رياضيات فصل ثاني

حل المعادلات المثلثية

المعادلة المثلثية: هي معادلة تحوي اقترانات مثلثية والمتطابقات حالة خاصة منها.

المعادلة المثلثية الأساسية هي معادلة بصورة $T\left(\theta \right)=c$ حيث $T\left(\theta \right)$ اقتران مثلثي و c ثابت وهي عبارة عن تبسيط لمعادلة مثلثية.

مثال:

أحل كل معادلة مما يأتي:

$1) \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

أولا نجد طول الدورة وحل المعادلة ضمن فترة طول الدورة.

يوجد حلان للمعادلة في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$ هما:

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{4} ، x=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

ثانيا نجد جميع حلول المعادلة.

بما أن قيم اقتران الجيب تتكر كل $2\mathrm{\pi }$ وحدة فإننا نجد جميع حلول المعادلة بإضافة مضاعفات العدد $2\mathrm{\pi }$ الصحيحة لكل حل من حلول المعادلة.

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2k\mathrm{\pi } ، \mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{k\pi }$

حيث k عدد صحيح.

$2) \cos x=-\frac{1}{2}$

أولا نجد طول الدورة وحل المعادلة ضمن فترة طول الدورة.

يوجد حلان للمعادلة في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$ هما:

$x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3} ، x=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

ثانيا نجد حلول المعادلة.

بما أن قيم اقتران جيب تمام تتكر كل $2\mathrm{\pi }$ وحدة فإننا نجد جميع حلول المعادلة بإضافة مضاعفات العدد $2\mathrm{\pi }$ الصحيحة لكل حل من حلول المعادلة.

$x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } ، \mathrm{x}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{k\pi }$

ملاحظة: في حال كانت المعادلة المثلثية لزواية غير معروفة نستعمل الآلة الحاسبة لإيجادها.

مثال:

أحل كل معادلة مما يأتي:

$1) \sin x=0.4$

أولا نجد الزاوية المرجعية باستعمال الآلة الحاسبة.

$x={\sin }^{-1} (0.4)=23.58$

بما أن اقتران الجيب موجب في الربع الأول والثاني إذن يوجد حلان للمعادلة.

$x=23.58 ، x=156.42$

ثانيا نجد جميع حلول المعادلة.

بما أن قيم اقتران الجيب تتكر كل $2\mathrm{\pi }$ وحدة فإننا نجد جميع حلول المعادلة بإضافة العدد $2\mathrm{\pi }$ الصحيحة لكل حل من حلول المعادلة.

$23.58+2k\mathrm{\pi } ، 156.42+2\mathrm{k\pi }$

$2) \tan x=3$

اولا نجد الزاوية المرجعية باستعمال الالة الحاسبة.

$$\begin{gathered} \tan x=3 \\ x={\tan }^{-1} \left(3\right) \\ \approx 1.25 \end{gathered}$$

بما أن طول دورة الظل $\mathrm{\pi }$ فإنني أجد حل المعادلة ضمن الفترة $(-\frac{\mathrm{\pi }}{2},\frac{\mathrm{\pi }}{2})$.

للمعادلة حل وحيد ضمن هذه الفترة هو $x\approx 1.25$.

ثانيا نجد جميع حلول المعادلة.

بما أن قيم اقتران الظل تتكر كل $\mathrm{\pi }$  وحدة نجد جميع حلول المعادلة بإضافة مضاعفات العدد $\mathrm{\pi }$ الصحيحة إلى الحل السابق.

$x\approx 1.25+k\mathrm{\pi }$

حيث k عدد صحيح.

حل معادلة مثلثية تحوي اقترانا مثلثيا واحدة

وذلك بفصل الاقتران في أحد طرفي المعادلة ثم إيجاد حلها.

مثال:

أحل كل معادلة مما يأتي:

$1) 2 \cos x-3=4 \cos x+1$

نفصل الاقتران المثلثي في أحد أطراف المعادلة.

$$\begin{gathered} -2 \cos x=4 \\ \cos x=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

نجد الحل ضمن دورة.

$x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3} و x=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

نجد جميع الحلول.

$x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } \mathrm{و} \mathrm{x}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{k\pi }$

$2) {\tan }^3 x-1=0$

${\tan }^3 x=1$

باقتران الجذر التكعيبي.

$\tan x=1$

نجد الحل ضمن دورة.

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2k\mathrm{\pi }$

حل المعادلة المثلثية بالتحليل

بعض المعادلات التي تكون في صورة معادلة تربيعية أو التي تتطلب إخراج عامل مشترك يمكن حلها بطريقة التحليل

مثال:

أحل كل معادلة مما يأتي في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$.

$1) {\sin }^2 x-3 \sin x+4=0$

$$\begin{gathered} (\sin x-4)(\sin x-1)=0 \\ \sin x-4=0 \\ \sin x=4 \\ (1 \mathrm{من} \mathrm{اكبر} \mathrm{يكون} \mathrm{أن} \sin \mathrm{اقتران} \mathrm{يمكن} \mathrm{لا}) \\ \sin x-1=0 \\ \sin x=1 \end{gathered}$$

نجد الحل ضمن دورة.

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

نجد جميع الحلول.

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi }$

$2) \cos x \sin x-\frac{1}{2} \sin x=0$

$$\begin{gathered} \sin x(\cos x-\frac{1}{2})=0 \\ \sin x=0 \\ x=0 , x=\mathrm{\pi } \\ \cos x-\frac{1}{2}=0 \\ \cos x=\frac{1}{2} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{3} , \frac{5\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

نجد جميع الحلول.

$x=2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi } , \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{k\pi } , \mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{k\pi }$

حل المعادلات المثلثية باستعمال المتطابقات المثلثية

نستعمل هذه الطريقة إذا كان لدينا معادلات تحوي اقترانا مثلثيا أو أكثر ويتعذر فصل هذه الاقترانات بالتحليل.

مثال:

أحل كل معادلة مما يأتي في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$.

$1) 2 {\sin }^2 x+3 \cos x=0$

$$\begin{gathered} 2 (1-{\cos }^3 x)+3 \cos x=0 \\ 2-2 {\cos }^2 x+3 \cos x=0 \\ 2 {\cos }^2 x-3 \cos x-2=0 \\ (2 \cos x+1)(\cos x-2)=0 \\ \cos x=\frac{-1}{2} \\ x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3} , \frac{4\mathrm{\pi }}{3} \\ \cos x=2 \end{gathered}$$

نجد جميع الحلول.

$x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{k\pi }$

$2) \cos 2x+{\sin }^2 x-1=0$

$$\begin{gathered} {\cos }^2 x-\cancel{{\sin }^2 x}+\cancel{{\sin }^2 x}-1=0 \\ {\cos }^2 x-1=0 \\ {\cos }^2 x=1 \\ \cos x=\pm 1 \\ x=0 , x=\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

نجد جميع الحلول.

$x=2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\mathrm{\pi }+2\mathrm{k\pi }$

حل معادلة مثلثية تحوي اقترانات لضعف الزاوية

ويمكن ذلك من خلال إيجاد قيمة النسبة المثلثية لضعف الزاوية ثم إجراء عملية القسمة لإيجاد قياس الزاوية.

مثال:

أحل المعادلة $(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-\sqrt{3}=0$ في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$.

$$\begin{gathered} {\cos }^2 x-{\sin }^2 x-\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \\ \cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 2x=\frac{\mathrm{\pi }}{6} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{12} \\ 2x=\frac{11\mathrm{\pi }}{6} \\ x=\frac{11\mathrm{\pi }}{12} \end{gathered}$$

ملاحظة: بعض المعادلات المثلثية تحتاج في حلها إلى تربيع طرفي المعادلة ثم استعمال المتطابقات ولكن قد لا يحقق الناتج المعادلة الأصلية لذا يجب التحقق من صحة الحل.

مثال:

أحل المعادلة $\sin x+1=\cos x$ في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$.

بتربيع الطرفين

$$\begin{gathered} {(\sin x+1)}^2={\cos }^2 x{\sin }^2 x+2 \sin x+1={\cos }^2 x \\ {\sin }^2 x+2 \sin x+\cancel{1}=\cancel{1}-{\sin }^2 x \\ 2 {\sin }^2 x+2 \sin x=0 \\ 2 \sin x(\sin x+1)=0 \\ \sin x=0 \\ x=0 , x=\mathrm{\pi } \\ \sin \mathrm{x}+1=0 \\ \sin \mathrm{x}=-1 \\ \mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

بعد التحقق من صحة الحل نجد أن $x=\mathrm{\pi }$ لا تحقق المعادلة (لا نأخذها ضمن الحلول).

 

نجد جميع الحلول.

$x=2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{k\pi }$

حل معادلات مثلثية تحوي اقترانات لنصف الزاوية

نحل المعادلة لإيجاد قيمة النسبة المثلثية لنصف الزاوية ثم نجري عملية الضرب لنجد قياس الزاوية.

مثال:

أحل المعادلة $2 \cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$ في الفترة $[0,2\mathrm{\pi })$.

$$\begin{gathered} \cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{x}{2}=\frac{5\mathrm{\pi }}{6} \\ x=\frac{10\mathrm{\pi }}{6}=\frac{5\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$