صورة

 

2) $\frac{2x^2+2x}{2x}$ 
     $$\begin{gathered} \frac{2x^2+2x}{2x}=\frac{2x(x+1)}{2x} \\ = x+1 \end{gathered}$$

3) $$\begin{gathered} \frac{x-1}{x^3-x^2} \\ \frac{x-1}{x^2(x-1)}= \frac{1}{x^2} \end{gathered}$$  

مثال(3): 

أكتبُ كلًّا ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

1) $\frac{5xy-10x+2y-4}{2-y}$
    $=\frac{(5xy-10x)+(2y-4)}{2-y}$    أُجمِّعُ الحدودَ ذاتَ العاملِ المشتركِ
   $=\frac{5x (y-2) + 2(y-2)}{2 - y}$   أحللُ كلَّ تجميعٍ بإخراجِ العاملِ المشتركِ الأكبرِ
   $=\frac{(y-2) (5x + 2) }{2-y}$            أخرج$y - 2$ عاملً مشتركًا لحدودِ البسطِ
    $=\frac{(y-2) (5x + 2) }{-(y-2)}$
    $=-(5x+2)$ 

مثال(4): 

أكتبُ كلًّا ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

1) $\frac{x^2 - 3x + 2}{x-2}$ 
$=\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}$         أحللُ ثلاثيةَ الحدودِ
$= x-1$

 

2) $\frac{x^2 + 6x + 8}{x^2-16}$ 
$=\frac{(x+2)(x+4)}{(x-4) (x+4)}$        بتحليل كل من البسط والمقام 
$=\frac{x+2}{x-4}$ 

 

3) $\frac{x^2 + 10x + 25}{x^2+5x}$

$$\begin{gathered} =\frac{(x+5)(x+5)}{x (x+5)} \\ = \frac{x+5}{x} \end{gathered}$$

مثال(5): 

تحفظُ عائشةُ ألعابَها في صندوقٍ على شكلِ متوازي مستطيلاتٍ حجمُهُ ${\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{11}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{10}\mathit{x}$ سنتيمترًا مكعبًا وارتفاعُهُ $\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}$ سنتيمترا. أجد مساحة قاعدة الصندوق بدلاة X 

حجمُ الصندوقِ V يساوي مساحةَ القاعدةِ B مضروبًا في الارتفاعِ h. إذنْ، مساحةُ القاعدةِ تساوي ناتجَ قسمةِ الحجمِ على الارتفاعِ.

 

$$\begin{gathered} B=\frac{V}{h}=\frac{x^3+11x^2+10x}{x+1} \\ =\frac{x (x^2+11x+10)}{x+1} \\ =\frac{x (x+1) (x+10)}{x+1} \\ =x (x+10) \end{gathered}$$

إذنْ، مساحةُ قاعدةِ الصندوقِ ( B = x(x + 10