رياضيات فصل أول

الثامن

icon

حالات خاصة من التحليل


تعلمت سابقا كيفية ضرب مقدارين جبريين على صورة (a-b)(a+b)

حيث يكون الناتج دائما فرقا بين مربعين على صورة a2-b2 .

ولتحليل الفرق بين مربعين يمكن اتباع خطوات عكسية لعملية ضرب مجموع حديين في الفرق بينهما .

 


مثال 1 : أحلل كل مما يأتي :

 1) x2-25 =x2-52                     =(x-5)(x+5)

 

 2) 4y2-9z2 =(2y)2-(3z)2                                       =(2y-3z)(2y+3z)

 


أتعلم  :

يحتاج تحليل بعض المقادير الجبرية إلى إجراء خطوتين مثل إخراج العامل المشترك الأكبر  للحدود جميعها

ثم تحليل ما تبقى من المقدار باستعمال قاعدة تحليل فرق بين مربعين.

 


مثال 2 : أحلل كل مما يأتي :

 

1) 27xy3-3xy = 3xy(9y2-1)                            =3xy(3y-1)(3y+1)

 

2) y4-1 = (y2)2-(1)2                        = (y2-1)(y2+1)                 =(y-1)(y+1)(y2+1)

 

3) 2b2-18+ab2-9a = (2b2-18)+ (ab2-9a)                                         =2(b2-9) + a(b2-9)                                         =(b2-9)(2+a)                                         =(b-3)(b+3)(2+a)

 


مثال 3 :

هندسة معمارية : يبين الشكل المجاور غرفة جلوس في منزل رغد ، اكتب مقدارا جبريا يمثل مساحة الغرفة ثم أحلله.

 

ملاحظة :

:1-  مساحة المربع :  A1=S2  

2- مساحة المثلثA2 = 12*b*h

 لإيجاد مساحة الغرفة ، وهي المنطقة باللون الوردي ، نقوم بطرح مساحة المثلث من مساحة المربع فنحصل على المنطقة المتبقية :

A1-A2 = S2-12bh               =  52-12*(2x)(2 x)               = 25 -12*2*x2               = 25 -x2               = (5-x)(5+x) m2

 


أتعلم :

تعلمت سابقا أن أعدادا مثل 64 ,49 ,25 تسمى مربعات كاملة؛ لأن كلا منها يساوي ناتجاً ضرب عدداً في نفسه :

                    64=8×8=82                      49=7×7=72                             25=5×5=52

ويعد المقدار الجبري الذي على صورة (a+b)2 مربعا كاملا أيضا؛ لأنه يساوي ناتج ضرب (a + b) في نفسه.

وتعلم في الدرس الأول من هذه الوحدة أن تبسيط (a + b) و (a - b) يتبع قاعدة ثابتة، وأن النتيجة تكون دائما مقدارا جبريا يحتوي ثلاثة حدود كما يأتي:

            (a-b)2=(a-b)(a-b)             =a2-ab-ab+b2             =a2-2ab+b2                              (a+b)2=(a+b)(a+b)             =a2+ab+ab+b2             =a2+2ab+b2

يسمى ناتج الضرب في كل من الحالتين أعلاه مربعا كاملا ثلاثي الحدود ؛ لأنه ينتج من ضرب مقدار جبري في نفسه

ويمكن بطريقة عكسية تحليل أي ثلاثي حدود على صورة a2+2ab+b2 إن كان يمثل مربعا كاملا إذا حقق الشروط الثلاثة الآتية:

 

 


مثال 4 : أحدد ما إذا كانت ثلاثية الحدود مما يأتي تمثل مربعا كاملا أم لا وإذا كانت تمثله فأحللها  .

 

1) x2+6x+9  

يمكن أن نحدد ثلاثية الحدود التي تمثل مربعاً كاملاً  باختبار الحدود الثلاثة كالتالي :

1- هل الحد الاول مربع كامل ؟  نعم

2-هل الحد الأخير مربع كامل ؟ نعم 

3- هل الحد الأوسط يساوي 2*x*3  ؟ نعم

إذا الثلاثية تمثل مريعا كاملاً وتمثيلها كالتالي : 

 x2+6x+9   = (x+3)(x+3)


2) x2+2x+16  

يمكن أن نحدد ثلاثية الحدود التي تمثل مربعاً كاملاً  باختبار الحدود الثلاثة كالتالي :

1- هل الحد الاول مربع كامل ؟  نعم

2-هل الحد الأخير مربع كامل ؟ نعم 

3- هل الحد الأوسط يساوي 2*x*4 ؟ لا

إذا الثلاثية الحدود ، لا  تمثل مريعا كاملاً .  


أتعلم  :

حين لا تساوي قيمة المعامل المشترك الأكبر للحدود والمقدار الجبري 1 فإن من الأسهل البدء بإخراج العامل المشترك الأكبر

ثم اختيار طريقة تحليل مناسبة بحسب الترتيب المبين في الجدول الآتي