رياضيات 10 فصل ثاني

جمع المتجهات وطرحها 

• المتجهان المتساويان :

هما متجهان لهما نفس الاتجاه والمقدار. كما في الشكل أدناه 

المتجهات a , b , c  متساوية و بالرموز  a =b = c 

• المتجهان المتوازيان

هما متجهان لهما الاتجاه نفسه أو عكسه ولس شرطا أن يكون لها المقدار نفسه 

كما في الشكل أدناه 

 

 

 

 

• معكوس المتجه 

هو متجه له نفس مقدار متجه آخر ، لكنه في اتجاه معاكس له . كما في الشكل أدناه 

 

 

 

 

مثال

في الشكل المجاور  ABED مربع  ، فيه $\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{AD}}\mathbf{=}\mathit{u}\mathbf{,}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{AB}}\mathbf{=}\mathit{v}$  ،   أعبر  عن كل من $\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{E}\mathbf{B}}$  و $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathit{D}\mathit{E}}$   باستعمال المتجهين  v , u 

 

 

الحل 

$\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{EB}}$

 متجه موازٍ  و معكوس للمتجه $\stackrel{\rightharpoonup }{\mathit{A}\mathit{D}}$

إذا 

$\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{E}\mathbf{B}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathit{u}$

 

$\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{D}\mathbf{E}}$

متجه موازٍ و مساوٍ للمتجه $\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{A}\mathbf{B}}$

إذا 

$\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{D}\mathbf{E}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{v}$

---

جمع المتجهات هندسيًا 

يمكن إيجاد ناتج جمع متجهين أو أكثر هندسيًا . 

خطوات إيجاد a + b  هندسيا 

الخطوة 1  : ارسم المتجه a 

الخطوة 2 : ارسم المتجه b حيث تكون نقطة بدايته هي نقطة  نهاية المتجه a 

الخطوة 3 : صل بين نقطة بداية المتجه a  ونقطة نهاية المتجه b فيكون المتجه الناتج هو المتجه  a+ b 

يسمى المتجه الناتج من جمع المتجهين أو أكثر المحصلة 

 

مثال 

اعتمادًا على الشكل الآتي ، أكتب المتجه الذي يمثل ناتج الجمع في كل مما يأتي : 

 

$\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{ }\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{C}\mathbf{A}\mathbf{ }}$

$\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{BC}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{CA}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{BA}}$

هنا نصل بداية $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}$  بنقطة نهاية $\stackrel{\rightharpoonup }{CA}$  ينتج $\stackrel{\rightharpoonup }{BA}$

 

$\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{B}\mathbf{A}}\mathbf{ }\mathbf{+}\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{A}\mathbf{E}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{E}\mathbf{C}}$

$\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{BA}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{AE}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{EC}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{BC}}$

$\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{EC}}\mathbf{ }\mathbf{نهاية}\mathbf{ }\mathbf{بنقطة}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{BA}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{بداية}\mathbf{ }\mathbf{نقطة}\mathbf{ }\mathbf{نصل}\mathbf{ }$

$\mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{AB}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{BC}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{CD}\mathbf{ }}\mathbf{+}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{DE}}\mathbf{ }$

$\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{AB}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{BC}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{CD}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{DE}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{AE}}$

$\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{DE}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{نهاية}\mathbf{ }\mathbf{بنقطة}\mathbf{ }\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{AB}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{بداية}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{نقطة}\mathbf{ }\mathbf{نصل}\mathbf{ }$

$\mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{AB}}\mathbf{ }\mathbf{+}\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{BC}}\mathbf{ }\mathbf{+}\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{CA}}$

$\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{AB}}\mathbf{ }\mathbf{+}\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{BC}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{CA}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{\rightharpoonup }}{\mathbf{AA}}$

---

طرح المتجهات هندسيًا 

يمكن إيجاد ناتج طرح متجهين أو أكثر هندسيًا .

لإيجاد a -b  نجمع المتجه a  مع معكوس المتجه b أي 

a  - b = a +  ( -b )

و لذلك يمكن إيجاد ناتج طرح  a- b  هندسيا بطريقة مشابهة لعملية الجمع كما في الشكل الآتي : 

ثم نجد محصلة  a و   b - 

---

ضرب المتجه في عدد ثابت هندسيًا

ينتج من ضرب المتجه a  في العدد الحقيقي k  متجه موازٍ للمتجه a  ويكون للمتجهين  ka  و a  الاتجاه نفسه إذا كان k  عددا موجبا  و اتجاهان متعاكسان إذا كان  k  عددًا سالبًا . 

 2 a = a +a 

-2a  = -a + ( -a ) 

 

مثال 

اعتمادًا على الشكل المجاور ، أجد هندسيًا كلا مما يأتي : 

 

نرسم المتجه  2q   , والمتجه  q - 

ثم نجد محصلة المتجهتين 

 

 

نرسم المتجه  p  , والمتجه  q$\frac{1}{3}$ - 

ثم نجد محصلة المتجهتين 

 

---

 

جمع المتجهات وطرحها وضربها في ثابت جبريًا 

يمكن إيجاد ناتج الجمع والطرح والضرب في ثابت للمتجهات المكتوبة بالصورة الإحداثية عن طريق جمع مركباتها الأفقية و الرأسية ، أو طرحها .

 

مفهوم أساسي 

إذا كان  $a =< x_1 , y_1>$ و  $b = <x_2 , y_2>$ وكان k عددًا حقيقيًا ، فإن : 

$\mathit{a}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{=}\mathbf{<}\mathbf{ }{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{>}$

$\mathit{a}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{ }{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}\mathbf{ }}\mathbf{-}\mathbf{ }{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{>}$

$\mathit{k}\mathit{a}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{<}\mathbf{k}\mathbf{ }{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{k}\mathbf{ }{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{>}$

 

مثال 

إذاكان $C =<-3 , -1> و b = <-4 , 6> و a =<3 ,1>$ فأجد كل مما يأتي 

 

 

 

---

لجمع المتجهات وطرحها تطبيقات في مجالات عدة ، مثل الهندسة و الطيران

مثال من الحياة 

ملاحة جوية : بدأت طائرة رحلتها نحو الشرق بسرعة مقدارها  400km / h   لكنها واجهت رياحا تهب من الشمال الشرقي بسرعة 50km / h .  كيف يمكن لربان الطائرة أن يعدل مقدار سرعتها و اتجاهها ليصل إلى وجهته من دون تأخير ؟ 

 

الحل 

نرسم المتجهين اللذين يمثلان السرعة و الاتجاه لكل من الطائرة والرياح . 

يمثل المتجه f  السرعة المتجهة للطائرة ويمثل  المتجه w  السرعة المتجهة للرياح 

نلاحظ من الشكل الآتي أنه يجب على الطائرة أن تنحرف عن مسارها قليلا بحيث تعيدها الرياح إلى مسارها الأصلي . 

ثم نرسم المتجه الذي يمثل السرعة المتجهة للطائرة بعد انحرافها عن مسارها . 

بما أن الرياح تهب من الشمال الشرقي فإن اتجاه w  هو $45°$ لذا فإن الزاية بين f  و W  تساوي $135°$ 

ويكون المتجه e  هو محصلة المتجهين f  و w - 

 ثم نحدد سرعة الطائرة بعد انحرافها 

مقدار سرعة الطائرة بعد انحرافها عن مسارها يساوي مقدار المتجه e  وليكن x 

 نجد طول x  باستعمال قانون جيب التمام 

$a^{2 } = b^2 + c^2 - 2bc cosA$

$x^2 = {400}^2 +{50}^2 - 2 \left(400\right)\left(50\right) cos 135° = 190784.3$

$x\approx 436.8$ 

 نجد  قياس زاوية انحراف الطائرة $\theta$ باستعمال قانون الجيوب 

$\frac{sinC}{c}=\frac{sinA}{a}$

 

$\frac{sin\theta }{50}=\frac{sin135°}{436.8}$

 

$\theta =si{n}^{-1}( 0.0809)\approx 4.64°$

 

إذا يجب على الربان أن يحرف مسار الطائرة بزاوية $4.64°$ شمال الشرق   ويزيد مقدار سرعتها إلى 436.8km/ h  عندئذ ستعمل الرياح على تقليل مقدار سرعتها إلى  400km / h 

---