رياضيات فصل أول

قوانين اللوغاريتمات

تعلمنا سابقا بعض قوانين  الأسس التي استخدمناها في تبسيط مقادير أسية ، وإيجاد قيمة مقادير عددية ومن هذه القوانين

1) قانون ضرب القوى

2)  قانون قسمة القوى

3) قانون قوة القوة

إذا كانت b,x,y أعدادا حقيقية موجبة، وكان p عددا حقيقيا، حيث $b\ne 1$ فإن: قانون الضرب:         $lo{g}_b xy=lo{g}_{b }x+lo{g}_b y$ قانون القسمة:        ${\log }_b \frac{x}{y}={\log }_b x-{\log }_b y$ قانون القوة:            ${\log }_b x^p=p {\log }_b x$

وبما أنه توجد علاقة عكسية بين اللوغاريتمات والأسس فيمكننا التوصل إلى بعض القوانين الخاصة باللوغاريتمات

ملاحظة: يمكننا إثبات صحة القوانين السابقة باستعمال قوانين الأسس كالآتي 

إثبات قانون الطرح

أفرض أن $m={\log }_b\left(x\right)$ ، ومنه $b^m=x$

أفرض أن $n={\log }_b\left(y\right)$ ، ومنه $b^n=y$

ومنه $\frac{x}{y}= \frac{b^m}{b^n}= b^{m-n}$

وعند كتابة التعبير السابق بالصورة اللوغاريتمية فإن الناتج:

$$\begin{gathered} {\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)=m-n \\ {\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)= {\log }_b\left(x\right)- {\log }_b\left(y\right) \end{gathered}$$

يمكننا إثبات باقي القوانين بنفس الطريقة 

مثال:

إذا كان ${\log }_a\left(2.5\right)\approx 0.422$ ، وكان ${\log }_a\left(4\right)\approx 0.602$ فأجد كل مما يأتي:

$1) {\log }_a\left(10\right)$

$$\begin{gathered} lo{g}_a (4\times 2.5) \\ =lo{g}_a 4+lo{g}_a 2.5 \\ \approx 0.602+0.422 \\ \approx 1.024 \end{gathered}$$

$2) {\log }_a\left(\frac{4}{2.5}\right)$

$$\begin{gathered} lo{g}_a 4-lo{g}_a 2.5 \\ \approx 0.602-0.422 \\ \approx 0.18 \end{gathered}$$

$3){\log }_a\left(64\right)$

$$\begin{gathered} lo{g}_a {\left(4\right)}^3=3 lo{g}_a 4 \\ \approx 3\times 0.602 \\ \approx 1.806 \end{gathered}$$

$4) {\log }_a\left(\frac{1}{6.25}\right)$

$$\begin{gathered} lo{g}_a {(2.5)}^{-2}=-2\times lo{g}_a 2.5 \\ \approx -2\times 0.422 \\ \approx -0.844 \end{gathered}$$

كتابة اللوغايتمات بالصورة المطولة:

ويتم ذلك باستخدام  قوانين اللوغاريتمات

مثال: 

أكتب كل عبارة لوغاريتمية مما يأتي بالصورة المطولة ، علماً بأن المتغيرات جميعها تمثل أعداداً حقيقية موجبة: 

$1) {\log }_5\left(3x^2{y}^3\right)$

$$\begin{gathered} =lo{g}_5 3+lo{g}_5 x^2+lo{g}_5 y^3 \\ =lo{g}_5 3+2 lo{g}_5 x+3 lo{g}_5 y \end{gathered}$$

$2) \ln \left(\frac{\sqrt[3]{2x-1}}{4}\right)$

$$\begin{gathered} =ln \sqrt[3]{2x-1}-ln 4 \\ \frac{1}{3} ln( 2x-1)-ln 4 \end{gathered}$$

$3) {\log }_b\left(\frac{x^3\sqrt{y}}{z^2}\right)$

$$\begin{gathered} lo{g}_b x^3+lo{g}_b \sqrt{y}-lo{g}_b z^2 \\ 3 lo{g}_b x+\frac{1}{2} lo{g}_b y-2 lo{g}_b z \end{gathered}$$

$4) {\log }_a\left(\sqrt{\frac{a^3{b}^5}{c^7}}\right)$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{2} lo{g}_a \frac{a^3{b}^5}{c^7} \\ =\frac{1}{2} (lo{g}_a a^3+lo{g}_a b^5-lo{g}_a c^7) \\ =\frac{1}{2} (3+5 lo{g}_a b-7 lo{g}_a c) \end{gathered}$$

كتابة اللوغاريتمات بالصورة المختصرة: 

ويتم ذلك عند كتابة العبارة اللوغاريتمية على شكل لوغاريتم واحد.

مثال:

أكتب كل عبارة لوغاريتمية مما يأتي بالصورة المختصرة علما بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادا حقيقية:

$1) \frac{1}{2} \ln 4- \ln \hspace{0.17em}(3^3+1)$

$$\begin{gathered} =ln \frac{\sqrt{4}}{3^3+1} \\ =ln \frac{2}{28} \\ =ln \frac{1}{14}=-ln 14 \end{gathered}$$

$2) \ln x^3-3 \ln xy$

$$\begin{gathered} =ln \frac{x^3}{x^3{y}^3} \\ =ln \frac{1}{y^3}=-ln y^3 \end{gathered}$$

$3) 4 \log x - \frac{1}{3} \log y+2 \log z$

$=log\frac{ x^4}{\sqrt[3]{y}}\times z^2$

$4) \log \left(x^3+y^3\right)-\log \left(x+y\right) , x>y$

$$\begin{gathered} =log \frac{x^3+y^3}{x+y}=log \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x+y)} \\ =log (x^2-xy+y^2) \end{gathered}$$

تغيير الأساس:

نستطيع استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد اللوغاريتمات الاعتيادية والطبيعية فقط ولكن بعض اللوغاريتمات ليست اعتيادية ولا طبيعية (أساس اللوغاريتم ليس 10 ولا العدد النيبري e) ولتفادي هذه المشكلة نقوم بتغيير الأساس غير المرغوب فيه ثم إيجاد اللوغاريتم المطلوب.

إذا كانت a,b,x أعدادا حقيقية موجبة، حيث $a\ne 1$, $b\ne 1$ فإن: ${\log }_b x=\frac{{\log }_a x}{{\log }_a b}$

مثال:

أجد قيمة كل مما يأتي مقربا إجابتي إلى أقرب جزء من مئة إن لزم الأمر:

$1) {\log }_7 13$

$=\frac{log 13}{log 7}\approx 1.32$

$2) {\log }_{\frac{1}{4}} 4$

$\frac{log 4}{log {\displaystyle \frac{1}{4}}}=\frac{log 4}{-log 4}=-1$

$3) {\log }_3 10$

$\frac{log 10}{log 3}=\frac{1}{log 3}=2.1$

المعادلات الأسية:

هي المعادلات التي تتضمن قوى أسسها متغيرات وتحل عند كتابة طرفي المعادلة بصورة قوة للأساس نفسه ثم المقارنة بين أسي الطرفين.

إذا كان $b>1$ حيث $b\ne 1,x>0,y>0$ فإن: $x=y \mathrm{إذا} \mathrm{وفقط} \mathrm{إذا} {\log }_b x={\log }_b y$

ملاحظة: في بعض المعادلات الأسية لا يمكن كتابة طرفي المعادلة بصورة قوة للأساس نفسه وفي هذه الحالة يمكن استعمال خاصية المساواة اللوغاريتمية.

 

مثال:

أحل المعادلة الأسية الآتية مقربا إجابتي إلى أقرب أربع منازل:

$1) 2^x=30$

$$\begin{gathered} log 2^x=log 30 \\ x log 2=log 30 \\ x=\frac{log 30}{log 2} \\ x\approx 4.9069 \end{gathered}$$

$2) 10e^{0.04T}=150$

$$\begin{gathered} e^{0.04T}=15 \\ ln e^{0.04T}=ln 15 \\ 0.04T=ln 15 \\ T=\frac{ln 15}{0.04} \\ T\approx 67.7013 \end{gathered}$$

$3) 3^{x-1}=4^{-x}$

$$\begin{gathered} log 3^{x-1}=log 4^{-x} \\ (x-1) log 3=-x log 4 \\ x log 3-log 3=-x log 4 \\ x log 3+x log 4=log 3 \\ x(log 3+log 4)=log 3 \\ x=\frac{log 3}{log 3 +log 4} \\ x\approx 0.4421 \end{gathered}$$

$4) 9^x+3^x-6=0$

$$\begin{gathered} {\left(3^x\right)}^2+3^x-6=0 \\ u=3^x \mathrm{أن} \mathrm{نفرض} \\ {u}^2+u-6=0 \\ \left(u+3\right)\left(u-2\right)=0 \\ u=-3 or u=2 \\ {3}^x=-3 or 3^x=2 \end{gathered}$$

$3^x$ دائما موجبة لأي قيمة  x لذلك لا يمكن حل المعادلة $3^x=-3$ فقط نستطيع حل المعادلة $3^x=2$.

$$\begin{gathered} log 3^x=log 2 \\ x log 3=log 2 \\ x=\frac{log 2}{log 3} \\ x\approx 0.6309 \end{gathered}$$

المعادلات اللوغاريتمية:

وهي معادلات تحوي متغيرا داخل تعبير لوغاريتمي ويمكن حلها جبريا عند كتابتها بدلالة لوغاريتم واحد في أحد طرفي المعادلة ثم نستعمل خاصية المساواة اللوغاريتمية

مثال:

أحل المعادلات اللوغاريتمية الآتية:

$1) {\log }_5 x=4$

$$\begin{gathered} x=5^4 \\ x=625 \end{gathered}$$

$2) \log \left(x-4\right)+\log \left(x-1\right)=1$

$$\begin{gathered} log (x-4)(x-1)=1 \\ (x-4)(x-1)={10}^1 \\ {x}^2-5x+4=10 \\ {x}^2-5x-6=0 \\ (x-6)(x+1)=0 \\ x=6 or x=-1 \end{gathered}$$

ملاحظة: العدد x=-1 ليس حلا للمعادلة اللوغاريتمية لأن ناتج تعويضه داخل اللوغاريتم عدد سالب إذا حل المعادلة هو x=6