تناولنا في الدرس السابق مفهوم كثيرات الحدود وإجراء عمليات الجمع والطرح والضرب عليها وحل بعض المسائل الحياتية عليها .
وفي هذا الدرس سنجري العملية الرابعة على كثيرات الحدود وهي القسمة ونتعرف على الإقترانات النسبية مع تحديد مجالها ومداها وتمثيلها بيانيا .
- قسمة كثيرات الحدود
إن قسمة كثير حدود على آخر تشبه كثيرا عملية قسمة عدد كلي على آخر؛ إذ تتبع الخطوات نفسها في كلتا الحالتين . يمكن قسمة كثير الحدود f(x) على كثير الحدود h(x) ≠0 إذا كانت درجة f(x) أكبر أو تساوي درجة h(x). لقسمة كثير حدود على آخر ، أكتب المقسوم و المقسوم عليه بالصورة القياسية . و إذا كانت إحدى قوى المتغير في المقسوم مفقودة ، فإني أضيفها في موقعها ، وأكتب معاملها 0، ثم أنفذ خطوات القسمة كما في المثال الآتي
مثال 1
أجد ناتج قسمة f(x) = x2 +3x -12 على g(x) = x -2
للتحقق من صحة الحل نقوم بضرب الناتج ( x+5) بالمسقوم عليه ( x -2) ثم إضافة -2 أي
( x -2) . ( x +5) = x2 + 5x -2x -10 = x2 + 3x -10
المقسوم = x2 - 3x -10 + ( -2)
x2 -3x -12
نتيجة :
عند قسمة كثير حدود على كثير حدود تكون درجة ناتج القسمة مساوية للفرق بين درجتي المقسوم والمقسوم عليه
تذكر:
قواعد الأسس في حالة القسمة أنها تطرح
- الاقترانات النسبية
هي اقترانات يمكن كتابتها بصورة نسبية بين كثيري حدود مثل شرط أن h(x) ≠ 0
أمثلة :
,
- مجال الاقتران النسبي
هو مجموعة الأعداد الحقيقة بإستثناء أصفار المقام ( الأعداد التي تجعل المقام يساوي صفر )
مثال
أجد مجال كل اقتران نسبي مما يلي
1.
لإيجاد المجال نحدد أصفار المقام
x2 -16 = 0
x = -4 , x =4
إذا المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا ، يمكن كتابتها بالصورة
2.
لإيجاد المجال نحدد أصفار المقام
x3 - 4x2 +4x = 0
x( x2 -4x +4) =
x = 0 , x =2
أو على الصورة x = 0, x= 2 إذا المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا
- تمثيل الاقترانات النسبية بيانيا
*معظم الاقترانات النسبية منحنياتها غير متصلة ، بمعنى أنها تحتوي قفزات أو انقطاعات أو ثقوب و يحدث ذلك عند أصفار المقام .
* أحد المواقع التي لا يكون عندها المنحنى متصلا هو خط تقارب و هو مستقيم يقترب منه منحنى الاقتران كلما ازدادت القيمة المطلقة لأحد المتغيرين x أو y
في الشكل أعلاه كل من المحور x و المحور y هو خط تقارب لمنحنى الاقتران ونلاحظ أن منحنى الاقتران يقترب كثيرا من خطي التقارب لكن لا يلمسهما .
بالنظر لمنحنى الاقتران في الشكل أدناه نلاحظ وجود خط تقارب رأسي عند صفر المقام x=3 وخط تقارب أفقي عند y = 2
فيقودنا هذا الى القاعدة المدرجة تحت الرسم البياني لتحديد خطوط التقارب الرأسية و الأفقية
القاعدة
خط التقارب الرأسي يكون للاقتران النسبي الذي على صورة خط تقارب رأسي عند x = b ( صفر المقام ) ،
خط التقارب الأفقي يكون للاقتران النسبي الذي على صورة خط تقارب أفقي هو المستقيم y = c
مثال :
أجد خط التقارب للاقتران
خط التقارب الرأسي هو x = -2 وخط التقارب الافقي هو y = -3
- لتمثيل الاقترانات النسبية بيانيا تبع الخطوات الآتية
1) نجد خطوط التقارب و نرسمهم .
2) نكون جدول قيم باختيار قيم x على يمين ويسار خط التقارب الرأسي
3) نعين النقاط في المستوى الإحداثي
مثال :
مثل الاقتران الآتي بيانيا
وحدد مجاله و مداه
الحل :
1) خط التقارب الرأسي هو x = 3 و خط التقارب الأفقي هو y = 2
2 )
X |
-1 |
0 |
1 |
2 |
2.5 |
3.5 |
4 |
5 |
6 |
7 |
F(x) |
0.75 |
0.33 |
-0.5 |
-3 |
-8 |
12 |
7 |
4.5 |
3.67 |
3.25 |
3) نرسم خطي التقارب ثم نعين النقاط من الجدول أعلاه
المجال هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا x = 3
المدى هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا y =2
مفهوم
إذا كان حيث h(x) ≠ 0 وكان x - c عاملا مشتركا لكل من البسط والمقام فإن منحنى f(x) يحتوي فجوى عند x= c
مثال
أمثل الاقتران بيانيا
الحل
نحلل البسط لاختصار العوامل المشتركة بين البسط والمقام
إذا التمثيل البياني للاقتران هو ذاته التمثيل البياني للاقتران f(x) = x+2 مع وجود فجوى عند x= -1