ديناميكا الحركة الدورانية

وصف الحركة الدورانية 

في صفوف سابقة، تعلمت وصف الحركة للأجسام التي تتحرك حركة انتقالية باستخدام مفاهيم الإزاحة والسرعة  والتسارع.

وبالمثل يمكن وصف الحركة الدورانية باستخدام مفاهيم خاصة وهي:الإزاحة الزاوية، والسرعة الزاوية، والتسارع الزاوي.

الإزاحة الزاوية Angular Displacement

عندما يدور الجسم بزاوية معينة، فإن جميع الجسيمات المكونة له تدور بالزاوية نفسها.

والموقع الزاوي لأي جسيم هو: الزاوية التي يصنعها الخط الواصل بين الجسيم ونقطة

الأصل ،مع  محور $\left(x+\right)$؛باعتباره الخط المرجعي الذي يُحدد الموقع بالنسبة إليه.

 ويبين الشكل المجاور التغير في الموقع الزاوي لجسيم يقع  على جسم يدور بعكس 

حركة عقارب الساعة. فعند اللحظة $\left(t_{\mathrm{i}}\right)$ يكون الموقع الزاوي  للجسيم عند النقطة (A) 

هو $\left({\theta }_{\mathrm{i}}\right)$، وعند اللحظة $\left( t_{\mathrm{f}}\right)$يصبح الموقع  الزاوي للجسيم عند النقطة (B)هو $\left({\theta }_{\mathit{f}}\right)$.

أما الإزاحة الزاوية $\left(∆\mathrm{\theta }\right)$ فهي: التغير في الموقع الزاوي، وتساوي الزاوية التي يمسحها 

نصف قطر المسار الدائري الذي يدور مع الجسيم. وتحسب الإزاحة الزاوية كما يأتي:

$\mathbf{∆}\mathbf{\theta }\mathbf{=}{\mathbf{\theta }}_{\mathrm{f} }\mathbf{-}\mathbf{ }{\mathbf{\theta }}_{\mathrm{i} }$ 

 تغير الموقع الزاوي لجسيم  يدور  بعكس  ا تجاه حركة عقارب الساعة. 

إشارة الإزاحة الزاوية

تعد الإزاحة الزاوية موجبة عندما يكون اتجاه الدوران عكس اتجاه حركة عقارب الساعة،

بينما تعد سالبة عندما يكون اتجاه الدوران مع اتجاه حركة عقارب الساعة.  كما الاحظ

 في الشكل المجاور.  

    $\left(∆\mathrm{\theta }\right)$ : سالبة                  $\left(∆\mathrm{\theta }\right)$: موجبة              

السرعة الزاوية Angular Velocity

 تعملت سابقا حساب السرعة الخطية المتوسطة لجسم يتحرك حركة انتقالية. وبالمثل عندما يتحرك جسم حركة دورانية،

يمكن تعريف السرعة الزاوية المتوسطة Average angular velocity بأنها نسبة الإزاحة الزاوية($∆\theta$ ) لذلك الجسم إلى الفترة 

 الزمنية $\left(∆t\right)$ التي حدثت خلالها هذه الإزاحة، وتقاس السرعة الزاوية بوحدة (rad/s). وويرمز لها بالرمز ($\omega$ ) وتعطى

   بالعلاقة الآتية:

$\overline{\omega }\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\frac{∆\mathrm{\theta }}{∆t}$

أما السرعة الزاوية لجسم عند لحظة زمنية معينة؛ فتسمى السرعة الزاوية اللحظية Instantaneous angular velocity .

وعندماتكون السرعة الزاوية ثابتة، فإن السرعة الزاوية المتوسطة تساوي السرعة الزاوية اللحظية. وفي هذه الوحدة أينما  

ورد مصطلح السرعة الزاوية فإنه يعني؛ السرعة الزاوية اللحظية.

إشارة السرعة الزاوية 

تكون إشارة $\left(\omega \right)$ مشابهة لإشارة الإزاحة الزاوية  $\left(∆\mathrm{\theta }\right)$، فعند دوران الجسم بعكس اتجاه حركة عقارب الساعة تكون إزاحته

الزاوية موجبة؛ لذا فإن  سرعته الزاوية موجبة أيضا. أما عند دورانه باتجاه حركة عقارب الساعة فإن إزاحته وسرعته الزاوية

تكونان سالبتين.

كيف أحدد اتجاه السرعة الزاوية؟

تستخدم قاعدة اليد اليمنى لتحديد اتجاه السرعة الزاوية لجسم؛ وذلك عن طريق لف أصابع

 اليد اليمنى حول محور دوران الجسم، بحيث تشير إلى اتجاه دورانه، فيشير الإبهام  إلى اتجاه

 السرعة الزاوية. ويبين الشكل المجاور  اتجاه الدوران لجسم عند النظر إليه من الأعلى.

في الشكل (أ) الجسم يدور بعكس اتجاه حركة عقارب الساعة، وبتطبيق قاعدة اليد اليمنى

يكون متجه $\left(\omega \right)$ باتجاه محور ( y+).  

في الشكل (ب) الجسم يدور باتجاه حركة عقارب الساعة، وبتطبيق قاعدة اليد اليمنى يكون

متجه $\left(\omega \right)$باتجاه محور ( y-). 

استخدام قاعدة اليد اليمنى لتحديد

اتجاه السرعة الزاوية.  

ويبين الشكل المجاور كيفية تحديد اتجاه  السرعة الزاوية لجسم يدور حول المحور (Z):         

(أ) عند دوران جسم حول المحور ( Z )  بعكس  حركة عقارب الساعة، يكون متجه  السرعة

الزاوية ($\omega$ ) خارجا من الصفحة باتجاه المحور الزيني الموجب ( z +)على امتداد محور  الدوران.

 (ب) عند دوران جسم حول المحور ( Z ) باتجاه حركة عقارب الساعة، يكون متجه ( $\omega$ )

داخلا في الصفحة باتجاه المحور الزيني السالب ( Z -)على امتداد محور الدروان. 

 (ب): الدوران باتجاه حركة عقارب الساعة 

سؤال: 

يد ور قرص حول محور  دوران ثابت بحيث يتغير الموقع الزاوي له من $\left({\mathrm{\theta }}_{\mathrm{i}} = 1\mathrm{rad}\right)$ إلى $\left({\mathrm{\theta }}_{\mathrm{f}}=5 \mathrm{rad}\right)$ خلال فترة زمنية            

 $\left(∆t=1\mathrm{s}\right)$. أحسب السرعة الزاوية المتوسطة للقرص، وأحدد اتجاه الدوران. 

الحل:  

  أحسب السرعة الزاوية من العلاقة : 

                                                $$\begin{gathered} \overline{\omega }\mathit{=}\frac{\mathit{∆}\theta }{\mathit{∆}t}\mathit{=}\mathit{ }\frac{{\theta }_{\mathrm{f}}\mathit{-}{\theta }_{\mathrm{i}}}{\mathit{∆}t}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\frac{5-1}{1}\mathit{=}\mathit{ }4 \mathrm{rad}/\mathrm{s}. \\ \mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ } \end{gathered}$$

بما أن إشارة $\left(∆\theta \right)$ وكذلك إشارة $\left(\omega \right)$، فيكون اتجاه الدوران عكس اتجاه حركة عقارب الساعة.  

سؤال:

  أحسب السرعة الزاوية لقرص يدور بسرعة ثابتة،  بحيث يكمل الدورة الكاملة في زمن قدره $\mathrm{(}\mathrm{6}\mathrm{ }\mathrm{s}\mathrm{)}$.                        

الحل: 

القرص يكمل دورة كل(6s). والدورة الواحدة تكافئ $\left(2\pi \right)$، وبتطبيق العلاقة : 

$\omega \mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\frac{\mathit{∆}\mathrm{\theta }}{\mathit{∆}t}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\frac{\mathit{2}\mathit{ }\pi }{\mathit{6}}\mathit{=}\frac{\pi }{\mathit{3}}\mathit{ }\mathrm{rad}/\mathrm{s}$

وبما أن $\left(\pi \approx 3.14 \right)$ فإن السرعة الزاوية تساوي: 

$\omega \mathit{=}\frac{3.14}{3}\mathit{=}1.05 \mathrm{rad}/\mathrm{s}$

التسارع الزاوي Angular Acceleration

عند تغير مقدار السرعة الزاوية لجسم من $\left({\omega }_{\mathrm{i}}\right)$إلى $\left({\omega }_{\mathrm{f}}\right)$خلال فترة زمنية $\left(∆t\right)$يكون له تسارع زاوي، ويعرف التسارع الزاوي

 المتوسط Average angular acceleration بأنه؛ نسبة التغير في مقدار السرعة الزاوية إلى الزمن اللازم لحدوث هذا التغير،

  رمزه$\left(\overline{\alpha }\right)$ ويقاس بوحدة $\left(\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2\right)$:

$\overline{\alpha }\mathit{=}\frac{\mathit{∆}\omega }{\mathit{∆}t}$

أما التسارع الزاوي لجسم عند لحظة زمنية معينة؛ فيسمى التسارع الزاوي اللحظي Instantaneous angular acceleration. 

وعند دوران جسم بتسارع زاوي ثابت؛ فإن تسارعه الزاوي المتوسط يساوي تسارعه الزاوي اللحظي. وسوف نستخدم 

مصطلح التسارع الزاوي للإشارة للتسارع الزاوي اللحظي. 

كيف أحدد هل يدور الجسم بتسارع أم تباطؤ؟

عندما يدور الجسم بتسارع يكون اتجاه التسارع الزاوي باتجاه السرعة الزاوية، فتكون إشارتا السرعة الزاوية والتسارع متماثلتين.

وعندما يدور الجسم بتباطؤ يكون اتجاه متجه التسارع الزاوي عكس اتجاه متجه السرعة الزاوية فتكون إشارتاهما مختلفتين.   

الدوران  بتسارع عكس              الدوران بتباطؤ عكس               الدوران بتسارع باتجاه             الدوران بتباطؤ باتجاه

حركة عقارب الساعة.                 حركة عقارب الساعة.               حركة عقارب الساعة.               حركة عقارب الساعة. 

سؤال:

 يبين الشكل المجاور قرص (CD)يدور حول محور ثابت يمر بالنقطة (O)وتشير الرموز 

(1)، (2)إلى جسيمين من الجسيمات المكونة للقرص. عند لحظة ما يتحرك الجسيم 

(1) بسرعة زاوية$\left(\omega \right)$وتسارع زاوي $\left(\alpha \right)$: 

(أ) هل يتحرك الجسيم (2) بنفس السرعة والتسارع الزاوي ؟

(ب) هل يقطع الجسيم (2) المسافة نفسها التي يقطعها الجسيم (1)؟ 

الحل:

(أ)  يتحرك الجسيمان (1)، (2)  بنفس السرعة الزاوية والتسارع الزاوي.

(ب)  يقطع الجسيم (2)مسافة أكبر من المسافة التي يقطعها الجسيم (1) لأنه  

أبعد عن محور الدوران كما ألاحظ في  الشكل المجاور . 

ماذا نستنتج ؟ 

1.عندما يدور جسم حول محور ثابت، فإن كل جسيم فيه يدور بالزاوية نفسها خلال فترة زمنية معينة، وبذلك فإن لأجزاء  

الجسم جميعها السرعة الزاوية نفسها والتسارع الزاوي نفسه .

2. الموقع الزاوي$\left(\mathrm{\theta }\right)$ والسرعة الزاوية $\left(\omega \right)$والتسارع الزاوي$\left(\alpha \right)$ تميز الحركة الدورانية للجسم بأكمله إضافة إلى الجسيمات

المفردة فيه.

2. الجسيم الأبعد عن محور الدوران يقطع  في كل دورة، مسافة أكبر  من المسافة التي يقطعها الجسيم الأقرب إلى محور 

 الدوران؛نتيجة اختلاف بعد كلمنهما عن المحور.

الربط مع الفلك 

كوكب الأرض جسم يتحرك حركة دورانية، ويكون لأجزائه جميعها الإزاحة الزاوية نفسها،    

 وبالتالي السرعة الزاوية نفسها، في حين يقطع كل جزء منها مسافات مختلفة في كل     

دورة نتيجة اختلاف بعد كل منها عن محور الدوران.

المثال (6) ( صفحة 54 في الكتاب)

 يتسارع الجزء الدوار في جهاز فصل مكونات الدم من السكون إلى $\left(3\times {10}^3 \mathrm{rad}/\mathrm{s}\right)$ خلال ( 30.0s)

 بتسارع زواي ثابت. أحسب مقدار ما يأتي:

     أ. التسارع الزاوي المتوسط 

    ب. السرعة الزاوية بعد مرور (20.0s) من بدء الدوران.

 المعطيات: 

${\mathrm{\omega }}_{\mathrm{i}} = 0, {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{f}} = 3 \times {10}^3 \mathrm{rad}/\mathrm{s} ,∆t=30.0 \mathrm{s}, t =20 \mathrm{s}$ 

المطلوب: 

$\overline{\alpha } =?, \omega =?$

 جهاز فصل مكونات الدم 

الحل: 

أ. أستخدم المعادلة الآتية لحساب التسارع الزاوي المتوسط: 

               $\overline{\alpha }\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\frac{\mathit{∆}\omega }{\mathit{∆}t}\mathit{=}\mathit{ }\frac{{\omega }_{\mathrm{f}}\mathit{ }\mathit{-}{\omega }_{\mathrm{i}}}{\mathit{∆}t}\mathit{=}\mathit{ }\frac{3\times {10}^3-0}{30}\mathit{=} 1.00 \times {10}^2 \mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2$

ب. أستخدم معادلة التسار ع الزاوي لحساب السرعة الزاوية : 

                             $$\begin{gathered} \overline{\alpha }=\frac{{\omega }_{\mathrm{f}}-{\omega }_{\mathrm{i}}}{∆t } \\ {\omega }_{\mathrm{f}}= {\omega }_{\mathrm{i}} +\overline{\alpha }∆t = 0+ 1\times {10}^2 \times 20=2\times {10}^3 \mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2 \end{gathered}$$

تمرين (صفحة 54 في الكتاب) 

يدور إطار سيارة بعكس اتجاه حركة عقارب الساعة؛ بسرعة زاوية ثابتة مقدارها $\left(2 rad/s\right)$ لمدة  زمنية مقدارها$\left(20 \mathrm{s}\right)$، ثم

يتسارع بعد ذلك بتسارع زاوي ثابت مقداره $\left(3.5 \mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2 \right)$ مدة زمنية مقدارها $\left(10.0 s\right)$. أحسب ما يأتي:

أ. الإزاحة الزاوية للإطار عند نهاية فترة حركته بسرعة زاوية ثابتة. 

ب. السرعة الزاوية للإطار عند نهاية فترة حركته بتسارع زاوي ثابت. 

المعطيات:  

$\mathrm{\omega }= 2 \mathrm{rad}/\mathrm{s}, ∆t_1= 20 \mathrm{s}, \mathrm{\alpha }=3.5 \mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2, ∆{\mathrm{t}}_2= 10 \mathrm{s}$

المطلوب: 

$∆\theta =?, \omega =?$  

الحل: 

أ. الأطار يدور عكس عقارب الساعة فتكون سرعته الزاوية موجبة، وكذلك إزاحته الزاوية وتحسب  من المعادلة: 

$\omega \mathit{=}\frac{∆\mathrm{\theta }}{∆t}\mathit{\Rightarrow }\mathit{ }∆\mathrm{\theta }\mathit{=}\omega \mathit{ }∆t\mathit{ }=2\times 20=40.0 \mathrm{rad}.\mathit{ }$

ب. السرعة الزاوية والتسارع الزاوي موجبان لذا تزداد سرعته الزاوية وتحسب من العلاقة: 

$$\begin{gathered} \alpha \mathit{=}\frac{{\omega }_{\mathrm{f}}\mathit{ }\mathit{-}\mathit{ }{\omega }_{\mathrm{i}}}{\mathit{∆}t}\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{\to }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }{\omega }_{\mathrm{f}}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }{\omega }_{\mathrm{i}}\mathit{ }\mathit{+}\alpha \mathit{ }\mathit{∆}t \\ \mathit{ }\mathit{ }{\omega }_f\mathit{ }= 2+ 3.5\times 10 = 37 \mathrm{rad}/\mathrm{s} \end{gathered}$$

سؤال:

  يدور قرص  حول محور  ثابت فتتغير سرعته من $\left(-30 \mathrm{rad}/\mathrm{s}\right)$ إلى $\left(-20 \mathrm{rad}/\mathrm{s}\right)$خلال فترة زمنية $\left(∆t=4 \mathrm{s}\right)$.

           أ. أحدد اتجاه الدوران

       ب. أحسب التسارع الزاوي للقرص. 

الحل: 

أ. بما أن إشارة  السرعة سالبة، فالقرص يدور مع اتجاه حركة عقارب الساعة. 

ب. لحساب التسارع الزاوي نستخدم العلاقة: 

$$\begin{gathered} \alpha \mathit{ }\mathit{=}\frac{\mathit{∆}\omega }{\mathit{∆}t}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\frac{{\omega }_{\mathrm{f}}\mathit{-}\mathit{ }{\omega }_{\mathrm{i}}}{\mathit{∆}t}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\frac{-20 -(-30) }{4}= \frac{10}{4} \\ \alpha \mathit{ }= 2.5 \mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2\mathit{ } \end{gathered}$$       

ألاحظ أن إشارة التسارع الزاوي (+)، بينما إشارة السرعة الزاوية (-). مما يدل على أن اتجاه التسارع عكس اتجاه السرعة،

لذا تتناقص السرعة (الحركة بتباطؤ) 

عزم القصور  الذاتي  والقانون الثاني لنيوتن في الحركة الدورانية

Moment of Inertia and Newton’s Second Law of Rotational Motion.  

عندما يتحرك جسم حركة دورانية فإن مقدار تسارعه الزاوي يتناسب طرديا مع مقدار  

 العزم المحصل المؤثر  فيه، أي أن: 

$\alpha \propto \sum \tau$

 وهذا يناظر القانون الثاني لنيوتن في الحركة الانتقالية:$a \propto \sum F$؛ حيث استخدمنا العزم 

المحصل مقابل القوة المحصلة، والتسارع الزاوي مقابل التسارع اللحظي. وتعلمت أن  

 القانون الثاني لنيوتن يكتب على الصورة الآتية: $\sum F = ma$ حيث تمثل كتلة الجسم $\left(m\right)$ 

قصوره الذاتي؛ أي ممانعة الجسم للتغير في حركته الانتقالية. والجدول المجاور يوضح  

 مقارنة بين مفاهيم الحركة الانتقالية والحركة الدورانية.  

فما الذي يقابل الكتلة في الحركة الدورانية؟

 عزم القصور الذاتي $\left(\mathrm{I}\right)$Moment of inertia في الحركة الانتقالية يقابل الكتلة في 

 الحركة الانتقالية ويعد عزم القصور الذاتي مقياسا لممانعة  الجسم لتغيير حالته الحركية

 الدورانية، تماما كما الكتلة مقياس لممانعة الجسم لتغيير  حالته الحركية  الانتقالية.  

وبذلك يعطى  القانون  الثاني لنيوتين في الحركة الدورانية  بالعلاقة الآتية:

$\mathit{\sum }\mathit{ }\mathit{\tau }\mathit{ }\mathit{=}\mathbf{ }\mathbf{I}\mathit{ }\mathit{\alpha }$

 ويحسب عزم القصور الذاتي لجسيم نقطي كتلته $\left(m\right)$، يبعد مسافة عمودية $\left(r\right)$ عن محور

الدوران، باستخدام العلاقة الآتية: 

 $\mathbf{I}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{ }{\mathit{r}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }$

ويقاس عزم القصور الذاتي  بوحدة $\left(kg.{\mathrm{m}}^2\right)$ حسب النظام الدولي للوحدات.

ويبين الجدول الآتي عزم القصور الذاتي لأجسام مختلفة. 

مفاهيم الحركة الانتقالية وما يقابها في الحركة الدورانية. 

جسيم كتلته $\left(m\right)$يدور  على بعد $\left(r\right)$ حول محور دوران ثابت يمر بالنقطة $\left(\mathrm{o}\right)$. 

بالاستعانة  بالجدول المبين أعلاه نستنتج أن: 

•  عزم القصور الذاتي لجسم  يعتمد على كيفية توزيع كتلته حول محور دورانه.

 يكون عزم القصور الذاتي للإسطوانة (أ) أكبر منه للإسطوانة (ب)، رغم أن لهما الكتلة

  نفسها. وذلك لأن قطر الإسطوانة (أ) أكبر من قطر الإسطوانة (ب). وهذا يعني أن

 تحريك الإسطوانة ذات القطر الأكبر حركة دورانية، أو إيقافها، أو تغيير  حالتها الحركية

 الدورانية يكون أصعب منه للإسطوانة ذات القطر الأقل.

تغيير الحالة الحركية للاسطوانة (أ) أصعب  

من تغيير الحالة الحركية للاسطوانة (ب).  

• كلما توزعت كتلة الجسم بعيدا عن محور دورانه ؛ فإن عزم القصور الذاتي له يكون أكبر.

  عزم القصور الذاتي لحلقة رقيقة  أو اسطوانة مجوفة نصف قطرها$\left(r\right)$ وكتلتها $\left(m\right)$

  يساوي $\left(m r^2\right)$. أما عزم القصور الذاتي لاسطوانة مصمتة نصف قطرها$\left(r\right)$ وكتلتها$\left(m\right)$ 

 موزعة بانتظام  على حجمها فيساوي $\left(\frac{1}{2} m r^2\right)$.  

عزم القصور الذاتي للحلقة الرقيقة أكبر

من عزم القصور للاسطوانة المصمتة. 
      

• يعتمد عزم القصور الذاتي لجسم على موقع محور الدوران.

عزم القصور الذاتي لقضيب طوله $\left(l\right)$ وكتلته $\left(m\right)$ يدور حول محور عمودي على القضيب 

يمر في منتصفه  يساوي $\left(\frac{1}{12}m l^2 \right)$. أما عزم القصور الذاتي للقضيب عندما يكون محور

الدوران عموديا  على القضيب ويمر في طرفه فيساوي  $\left(\frac{1}{3} m l^2\right)$. هذا يعني أنه يلزم

عزم أقل لتدوير القضيب حول محور يمر في منتصفه مقارنه مع الحالة عندما يكون

المحور عند الطرف.  

يلزم عزم أقل لتدوير  القضيب حول محور 

يمر في منتصفه مقارنة مع الحالة عندما 

يكون المحور عند الطرف. 

القرص والحلقة متساويان في الكتة ونصف القطر، إلا

أن عزم القصور الذاتي للحلقة أكبر من عزم القصور

للقرص.

المثال (7) (صفحة 57)  في الكتاب

كرة كتلتها $\left(3.0\mathrm{k}g\right)$مثبتة في نهاية قضيب فلزي طوله $\left(0.80\mathrm{m}\right)$وكتلته مهملة، تؤثر في الكرة قوة 

 مماسية ثابتة $\left(F\right)$ فتدور في مستوى أفقي حول محور ثابت عمودي على مستوى الصفحة كما هو 

موضح في الشكل المجاور. إذا بدأت الكرة حركتها من السكون بتسارع زاوي ثابت؛ بحيث أصبح مقدار  

مقدار سرعتها الزاوية $\left(8\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\right)$خلال$\left(5 \mathrm{s}\right)$، فاحسب:

أ. التسارع الزاوي للكرة.      ب. العزم المحصل المؤثر في الكرة.     ج. القوة المماسية المؤثرة في الكرة

المعطيات: 

$m=3.0 \mathrm{k}g, r= 0.80 \mathrm{m}, {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{i}}=0,{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{f}}=8\mathrm{\pi rad}/\mathrm{s}, ∆t=5 \mathrm{s}$      

المطلوب:

 $\alpha =?, \sum \tau =?, F=?$       

الحل:

  أ. الكرة تدور عكس حركة عقارب الساعة فتكون سرعتها الزاوية موجبة، و لحساب التسارع الزاوي

  نستخدم العلاقة الآتية: 

$\alpha = \frac{∆\omega }{∆t} = \frac{{\omega }_f - {\omega }_i}{∆t} = \frac{8\pi -0}{5}=\frac{8\times 3.14}{5}\approx 5 rad/s^2$       

ب. لحساب العزم المحصل، نحسب أولا عزم القصور الذاتي باستخدام العلاقة : 

$\mathrm{I} =m r^2 = 3\times {\left(0.8\right)}^{2 }= 1.9 \mathrm{k}g .{\mathrm{m}}^2$     

ثم أحسب العزم المحصل باستخدام العلاقة : 

$\sum \tau = \mathrm{I} \alpha = 1.9\times 5=9.5 \mathrm{N}.\mathrm{m}$ 

ج. لحساب القوة المماسية المؤثرة في الكرة أستخدم علاقة العزم: 

$\tau = F r \sin \mathrm{\theta } \Rightarrow F =\frac{\tau }{r \sin 90}= \frac{9.5}{0.8}= 11.875\approx 12 \mathrm{N}$ 

كرة تدور قي مستوى افقي حول محور  يمر بالنقطة (O).

تمرين ( صفحة 57 في الكتاب) 

لعبة القرص الدوار  الموضحة في الشكل ؛ تتكون من قرص مصمت قابل للدوران حول محور ثابت يمر  في

مركزه باتجاه محور $\left( y\right)$. أثر شخص بقوة مماسية $\left(F\right)$ثابتة في المقدار، عند حافة القرص الدوار  مقدارها $\left(250 \mathrm{N}\right)$

إذا علمت أن كتلة القرص الدوار $\left(50 \mathrm{kg}\right)$ونصف قطره $\left(2.0 \mathrm{m}\right)$، وبإهمال قوى الاحتكاك وافتراض قرص اللعبة

منتظم توزيع الكتلة، وبدأت اللعبة الدوران من السكون بتسارع زاوي ثابت بعكس اتجاه حركة عقارب الساعة،

فاحسب مقدار ما يأتي:

أ. العزم المحصل المؤثر في اللعبة.

ب. التسارع الزاوي للعبة.

ج. السرعة الزاوية للعبة بعد $\left(2.0 \mathrm{s}\right)$ من بدء دورانها.

د. التسارع الزاوي للعبة عندما يجلس طفل كتلته $\left(20\mathrm{kg} \right)$

على بعد$\left(1.5 \mathrm{m}\right)$من محور الدوران، بافتراض الطفل نقطة مادية.  

المعطيات: 

$F=250\mathrm{N}, m_{disc}=50 \mathrm{kg}, r= 2.0 \mathrm{m} , t=2.0 \mathrm{s}, {\mathrm{m}}_{\mathrm{child}}=20.0\mathrm{kg}$ 

المطلوب 

الحل: 

أ. اللعبة تدور  عكس عقارب الساعة بتأثير القوة ($F$) فيكون عزمها هو نفسه العزم المحصل، وإشارته موجبة  ويحسب باستخدام العلاقة:

 $\tau =F r \mathrm{sin\theta } = 250 \times 2\times \sin {90}^{0 }=250\times 2\times 1= 500 \mathrm{N}.\mathrm{m}$

ب. لحساب التسارع الزاوي  نحسب أولا عزم القصور الذاتي للقرص، بالرجوع إلى الجدول و استخدام العلاقة:  

$I=\frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2}\times 50\times {\left(2\right)}^2 = 100 \mathrm{k}g.{\mathrm{m}}^2$

ثم نحسب  التسارع الزاوي باستخدام العلاقة : 

 $\sum \tau =\mathrm{I} \alpha \Rightarrow \alpha = \frac{\sum \tau }{\mathrm{I}}=\frac{500}{100}= 5 \mathrm{rad}/\mathrm{s}$

ج. لحساب السرعة الزاوية نستخدم العلاقة : 

$$\begin{gathered} \alpha =\frac{{\omega }_{\mathrm{f}}-{\omega }_{\mathrm{i}}}{∆t} \\ {\omega }_{\mathrm{f}}={\omega }_{\mathrm{i}} +\alpha ∆t = 0 +5\times 2=10 \mathrm{rad}/\mathrm{s} \end{gathered}$$

د. عند جلوس  الطفل يتغير عزم القصور  الذاتي للنظام، ويصبح مساويا لمجموع عزم القصور للطفل والقر ص.

وباعتبار الطفل نقطة مادية فإن عزم القصور للنظام يساوي:

  $$\begin{gathered} \mathrm{I}={\mathrm{I}}_{\mathrm{disc} }+ {\mathrm{I}}_{\mathrm{child} }=100 + m r^2 = 100+20 \times {\left(1.5\right)}^2 \\ \mathrm{I}=100+ 45= 145 \mathrm{k}g.{\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$

 ثم نحسب التسارع الزاوي باستخدام العلاقة:

$\sum \tau =\mathrm{I}\mathit{ }\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{\sum \tau }{\mathrm{I}} = \frac{500}{145}= 3.4 \mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2$

سؤال :

 نظام يتألف من كرتين متماثلتين مهملتي الأبعاد، كتلتةكل منهما $\left(m=2\mathrm{kg}\right)$مثبتتين على 

 طرفي قضيب فلزي رفيع كتلته مهملة، وطوله $\left(L=60\mathrm{cm}\right)$، كما يبين الشكل المجاور.

 أحسب عزم القصور الذاتي للنظام حول محور يمر بمنتصف القضيب الفلزي.

الحل:

 عزم القصور الذاتي للكرة يحسب من العلاقة $\left(\mathrm{I}= m r^2\right)$،  حيث $\left(r=30\mathrm{cm}\right)$ بعد الكرة عن محور الدوران . 

وبما أن النظام يتألف من كرتين، فإن عزم القصور الذاتي للنظام يساوي ناتج جمع  عزم القصور الذاتي للكرتين حول المحور نفسه: 

$$\begin{gathered} I= m r^2 +m r^2 = 2 m r^2 = 2 \times 2 \times {\left( 30\times {10}^{-2}\right)}^2 \\ I= 4\times 900\times {10}^{-4} =0.36 \mathrm{kg}.{\mathrm{m}}^2 \end{gathered}$$