خصائص الحركة التوافقية البسيطة

  

الدرس الأول: خصائص الحركة التوافقية البسيطة

التهيئة

أتأمل الأشكال الآتية في المجموعة 1 والمجموعة 2 وأختار الوصف الصحيح لكل منهما 

             المجموعة 1

                    المجموعة 2

       المجموعة الأولى تعبر عن الحركة: الانتقالية

                                        الدورية

    المجموعة الثانية تعبر عن الحركة: الانتقالية

                                        الدورية

       ما المقصود بالحركة الدورية؟

    الشرح

الحركة الدورية

يطلق على الحركة التي تكرر نفسها على المسار نفسه في فترات زمنية متساوية اسم الحركة الدورية، مثل حركة القمر حول الأرض، وحركة بندول الساعة.

الحركة الاهتزازية

في بعض أنواع الحركة الدورية يتحرك الجسم المهتز على جانبي موقع اتزان، إذ محصلة القوى عند هذا الموقع المؤثرة في الجسم المهتز تساوي صفرًا؛

وتُسمى الحركة الاهتزازية، ومن أمثلة الحركة الاهتزازية: حركة جسم مثبت في نابض موضوع على سطح أفقي أملس، وحركة جسم معلق بنابض رأسي، وحركة البندول البسيط.

                       الشكل (1)                                              الشكل (2)                        الشكل (3)

الحركة التوافقية البسيطة:  تسمّى الحركة التذبذبية حركة توافقية بسيطة (Simple harmonic motion (SHM إذا حقّقت شرطين؛ هما:  - يتناسب مقدار القوّة المعيدة طرديًّا مع مقدار إزاحة الجسم من موقع الاتّزان.   - يكون اتّجاه القوّة المعيدة باتّجاه موقع الاتّزان دائمًا ومعاكسًا لاتّجاه الإزاحة.   ولدراسة الحركة التوافقية البسيطة وتعرف بعض مفاهيمها نفرض جسمًا كتلته m متصل مع نابض يتحرك على سطح أفقي أملس كما في الشكل، عندما يكون النابض في حالة الاستقرار أي أن استطالة النابض تساوي صفرًا ، فإن النابض يكون في حالة اتزان x=0 كما في الحالة (أ)، إذا تعرض النابض إلى أي اضطراب يؤدي إلى استطالته أو انضغاطه. فإنه يهتز يمينًا ويسارًا. ففي الحالة (ب)  عندما یتحرك الجسم إزاحة للیمین عن موقع الاتزان أي

 

الحل:

أ.                         $a_{max}=-\frac{K}{m}A$

$a_{max}=-\frac{100}{0.4}\times 0.06=-15 m/s^2$

ب.                           $a=-\frac{k}{m}x$

   $a=-\frac{100}{0.4}\times 0.03=-7.5 m/s^2$

---

خصائص الحركة التوافقية البسيطة:

لدراسة العلاقة بين الحركة التوافقية البسيطة والحركة الدائرية لا بد من توضيح بعض المفاهيم وأهمها:

سعة الاهتزازة: (A) Amplitude

أقصى إزاحة يصل إليها الجسم المهتز من موقع الاتزان.

الزمن الدوري:( T ) Periodic Time

الزمن الذي يستغرقه الجسم المهتز في عمل اهتزازة كاملة.

التردد: (ƒ) Frequency

عدد الاهتزازات الكاملة التي يحدثها الجسم المهتز في الثانية الواحدة. ويوجد علاقة بين الزمن الدوري والتردد تعطى:

حركة البندول البسيط والحركة التوافقية البسيطة:

يعد البندول البسيط أحد الأنظمة الميكانيكية التي تعمل حركة دورية. يتكون البندول البسيط من جسم كتلته

m  معلق بخيط طوله L  من أحد طرفيه والطرف الآخر مثبت، كما في الشكل. عندما تكون الزاوية q صغيرة أقل من (   °10)، فإن حركة البندول تكون حركة توافقية بسيطة. وعند أقصى إزاحة تكون القوى المؤثرة في الجسم المُعلق هي قوة الشد  TF  التي تنتج في الخيط ووزن الكرة mgوبتحليل الوزن فإن المركبة باتجاه موقع الاتزان  qmgsin تؤثر دائمًا في الاتجاه الذي يجعل الزاوية θ=0  وفي عكس الإزاحة التي تحدث للجسم بالنسبة لموقع الاتزان. ولهذا فإن هذه المركبة تُعد القوة المعيدة:  θsin -mg =F

 

 

وفي الزوايا الصغيرة  التي تقاس بالراد يكون   θ   sinθ=tanθ= حيث أن الراديان: Radian ( rad )  زاوية مركزية في دائرة تقابل  قوسًا طوله مساوٍ لطول نصف قطر الدائرة، كما في الشكل إذ إنّ:

كذلك $\theta =\frac{x}{L}$  إذاً    $F=-mg\frac{x}{L}$

 وبما أن $\frac{mg}{L}$ مقدار ثابت فإن $F \propto -x$  

وبتطبيق قانون نيوتن الثاني

$ma=-\frac{mg}{L}x$

$a=-\frac{g}{L}x$

نستنتج أن حركة البندول البسيط بإزاحات صغيرة هي حركة توافقية بسيطة لأن مقدار كل من القوة المعيدة والتسارع يتناسبان طردياً

مع مقدار الإزاحة وفي اتجاه معاكس لها. حيث تزاح الكرة نحو اليمين إلى النقطة a بحيث يمسح خيط البندول زاوية θ وتقطع الكرة

مسافة قوسية S عن موقع الاتّزان O. 

---

مثال محلول   

بندول بسيط طول خيطه 2m  وسعته 0.1m  أحسب:

أ.  مقدار التسارع عند أقصى إزاحة.

ب. مقدار التسارع عندما   mx=0.03   

الحل:

أ.          $a_{max}=-\frac{g}{L}A$

$$\begin{gathered} a_{max}=-\frac{9.8}{2}\times 0.1 \\ =-0.49 m/s^2 \end{gathered}$$
ب.      ${ a}_{max}=-\frac{g}{L}\times x=-\frac{9.8}{2}\times 0.03=-0.147m/s^2$

---

العلاقة بين الحركة الدائرية المنتظمة  والحركة التوافقية  البسيطة ( SHM):

تظهر علاقة بين الحركة التوافقية البسيط  والحركة الدائرية، فعلى سبيل المثال: حركة مكبس محرك السيارة يتحرك للأعلى وللأسفل حركة توافقية بسيطة  تنتقل إلى حركة دورانية في عجلات السيارة. في هذا الجزء سنقوم بشرح العلاقة بين الحركة التوافقية البسيطة  والحركة الدائرية. يظهر الشكل أدناه ذراعًا متصلًا بقرص نصف قطره A  يدور بانتظام، ويسقط على مستوى الدوران الأفقي شعاع ضوئي يصدر من مصباح. نستقبل ظل الذراع على شاشة، وبحركة دائرية منتظمة نشاهد ظل الذراع يتحرك حركة توافقية بسيطة.
إذا كان الجسم يتحرك على محيط الدائرة   بسرعة مماسية ( V ) ثابتة في  المقدار ومتغيرة في الاتجاه وبسرعة  زاوية منتظمة (ω ).   علاقة  السرعة  المماسية:    $\nu =\frac{d}{t}$

   حيث (d) طول القوس (المسافة) الذي يقطعه الجسم على المسار الدائري بوحدة ( m ) خلال فترة زمنية ( t )  بوحدة (s)

وخلال فترة زمنية تساوي الزمن الدوري ( ( T يقطع الجسم مسافة تساوي محيط المسار  كاملاً (A 2π ) ويمسح نصف

قطر المسار زاوية (2π ) بوحدة الراديان، ونعبر عن السرعة المماسية:

$v =\frac{2\pi A}{T}$    

 أما  السرعة  الزاوية ( ω ) فهي  الزاوية ( θ )  بوحدة الراديان  ( rad ) التي يمسحها نصف قطر المسار الدائري ( A ) خلال وحدة

 الزمن، ونعبر عنها:

$\omega =\frac{\theta }{t} \to \theta =\omega t$

عندما يصل  الجسم  إلى النقطة (P)  يمسح نصف القطر (A) زاوية مقدارها (θ) فإن مسقط النقطة  P على محور x، هي النقطة  Q،

تتحرك للأمام وللخلف على محور x  بين النقطتين x=±A  ومن المثلث OPQ نستنتج أن: 

                                                           $\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{A}\mathbf{ }\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{\theta }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }$  

تتغير الإزاحة (x) عن موقع الاستقرار مع الزمن وحيث (θ = ωt)، لذلك يمكن  كتابة معادلة الإزاحة عن موقع الاستقرار:

                                                                 $x\left(t\right)=A cos\left(\omega t\right)$

العلاقة بين  السرعة  الزاوية (ω) والتردد والزمن الدوري:

                                                              $\mathit{\omega }\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }}{\mathbf{T}}$ ، وبما أن $f=\frac{1}{T}$

فإنه يمكن كتابة السرعة الزاوية  بدلالة التردد:    $\omega =2\pi f$

---

مثال محلول   

يتحرك جسم حركة توافقية بسيطة بتردد 10Hz  وبسعة مقدرها 0.15m

أحسب إزاحة الجسم بعد t=0.12s .

الحل:

$$\begin{gathered} \omega =2\pi f \\ =2\pi \times 10 \\ =62.8 rad/s \\ x=A \cos \omega t \\ x=0.15 \cos 62.8\times 0.12 \\ =0.15m \end{gathered}$$

---

للتوصّل إلى المعادلة العامّة؛ يجب إدخال مفهومي زاوية الطور وثابت الطور.  أفترض أنّ لدينا نظامين ( A,B ) يتحرّك كلّ منهما حركة توافقية بسيطة؛

الزمن الدوري والسعة لكلّ منهما متساويان، مثل نظامي (كتلة - نابض)  متماثلين ُ تركا ليتحرّكا في الوقت نفسه ومن أقصى إزاحة بالاتّجاه نفسه،

فإنّهما سيمرّان من موقع الاتّزان في الوقت نفسه، وسيصلان أقصى إزاحة في الوقت نفسه كذلك، عندئذ يقال إنّ النابضين متّفقان في الطور، وفرق

زاوية الطور بينهما يساوي صفرًا. فما المقصود بالطور وزاوية الطور؟

الطور: وصف لموقع الجسم في أثناء تذبذبه، أمّا زاوية الطور: فتعرف بأنّها الزاوية التي ُ تحدّد موقع الجسم عند أيّة لحظة زمنية (t) وتساوي ( ωt + ϕ )،

وتمثّل ϕ ثابت الطور  ويعرّف بأنّه الزاوية التي تبدأ عندها الحركة. 

أفترض تحرّك أحد النابضين قبل الآخر بزمن معيّن (Δt) كما في الشكل، ما يؤدّي إلى فرق في زاوية الطور بينهما،عندئذ ُ يقال إنّ النابضين مختلفان في الطور؛ وهذا يعني أنّ النابضين لن يمرّا من موقع الاتّزان في الوقت نفسه ولن يصلا أقصى إزاحة في الوقت نفسه أيضًا، بسبب الاختلاف في زاوية الطور نتيجة للاختلاف في زمن بدء الحركتين. هذا الفرقفي الزمن (Δt) بين حركة النابضين يكافئ فرقًا في زاوية الطور بين الحركتين مقدارها (ωΔt) تقاس بوحدة راديان (rad) على النحو الآتي: $\omega ∆t=\frac{2\pi }{T}∆t$ بشكل عامّ؛ تعطى معادلة الإزاحة للحركة التوافقية البسيطة بالنسبة إلى الزمن بالعلاقة الآتية: x(t) = A sin (ω t + ϕ)

---

مثال محلول   

يتّصل جسم بطرف نابض موضوع على سطح أفقي أملس، سحب الجسم إلى أقصى إزاحة عن موقع الاتّزان  كما في الشكل:

ثم ترك ليبدأ بالتذبذب عند الزمن ( t = 0 )، فإذا علمت أنّ معادلة تغيّر الإزاحة مع الزمن:  $x\left(t\right) =0.05 \cos (\frac{\pi }{2} t)$
إذ تقاس الإزاحة بوحدة (m) والزمن بوحدة (s). أجد:
أ. السَّعة والتردّد الزاوي.
ب. الزمن الدوري والتردّد.
ج. الإزاحة بعد نصف ثانية من بدء الحركة.

الحل:

أ. عن طريق مقارنة معادلتي تغيّر الإزاحة مع الزمن:

$$\begin{gathered} x\left(t\right) = A \cos \left(\omega t\right) \\ x\left(t\right) = 0.05 \cos (\frac{\pi }{2} t) \end{gathered}$$

أجد أن: السعة: A = 0.05 m
التردّد الزاوي: ω = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ rad.s^-1
ب. الزمن الدوري:
$\omega =\frac{ 2\pi }{T}$
$\frac{\mathrm{\pi }}{2}=\frac{2\mathrm{\pi }}{T}$
T = 4 s
التردّد: 
$$\begin{gathered} f=\frac{1}{T} \\ =\frac{1}{4} s^{-1} \end{gathered}$$

ج. الإزاحة بعد نصف ثانية:
أجد أولًا الزاوية ( ωt ) بوحدة الدرجة بافتراض أنّ : (π rad = 180^o)

$(\omega t)=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \times 0.5 = 0.25 \pi rad= \frac{{180}^o}{\mathrm{\pi }} \times 0.25 \pi ={ 45}^o$
أعوّض مقدار الزاوية ( ωt = 45^o ) في معادلة تغيّر الإزاحة مع الزمن:
x(t) = 0.05 cos (ω t) = 0.05 cos 45^o = 0.05 × 0.7 = 0.035 m = 3.5 cm

---

 

السرعة والتسارع في الحركة التوافقية البسيطة: بعد دراسة منحنى (الإزاحة - الزمن) للحركة التوافقية البسيطة، لجسم يتّصل بنابض وبدأ الحركة من موقع الاتّزان عند الزمن (t = 0)يمكن استخدام ميل ذلك المنحنى للتوصّل إلى منحنى (السرعة - الزمن)، كما في الشكل  الذي يمثّل منحنيات كلّ من الإزاحة والسرعة مع الزمن في الحركة التوافقية البسيطة. عند دراسة هذين المنحنيين ألاحظ ما يأتي: للسرعة قيم عظمى عند النقاط التي تكون الإزاحة عندها صفرا، أنظر إلى الخطوط ( 0,2,4 )، والسرعة تساوي صفرا عند النقاط التيتكون للإزاحة عندها قيم قصوى، أنظر إلى الخطوط ( 1,3 ). تردّد منحنيات الإزاحة والسرعة متساويان.

 

التمثيل الهندسي في الشكل المجاور يبين أن المركبة السينية للسرعة والتي تمثل السرعة اللحظية  لحركة المسقط في حركته التوافقية البسيطة:                                                $v=\omega Acos(\omega t+\varnothing )$ أما إذا بدأ الجسم الحركة من موقع الاتزان تكون 0=∅ وبالتالي تكون معادلة السرعة اللحظية:                                                    $v=\omega A\cos \left(\omega t\right)$ وتصل السرعة إلى قيمتها العظمى عندما يكون: cos (ωt) = 1 ؛ أي إنّ: $v_{max}=\omega A$ لذا؛ يمكن إعادة كتابة علاقة السرعة على النحو: v(t) = vmax cos (ωt) ويمكن حساب معادلة السرعة بدلالة الإزاحة من العلاقة: $v=\mp \omega \sqrt{A^2-X^2}$

ولأن العلاقة بين التسارع والسرعة الخطية للحركة الدائرية:  $a=r{\omega }^2$  واتجاه التسارع للنقطة P على محيط الدائرة هو في اتجاه مركز الدائرة Oوله مقدار:  $a=\frac{v^2}{A}={\omega }^{2}A$  من الشكل الهندسي الموضح. تسارع الجسم عند أيّة لحظة ( t) تساوي مشتقّة معادلة السرعة مع الزمن؛ وتعطى بالعلاقة الآتية: a(t) = -ω2A sin (ωt) = -ω2x $a_{max}= {\omega }^{2}A , \sin \left(\omega t\right) = -1$ وحيث إنّ القوّة المعيدة F هي القوّة المحصّلة المؤثّرة في الجسم المتّصل بالنابض؛ فإنّ الجسم سيكتسب تسارعا حسب القانون الثاني لنيوتن:                             F = ma = -kx                           m(-ω2 x) = -kx                                  $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$

 وبتعويض  $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$ في العلاقة  $T = \frac{2\pi }{ \omega }$، فإن الزمن الدوري T:   

                                          $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

---

مثال محلول   

    جسم كتلته 

200g  متصل بنابض k=5 N/m  يتذبذب أفقيًّا على سطح أملس. فإذا سحب الجسم مسافة مقدارها 5 cm  من موقع الاتزان ثم ترك من السكون. أجد 

• السرعة الزاوية
• أقصى سرعة للجسم
• أقصى تسارع للجسم
• موقع الجسم وسرعته وتسارعه بمعادلات.

الحل:

•  الس رعة الزاوية: $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{5}{0.2} }=5 rad/s$
•  أقصى سرعة: $V_{max}=\omega A=5\times 0.05=0.25 m/s$
• أقصى تسارع:  $a_{max}={\omega }^{2}A=5^2\times 0.05=1.25 m/s^2$
• موقع الجسم:   $$\begin{gathered} x=A \cos \omega t \\ x=0.05 \cos 5t \end{gathered}$$

      سرعة الجسم : $$\begin{gathered} V=-\omega A\sin \omega t \\ =-0.25\sin \left(5t\right) \end{gathered}$$

      تسارع الجسم: $$\begin{gathered} a=-{\omega }^{2}A\cos \omega t \\ =-1.25\cos \left(5t\right) \end{gathered}$$

---

مثال محلول   
تحرّك جسم حركة توافقية بسيطة حسب معادلة الإزاحة الآتية: 

 

                   $x\left(t\right) =0.08sin ( 1.33t + \frac{\pi }{5})$

إذ  تقاس الإزاحة بوحدة (m) والزمن بوحدة ( s).

أ. أجد السعة والتردّد الزاوي والزمن الدوري وثابت الطور .

ب. أجد القيمة العظمى للسرعة.

ج. أكتب معادلة تغيّر السرعة مع الزمن.

د . أجد زاوية الطور بعد بدء الحركة بثلاث ثوان.

الحل:

    أ. عن طريق مقارنة معادلتي الإزاحة:

                    ( x(t) = A sin (ω t + ϕ
              x(t) = 0.08 sin (1.33 t + $\frac{\mathrm{\pi }}{5}$)

          - السعة: A = 0.08 m
         - التردّد الزاوي: ω = 1.33 rad/s
          - ثابت الطور: rad   $\varphi =\frac{\mathrm{\pi }}{5}$
                                               ^{$\varphi ={36}^{°}$} 
- الزمن الدوري: $T = \frac{2\pi }{ \omega } =\frac{ 2 \times 3.14}{1.33}=4.72 s$
ب. القيمة العظمى للسرعة: $v_{max} = \omega A = 1.33 \times 0.08 = 0.11 m/s$
ج. معادلة تغيّر السرعة مع الزمن: ( v(t) = ωA cos (ωt + ϕ
$$\begin{gathered} v\left(t\right) = 1.33 \times 0.08 \cos (1.33 t + \frac{\pi }{5} ) \\ v\left(t\right) = 0.106 \cos (1.33 t + \frac{\pi }{5} ) \end{gathered}$$
 

د. زاوية الطور بعد (3s) :$$\begin{gathered} (\omega t + \varphi ) =\left(\right(1.33 \times 3) + \frac{\pi }{5} ) \\ = 3.99 + 0.63 = 4.62 rad = {265}^o \end{gathered}$$

 

الطاقة في الحركة التوافقية البسيطة: أفتر ض جسما كتلته m يتّصل بنابض موضوع على سطح أفقي أملس عند موقع الاتّزان ( x = 0 ) كما في الشكل،فإذا ضغط النابض نحو اليسار بوساطة قوّة خارجية إزاحة قصوى (x=-A) فإنّ الشغل الذي تبذله تلك القوّة ُ يختزن على شكل طاقة وضع مرونية. تعطى طاقة الوضع المرونية المختزنة في نابض استطال أو انضغط إزاحة x بالعلاقة: الآتية:       $PE =\frac{ 1 }{2} k x^2$ وإذا ترك الجسم ليبدأ بالتذبذب بدءا من ذلك الموقع، حيث سرعة الجسم تساوي صفرا ( v = 0 ) وطاقة الوضع المرونية قيمة عظمى،تبدأ بعدها تحوّلات الطاقة؛ إذ تتناقص طاقة الوضع المرونية وتزداد الطاقة الحركية (KE) لتتحوّل طاقة الوضع المرونية كاملة إلى طاقةحركية عند موقع الاتّزان ( x = 0 )، ثم تتزايد طاقة الوضع المرونية وتقلّ الطاقة الحركية إلى أن تتحوّل الطاقة كاملةإلى طاقة وضع مرونيةعند الإزاحة القصوى على الطرف الآخر(x = A)  وهكذا، وبما أنّ قوّة النابض قوّة محافظة، وبغياب قوى الاحتكاك  فإنّ الطاقة الميكانيكية (ME) تكون محفوظة على   النحو الآتي:                                               ME = PE + KE = constant أي إنّ مجموع طاقة الوضع المرونية والطاقة الحركية عند أيّ نقطتين (1، 2) على مسار حركة الجسم المتّصل بنابض كما في الشكل يكون متساويا:           PE1 + KE1 = PE2 + KE2 $\frac{1}{2} k{x}_1^2 + \frac{1}{2} m{v}_1^2 =\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathit{k}{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{m}{\mathit{v}}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}$
وتكون الطاقة الميكانيكية قي الحركة التوافقية البسيطة محفوظة في غياب القوى غير المحافظة، والقيمة العظمى  لطاقة الوضع المرونية تساوي القيمة العظمى للطاقة الحركية، وتساوي الطاقة الميكانيكية كما هو مبيّن في الشكل  أي إنّ:            ME = PEmax = KEmax والطاقة الحركية العظمى (عند موقع الاتّزان ( x = 0 ))؛ حيث تبلغ السرعة قيمتها العظمى، تعطى بالعلاقة: $K{E}_{max} =\frac{ 1 }{2} m{\left(v_{max}\right)}^2$  وبما أنّ: vmax = ωA  فإنّ: $K{E}_{max} =\frac{1 }{2}m{\left(\omega A\right)}^2$ وعند أيّ من النقطتين على طرفي مسار الحركة  (x = -A ، x = A) فإنّ الطاقة الميكانيكية هي طاقة وضع مرونية، حيث السرعة تساوي صفرا، أي إنّ: $ME = PE + KE = \frac{1 }{2} k{A}^2 + \frac{1}{2} m{\left(0\right)}^2 =\frac{ 1}{2} k{A}^2 = P{E}_{max}$ حيث A: سعة الذبذبة. لذا؛ تتناسب الطاقة الميكانيكية في الحركة التوافقية البسيطة طرديا مع مربّع السعة. عند موقع الاتّزان ( x = 0 ) تتحوّل طاقة الوضع المرونية العظمى إلى طاقة حركية عظمى: $$\begin{gathered} \frac{1}{2} k{A}^2 =\frac{ 1}{2} m{\left(v_{max}\right)}^2 \\ {\left(v_{max}\right)}^2 = (\frac{k}{m} )A^2 \\ {v}_{max} = \pm \sqrt{\frac{k}{m}} A = \pm \omega A , \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \end{gathered}$$ حيث vmax : السرعة العظمى خلال الحركة عند النقطة (x = 0) بشكل عامّ عند أيّ نقطة على مسار حركة الجسم المتصل بنابض يكون: حيث v: سرعة الجسم عند أيّ نقطة على مسار حركة النابض، وقد تكون موجبة أو سالبة اعتمادًا على اتجاه حركة الجسم عند تلك النقطة. مثال محلول    يتذبذب جسم كتلته 75 g يتّصل بنابض في حركة توافقية بسيطة كما في الشكل ( 15 )، مستعينًا بالبيانات المثبّتة على الشكل أحسب: أ . التردّد الزاوي. ب. الطاقة الحركية العظمى. ج. طاقة الوضع المرونية العظمى. د. طاقة الوضع المرونية والطاقة الحركية بعد (0.6 s) من بدء الحركة.

   

الحل:

أ. التردّد الزاوي:  $\omega = \frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{2.4}=0.83 \mathrm{\pi }=2.61 \mathrm{rad}/\mathrm{s}$

ب. الطاقة الحركية العظمى: 
$K{E}_{max} =\frac{1}{2} m{\left(\omega A\right)}^2 = \frac{1 }{2} \times (75 \times {10}^{-3}) (2.61 \times {(1.9\times {10}^{-2}))}^2 = 9.2 \times {10}^{-5 }J$
ج. طاقة الوضع المرونية العظمى:
$P{E}_{max} = K{E}_{max} = 9.2 \times {10}^{-5} J$
د . عند ( t = 0.6 s ): يكون الجسم عند موقع الاتّزان ( x = 0 ). ومن ثمّ، فإنّ:
طاقة الوضع المرونية: PE = 0 J
وطاقة الحركة: $KE = K{E}_{max} = 9.2 \times {10}^{-5 }J$

0.4kg.أحسب: (بإهمال كتلة النابض).

أ. أكبر مقدار للتسارع.

ب. تسارع النظام عندما m 

(x>0)  فإن القوة المتولدة في النابض تكون صفرًا. وفي الحالة (جـ) عندما تكون إزاحة الجسم للیسار أي (x<0 )      فإن القوة المتولدة في النابض تكون في اتجاه الیمین. مما سبق إذا أزيح الجسم لليمين أو لليسار نتيجة تأثير قوة خارجية فإن قوة تتولد في النابض تسمى القوة المعيدة Restoring force اتجاهها عكس اتجاه القوة الخارجية. ويمكن حساب القوة المعيدة عن طريق قانون هوك:         حيث k  ثابت النابض ووحدته N/m

 

وصف الحركة التوافقية البسيطة:

نصف حركة الجسم المتحرك حركة توافقية بسيطة عن طريق وصف الإزاحة والسرعة والتسارع.

القوة المعيدة:	مقدار القوة المعيدة (F) يساوي صفرًا	قيمة عظمى عند السعة باتجاه محور x-	قيمة عظمى عند السعة باتجاه محور x+
الإزاحة:	إزاحة الجسم تساوي صفرًا	(x = A)	(x = - A)
التسارع:	مقدار التسارع (a) يساوي صفرًا	قيمة عظمى عند السعة باتجاه محور x-	قيمة عظمى عند السعة باتجاه محور x+
السرعة:	قيمة عظمى عند مروره بموقع الاتّزان	مقدار السرعة (v) يساوي صفرًا	مقدار السرعة (v) يساوي صفرًا

الإزاحة: تقاس إزاحة الجسم ( Δx = x ) خلال الحركة التذبذبية من موقع الاتّزان، فوفقًا للشكل (أ)عند موقع الاتّزان؛ فإنّ إزاحة الجسم

            تساوي صفرًا،واستطالة النابض (أو انضغاطه) تساوي صفرًا.

            وتدلّ الإشارة السالبة في قانون هوك، على أنّ اتّجاه القوّة المعيدة يكون دائمًا باتجاه معاكس لإزاحة الجسم ونحو موقع الاتّزان (x =0).

            عند سحب الجسم نحو اليمين أو اليسار ثم تركه فإنّه يتذبذب حول موقع الاتّزان، ويكون الجسم في الموقع المبيّن في الشكل (ب) عند 

             أقصى إزاحة ( x = A )؛ وتسمّى أقصى إزاحة يتحرّكها الجسم من موقع الاتّزان سعة الذبذبة (Amplitude (A .

التسارع: بتطبيق قانون نيوتن الثاني على حركة الجسم فإن: -k x=m a 

                                                              

              وبما أن ($\frac{k}{m}$ ) مقدار ثابت فإن التسارع يتناسب طرديًّا مع الإزاحة وفي اتجاه معاكس لها.

              وعند أقصى إزاحة فإن التسارع يصبح:          $a_{max} = -\frac{kA}{m}$ 

              أي يكون لكل من القوّة المعيدة F والتسارع a  قيمة عظمى عند السعة، واتّجاه كلّ منهما نحو موقع الاتّزان (باتجاه محور x-)

السرعة: عند أقصى إزاحة مقدار السرعة ( v) يساوي صفرًا؛ إذ يسكن الجسم لحظيًّا. ثم في أثناء عودة الجسم لليسار؛ فإنّ مقدار

            السرعة يزداد ليصل قيمة عظمى عند مروره بموقع الاتّزان، بينما يقلّ مقدار كلّ من الإزاحة، والقوّة المعيدة، والتسارع ليصبح     

            كل منها صفرا لحظة مروره بموقع الاتّزان، ويستمر الجسم في الحركة باتّجاه اليسار مبتعدًا عن موقع الاتّزان؛ إذ يقل مقدار

            سرعة الجسم تدريجيًّا ليصبح صفرًا عند أقصى إزاحة ( x = -A ).

             وبهذا نرى أن الجسم يهتز بين نقطتين هما  x=±A  في حالة عدم وجود احتكاك أو مقاومة هواء وأن الحركة سوف تستمر.

 

 

مثال محلول       ضغ جسم  متصل بنابض  موضوع  على سطح أفقي أملس  إلى نقطة تبعد  مسافة 5cm عن موقع اتزانه  كما في الشكل المجاور، وترك يتذبذب ذهابًا وإيابًا. إذا كان مقدار القوّة المعيدة عند  تلك النقطة $4 N$ فأجيب عمّا يأتي:   أ . ما مقدار سعة الذبذبة؟  ب. أحسب ثابت النابض. ج. أحسب القوّة المعيدة وأفسّر إشارتها؛ عندما  يصبح الجسم على بعد عن موقع الاتّزان في أثناء عودته.

الحل:
      أ.  سعة الذبذبة هي أقصى إزاحة عن موقع الاتّزان وتساوي: A = 0.05 m
    ب. ثابت النابض :k
                         F = - k x , x = -A = -0.05 m
                                           k × (-0.05)$4=-$
                                                  k = 80 N/m
     ج. القوّة المعيدة عند : x = -2 cm
                   F_2cm = - k x = -80 × (-0.02) = 1.6 N
 تعني الإشارة الموجبة للقوّة، أنّ اتّجاهها معاكسًا لاتجاه الإزاحة في اتجاه محور($+\mathcal{x}$ ).

---

مثال محلول   

يهتز نظام كتلة- نابض في حركة توافقية بسيطة سعتها

0.06m  فإذا كان ثابث النابض

100N/m  ومقدار الكتلة

x=0.03.