حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بالتحليلِ(2)
Solving Quadratic Equations by Factoring (2)
فكرةُ الدرسِ : تحليلُ ثلاثِيِّ الحدودِ على الصورةِ .
حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ على الصورةِ بالتحليلِ.
أولًا : تحليلُ ثلاثِيِّ الحدودِ
تعلَّمتُ سابقًا كيف أُحلِّل ثلاثيَّ الحدود x2 + bx + c ، الذي معامل x2 فيهِ يُساوي 1، ويمكن أيضًا تحليل بعض ثُلاثيات الحدود التي على الصورة
ax2 + bx + c ؛ حيثُ a ≠ 1 و a ≠ 0 بطريقة مُشابهة.
مفهومٌ أساسيٌّ (تحليلُ ثلاثيَّةِ الحدودِ )
لتحليل ثلاثِيِّ الحدود ، أَجِدُ عددين صحيحين m وَ n حاصلُ ضربهما يُساوي ( ac ) ، ومجموعُهُما يُساوي b، ثمَّ أكتبُ على الصورةِ ، ثمَّ أُحَلِّل بتجميع الحدود. |
•• إذا كانتْ إشارةُ c موجبةً في ثلاثِيِّ الحدودِ ax2 + bx + c ، حيث a > 0 ، فإنَّ لكلٍّ مِنْ m وَ n الإشارةَ نفسَها، ويعتمدُ تحديدُ إشارتَيْ mوَ n
(موجبةٌ أو سالبةٌ) على إشارةِ b، فإذا كانتْ b موجبةً فإنَّ إشارةَ كلٍّ منهُما موجبةٌ، وإذا كانتْ إشارةُ b سالبةً فإنَّ إشارةَ كلٍّ منهُما سالبةٌ.
مثال 1 : (عندما تكون a > 0 ، موجبة ، موجبة )
أُحَلِّلُ
الحل :
بما أنَّ a = 2 , b = 13 , c = 15 ، فأبحثُ عنْ عددَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 30 = 15 × 2 ومجموعُهُما 13 . وبما أنَّ إشارةَ كلٍّ مِنْ c وَ b موجبةٌ، فَأُنْشِئُ جدولًا
أُنَظِّمُ فيهِ أزواجَ عواملِ العددِ 30 الموجبةَ، ثمَّ أُحَدِّدُ العامِلَيْنِ اللذَيْنِ مجموعُهُما 13 .
بكتابةِ القاعدةِ | |
بتعويض m = 10 , n = 3 | |
بتجميعِ الحدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكةِ | |
بتحليل كلِّ تجميع بإخراج العامل المُشترك الأكبر | |
بإخراجِ (x + 5) عاملًا مُشترَكًا |
أتحقَّقُ من صِحَّة التحليل بضرب العامِلين :
خاصيَّة التوزيع | |
بالتبسيط |
مثال 2 : (عندما تكون a > 0 ، موجبة ، سالبة )
أُحَلِّل
الحل :
بما أنَّ a = 8 , b = -17 , c = 2 ، فأبحثُ عنْ عددَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 16 = 8 × 2 ومجموعُهُما 17- . بما أنَّ b سالبةٌ وَ c موجبةٌ، فَأُنْشِئُ جدولً أُنَظِّمُ
فيهِ العامِلَيْنِ اللذَيْنِ مجموعُهُما 17 -
بكتابةِ القاعدةِ | |
بتعويض m = -16 , n = -1 | |
بتجميعِ الحدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكةِ | |
بتحليل كلِّ تجميع بإخراج العامل المُشترك الأكبر | |
بإخراجِ (x - 2) عاملًا مُشترَكًا |
أتحقَّقُ من صِحَّة التحليل بضرب العامِلين :
خاصيَّة التوزيع | |
بالتبسيط |
•• أتعلَّمُ : لتسهيلِ عمليَّةِ التحليلِ مِنَ الأفضلِ أنْ أجعلَ معاملَ x2 موجبًا. |
•• إذا كانتْ c سالبةً في ثُلاثيِّ الحدودِ ax2 + bx + c ، حيث a > 0 ، فإنَّ لِـ m وَ n إشارتَيْنِ مُختلِفَتَيْنِ.
مثال 3 : (عندما تكون a > 0 ، سالبة)
أُحَلِّل
الحل :
بما أنَّ a = 6 , b = 1 , c = - 2 ، فأجِدُ عددَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 12- = 2- × 6 ومجموعُهُما 1
بما أنَّ c سالبة ، فأُنشئ جدولًا أُنظّم فيه أزواج عوامل العدد (12 -) مختلفةَ الإشارةِ، ثمَّ أُحَدِّدُ العامِلَيْن اللذَيْن مجموعُهُما 1
بكتابةِ القاعدةِ | |
بتعويض m = -3 , n = 4 | |
بتجميعِ الحدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكةِ | |
بتحليل كلِّ تجميع بإخراج العامل المُشترك الأكبر | |
بالتبسيط |
أتحقَّقُ من صِحَّة التحليل بضرب العامِلين :
خاصيَّة التوزيع | |
بالتبسيط |
ثانيًا : حلُّ المُعادلاتِ على الصورةِ ax2 + bx + c = 0 بالتحليلِ
يمكنُ حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ على الصورةِ ax2 + bx + c = 0 بالتحليلِ أوَّلًا ، ثمَّ استخدام خاصيَّةِ الضَّربِ الصِّفريِّ.
مثال :
أَحلُّ كُلًّ من المُعادلات الآتية :
الحل :
المُعادلة المُعطاة | |
بالتحليل إلى العوامل | |
خاصيّة الضرب الصفريّ | |
بحلّ كلّ مُعادلة |
المُعادلة المُعطاة | |
بطرح 45x من طرفي المعادلة | |
بقِسمة طَرفي المُعادلة على 3 | |
بالتحليل إلى العوامل | |
خاصيّة الضرب الصفريّ | |
بحلّ كلّ مُعادلة |
•• أتذكَّرُ : أحرِص دائمًا على إخراج العامل المُشترَك الأكبر أوَّلًا قبل البَدء بعمليَّة التحليل. |
• يمكنُ استعمالُ حلِّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بالتحليلِ في كثيرٍ مِنَ التطبيقاتِ الحياتيَّةِ.
مثال :
مستطيل يزيد طوله على 3 أمثال عرضه بمقدار ، إذا كانت مساحة المستطيل ، فأجد أبعاده .
الحل :
أفرض عرض المستطيل x ، إذن طوله 3x + 5
مساحة المستطيل = الطول العرض ، إذن :
أكتب المعادلة بالصورة القياسية وأحللها
تُهمل الإجابة السالبة ؛ لأنها مسافة ، إذن x = 4
إذن : عرض المستطيل ، وطوله