حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بالتحليلِ 2

حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بالتحليلِ(2)

Solving Quadratic Equations by Factoring (2)

فكرةُ الدرسِ :  تحليلُ ثلاثِيِّ الحدودِ على الصورةِ $a{x}^2+bx+c$.  

                        حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ على الصورةِ $a{x}^2+bx+c=0$ بالتحليلِ.

أولًا : تحليلُ ثلاثِيِّ الحدودِ $a{x}^2+bx+c$

تعلَّمتُ سابقًا كيف أُحلِّل ثلاثيَّ الحدود x² + bx + c ، الذي معامل x² فيهِ يُساوي 1، ويمكن أيضًا تحليل بعض ثُلاثيات الحدود التي على الصورة

ax² + bx + c ؛ حيثُ a ≠ 1 و a ≠ 0 بطريقة مُشابهة.

مفهومٌ أساسيٌّ (تحليلُ ثلاثيَّةِ الحدودِ $a{x}^2+bx+c$)

لتحليل ثلاثِيِّ الحدود $a{x}^2+bx+c$ ، أَجِدُ عددين صحيحين m وَ n حاصلُ ضربهما يُساوي ( ac ) ، ومجموعُهُما يُساوي b، ثمَّ أكتبُ $a{x}^2+bx+c$ على الصورةِ $a{x}^2+mx+nx+c$ ، ثمَّ أُحَلِّل بتجميع الحدود.

 

 

 

 

•• إذا كانتْ إشارةُ c موجبةً في ثلاثِيِّ الحدودِ ax² + bx + c ، حيث a > 0 ، فإنَّ لكلٍّ مِنْ m وَ n الإشارةَ نفسَها، ويعتمدُ تحديدُ إشارتَيْ mوَ n

(موجبةٌ أو سالبةٌ) على إشارةِ b، فإذا كانتْ b موجبةً فإنَّ إشارةَ كلٍّ منهُما موجبةٌ، وإذا كانتْ إشارةُ b سالبةً فإنَّ إشارةَ كلٍّ منهُما سالبةٌ.

 

مثال 1 : (عندما تكون a > 0  ، $c$ موجبة ، $b$موجبة )

أُحَلِّلُ $2x^2 +13x +15$

الحل  : 

بما أنَّ a = 2 , b = 13 , c = 15  ، فأبحثُ عنْ عددَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 30 = 15 × 2 ومجموعُهُما 13 . وبما أنَّ إشارةَ كلٍّ مِنْ c وَ b موجبةٌ، فَأُنْشِئُ جدولًا

أُنَظِّمُ فيهِ أزواجَ عواملِ العددِ 30 الموجبةَ، ثمَّ أُحَدِّدُ العامِلَيْنِ اللذَيْنِ مجموعُهُما 13 .

 

بكتابةِ القاعدةِ	$2x^2 +13x +15 = 2x^2+mx+nx +15$
بتعويض m = 10 ,  n = 3	$= 2x^2+10x+3x +15$
بتجميعِ الحدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكةِ	$= (2x^2+10x)+(3x+15)$
بتحليل كلِّ تجميع بإخراج العامل المُشترك الأكبر	$= 2x (x+5)+3(x+5)$
بإخراجِ (x + 5) عاملًا مُشترَكًا	$=(x+5)(2x+3)$

 

 

 

 

 

أتحقَّقُ من صِحَّة التحليل بضرب العامِلين : 

خاصيَّة التوزيع	$(x+5)(2x+3) = 2x^2+3x+10x+15$
بالتبسيط	$= 2x^2 +13x +15 ✔$

 

 

 

---

 مثال 2 : (عندما تكون a > 0  ،  $c$ موجبة ، $b$سالبة )  

أُحَلِّل $8x^2 -17x +2$

الحل  : 

بما أنَّ a = 8 , b = -17 , c = 2  ، فأبحثُ عنْ عددَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 16 = 8 × 2 ومجموعُهُما  17- . بما أنَّ b سالبةٌ وَ c موجبةٌ، فَأُنْشِئُ جدولً أُنَظِّمُ

فيهِ العامِلَيْنِ اللذَيْنِ مجموعُهُما 17 -  

 

 

بكتابةِ القاعدةِ	$8x^2 -17x +2 = 8x^2+mx+nx+2$
بتعويض m = -16 ,  n = -1	$= 8x^2-16x-x+2$
بتجميعِ الحدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكةِ	$= (8x^2-16x)+(-x+2)$
بتحليل كلِّ تجميع بإخراج العامل المُشترك الأكبر	$= 8x (x-2)+(-1)(x-2)$
بإخراجِ (x - 2) عاملًا مُشترَكًا	$= (x-2) (8x -1)$

 

 

 

 

 

أتحقَّقُ من صِحَّة التحليل بضرب العامِلين : 

خاصيَّة التوزيع	$(x-2)(8x-1) = 8x^2-x-16x+2$
بالتبسيط	$= 8x^2 - 17x + 2 ✔$

 

 

 

••  أتعلَّمُ : لتسهيلِ عمليَّةِ التحليلِ مِنَ الأفضلِ أنْ أجعلَ معاملَ x2 موجبًا.

 

 

•• إذا كانتْ c سالبةً في ثُلاثيِّ الحدودِ ax² + bx + c ، حيث a > 0 ، فإنَّ لِـ m وَ n إشارتَيْنِ مُختلِفَتَيْنِ.

 مثال 3 : (عندما تكون a > 0  ، $c$ سالبة)

أُحَلِّل $6x^2+x-2$

الحل  : 

بما أنَّ a = 6 , b = 1 , c = - 2 ، فأجِدُ عددَيْنِ حاصلُ ضربِهِما 12- = 2- × 6  ومجموعُهُما 1  

بما أنَّ c سالبة ، فأُنشئ جدولًا أُنظّم فيه أزواج عوامل العدد (12 -) مختلفةَ الإشارةِ، ثمَّ أُحَدِّدُ العامِلَيْن اللذَيْن مجموعُهُما 1

بكتابةِ القاعدةِ	$6x^2+x -2 = 6x^2+mx+nx-2$
بتعويض m = -3 ,  n = 4	$= 6x^2+(-3)x+4x-2$
بتجميعِ الحدودِ ذاتِ العواملِ المُشترَكةِ	$= (6x^2-3x) +(4x-2)$
بتحليل كلِّ تجميع بإخراج العامل المُشترك الأكبر	$= 3x (2x-1)+2(2x-1)$
بالتبسيط	$= (2x-1)(3x+2)$

 

 

 

 

 

أتحقَّقُ من صِحَّة التحليل بضرب العامِلين : 

خاصيَّة التوزيع	$(2x-1)(3x+2) = 6x^2+4x-3x-2$
بالتبسيط	$= 6x^2+x-2 ✔$

 

 

 

---

ثانيًا : حلُّ المُعادلاتِ على الصورةِ ax² + bx + c = 0 بالتحليلِ

يمكنُ حلُّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ على الصورةِ ax² + bx + c = 0 بالتحليلِ أوَّلًا ، ثمَّ استخدام خاصيَّةِ الضَّربِ الصِّفريِّ.

مثال : 

أَحلُّ كُلًّ من المُعادلات الآتية : 

$\mathit{a}\mathbf{)} 5x^{2 }+ 21x +4 = 0$                                                     $\mathit{b}\mathbf{)} 21x^2+ 6 = 45x$

الحل  : 

$\mathit{a}\mathbf{)} 5x^{2 }+ 21x +4 = 0$

المُعادلة المُعطاة	$5x^{2 }+ 21x +4 = 0$
بالتحليل إلى العوامل	$(5x + 1) (x + 4) = 0$
خاصيّة الضرب الصفريّ	$5x + 1 = 0 or x + 4 =0$
بحلّ كلّ مُعادلة	$x = -\frac{1}{5} or x = -4$

 

 

 

 

 

---

$\mathit{b}\mathbf{)} 21x^2+ 6 = 45x$

المُعادلة المُعطاة	$21x^2+6 = 45x$
بطرح 45x من طرفي المعادلة	$21x^2-45x+6 = 0$
بقِسمة طَرفي المُعادلة على 3	$7x^2-15x+2 = 0$
بالتحليل إلى العوامل	$(7x - 1)(x - 2) = 0$
خاصيّة الضرب الصفريّ	$7x-1 = 0 or x-2 = 0$
بحلّ كلّ مُعادلة	$x=\frac{1}{7} or x =2$

 

 

 

 

 

 

 

•• أتذكَّرُ : أحرِص دائمًا على إخراج العامل المُشترَك الأكبر أوَّلًا قبل البَدء بعمليَّة التحليل.

 

 

• يمكنُ استعمالُ حلِّ المُعادلاتِ التربيعيَّةِ بالتحليلِ في كثيرٍ مِنَ التطبيقاتِ الحياتيَّةِ. 

مثال : 

مستطيل يزيد طوله على 3 أمثال عرضه بمقدار $5m$ ، إذا كانت مساحة المستطيل$68m^2$ ، فأجد أبعاده . 

الحل  : 

أفرض عرض المستطيل x  ، إذن طوله  3x + 5

مساحة المستطيل  = الطول $\times$ العرض  ، إذن :  $x(3x + 5) = 68$

أكتب المعادلة بالصورة القياسية وأحللها 

$$\begin{gathered} 3x^2+5x - 68 = 0 \\ (3x + 17) (x - 4) = 0 \\ 3x + 17 = 0 or x - 4 = 0 \\ x =- \frac{17}{3} or x = 4 \end{gathered}$$

تُهمل الإجابة السالبة ؛ لأنها مسافة ، إذن x = 4  

إذن : عرض المستطيل$4m$ ، وطوله $17m$