رياضيات 9 فصل ثاني

تطبيقاتُ النسبِ المُثلَّثيةِ

Applications of Trigonometric Ratios

فكرةُ الدرسِ: استعمالُ النسبِ المُثلَّثيةِ لإيجادِ قياساتٍ مجهولةٍ في المُثلَّثِ.

أولًا: استعمالُ النسبِ المُثلَّثيةِ لإيجادِ قياساتٍ مجهولةٍ في المُثلَّثِ

يُمكِنُ استعمالُ النسبِ المُثلَّثيةِ لإيجادِ أطوالِ أضلاعٍ مجهولةٍ في المُثلَّثِ في كثيرٍ منَ السياقاتِ الحياتيةِ والعلميةِ.

 

مثال1

وُضعَ سلّم على طرف جدار  كما في الرسم  المُجاور ، وكانت الزاوية التي يصنعُها السّلّم مع الأرض هي$65°$.

 

أجدُ ارتفاع طرف السُلّم عن سطح الأرض إذا كان طولُهُ $8m$

 

الحل: 

أُلاحِظُ منَ الشكلِ تكوّن مثلث قائم الزاوية (سطح الأرض وارتفاع الجدار وطول السلم).

وأنَّ الزاويةَ المعلومة هيَ °65، وأنَّ طولَ الضلعِ المُقابِلِ لها هوَ المطلوب (يُمثل ارتفاع طرف السلم العلوي عن الأرض)، وأنَّ طول السلم يمثل وتر في هذا المثلث؛ إذن أستخدم نسبة الجيب لإيجاد ارتفاع طرف السلم العلوي عن الأرض.

أفرض أنّ طول الضلع المقابل للزاوية °65 يساوي$R$

$\sin A=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}$	نسبةُ الجيبِ
$\sin 65°=\frac{R}{8}$	بالتعويضِ
$8(\sin 65°)=R$	بالضرب التبادلي
$R\approx 7.25$	باستخدام الآلةِ الحاسبةِ

إذنْ : ارتفاع طرف السلم العلوي عن الأرض يساوي$7.25m$ تقريبًا. 

---

•• يُمكن إيجاد  قياساتِ زوايا مجهولةٍ في المُثلَّثِ باستعمالِ النسبِ المُثلَّثيةِ ومعكوسِ النسبةِ المُثلَّثيةِ.

مثال 2 

أجدُ قياسَ $\angle C$ في المثلث المجاور  ، مُقرِّبًا إجابتي إلى أقربِ جزءٍ منْ عشرةٍ:

الحل: 

بما أنَّ طولَ الضلعِ المُقابِلِ لـ $\angle C$ وطولَ الضلع المجاور معلومانِ، فإنَّني أستعملُ الظل:

$\tan C=\frac{7}{4}$	تعريفُ الظل
$m\angle C={\tan }^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)$	معكوسُ الظل

والآنَ أستعملُ الآلةَ الحاسبةَ لإيجادِ ${\tan }^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)$ كما يأتي:

$SHIFT \tan (7÷4)=60.2551187030578$                                                                                                                                                         

بالتقريبِ إلى أقربِ منزلةٍ عشريةٍ واحدةٍ ، فإنَّ النتيجةَ هيَ:$60.3°$ 

إذن:$m\angle C\approx 60.3°$

---

ثانيًا: استعمالُ النسبِ المُثلَّثيةِ في المُثلَّثاتِ الخاصةِ

يُبيِّنُ الشكلُ المُثلَّثَ $(45°-45°-90°)$؛ وهوَ مُثلَّثٌ قائمُ الزاويةِ، ومُتطابِقُ الضلعَينِ.

يمتازُ هذا المُثلَّثُ بأنَّ طولَ وترِهِ يساوي $\sqrt[]{2}$ مَرَّةً طولَ كلِّ ساقٍ منْ ساقيْهِ.

---

أمّا الشكلُ الآخرُ فيُبيِّنُ المُثلَّثَ $(30°-60°-90°)$ الذي يمتازُ بأنَّ طولَ وترِهِ يساوي مثليْ طولِ الساقِ المُقابِلةِ للزاويةِ °30، وبأنَّ طولَ الساقِ المُقابِلةِ للزاويةِ °60 يساوي $\sqrt{3}$ مَرَّةً طولَ الساقِ المُقابِلةِ للزاويةِ °30.

•• أتعلَّمُ : بكلماتٍ أُخرى، فإنَّ طولَ الضلعِ المُقابِلِ للزاويةِ ° 30 في المُثلَّثِ $30° - 60° - 90°$ يساوي نصفَ طولِ الوترِ.

 

•• تُستعمَلُ النسبُ المُثلَّثيةُ للزوايا الخاصةِ: $30°,60°,45°$ قياساتٍ مجهولةٍ في المُثلَّثِ.

وفي ما يأتي تلخيصٌ لهذهِ النسبِ.

مفهومٌ أساسيٌّ (النسبُ المُثلَّثيةُ للزوايا الخاصةِ)

$\sin 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan 45°=1$

---

$\sin 30°=\frac{1}{2}, \sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60°=\frac{1}{2}$

$\tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}, \tan 60°=\sqrt{3}$

---

مثال 3 

أجدُ قيمةَ x في المُثلَّثِ المُجاوِرِ.

 

الحل: 

$\sin A=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}$	نسبة الجيب
$\sin 60°=\frac{8}{x}$	بالتعويضِ
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{8}{x}$	$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{3}x=16$	بالضرب التبادلي
$x=\frac{16}{\sqrt{3}}$	بقسمة طرفي المعادلة على $\sqrt{3}$

---

ثالثًا: زوايا الارتفاعِ والانخفاضِ

يُطلَقُ على الزاويةِ المحصورةِ بينَ خطِّ النظرِ إلى الأعلى والخطِّ الأفقيِّ اسمُ زاويةِ الارتفاعِ ( angle of elevation)، مثلِ الزاويةِ

المحصورةِ بينَ خطِّ النظرِ منْ سطحِ الأرضِ إلى طائرةٍ في السماءِ والخطِّ الأفقيِّ.

ويُطلَقُ على الزاويةِ المحصورةِ بينَ خطِّ النظرِ إلى الأسفلِ والخطِّ الأفقيِّ اسمُ زاويةِ الانخفاضِ(angle of depression)، مثلِ

الزاويةِ المحصورةِ بينَ خطِّ النظرِ منْ منارةٍ إلى سفينةٍ في البحرِ والخطِّ الأفقيِّ.

•• يُمكِنُ استعمالُ زوايا الارتفاعِ والانخفاضِ لإيجادِ قياساتٍ مجهولةٍ في المُثلَّثِ قائمِ الزاويةِ.

مثال 4

 

ينظرُ  رائد منْ أعلى بناية إلى مركبة تقف في الشارع  بزاويةِ انخفاضٍ مقدارُها °32.

إذا كانَ بُعد المركية عن قاعدة البناية $26m$، فأجد ارتفاع البناية. 

الحل:

بما أنَّ قياسَ الزاويةِ المحصورةِ بينَ خطِّ النظرِ والخطِّ الأفقيِّ (زاويةُ الانخفاضِ) هوَ °32، فإنَّ قياسَ الزاويةِ المحصورةِ بينَ خطِّ النظرِ وسطحِ الشارع هوَ ° 32 ؛ لأنَّهُما زاويتانِ مُتبادِلتانِ داخليًّا.

 

أفترضُ أنَّ ارتفاع البناية هوَ $x$

$\tan A=\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{المجاور}}$	نسبةُ الظلِّ
$\tan 32°=\frac{x}{26}$	بالتعويضِ
$26tan32°=x$	بضرب طرفي المعادلة في 26
$x\approx 16$	باستخدام الآلة الحاسبة

إذنْ؛ ارتفاع البناية هو  $16m$ تقريبًا.