رياضيات فصل أول

الحادي عشر خطة جديدة

icon

نتاجات الدرس:
- اشتقاق اقتران القوة .
- إيجاد معادلة المماس ومعادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران عند نقطة ما.

التعريف العام للمشتقة: وهي طريقة يتم من خلالها إيجاد مشتقة اقتران عند أي نقطة.
مشتقة الاقتران f بالنسبة الى المتغير x هي f'  الذي قيمته عند x هي: 
f'(x)=limh0f(x+h)-f(x)h

وبشرط وجود النهاية .


مثال (1): جد مشتقة الاقتران f(x)=4x2+1 باستعمال التعريف العام للمشتقة عندما x=-1

f'(x)=limh0f(x+h)-f(x)h

f'(-1)=limh0f(-1+h)-f(-1)h=f'(x)=limh04(h-1)2+1-5h

f'(x)=limh02h2-8h+4-4h=limh0(4h-8)=-8

مثال (2): جد مشتقة الاقتران y=8-x2 باستعمال التعريف العام للمشتقة عندما

dydx=limh0f(x+h)-f(x)h

=limh08-(x+h)2-8+x2h

=limh08-x2-2xh-h2-8+x2h

=limh0-2xh-h2h=limh0h(-2x-h)h=limh0(-2x-h)=-2x

dydx=-2x

تدريب: جد مشتقة الاقتران f(x)=x2+x باستعمال التعريف العام للمشتقة ، عندما x=2

تدريب: جد مشتقة الاقتران f(x)=12x2-1 باستعمال التعريف العام للمشتقة


مشتقة اقترانات القوّة: 

يسمى الاقتران f(x)=xn حيث n عدد حقيقي ، اقتران قوّة 

ومن الأمثلة على ذلك: f(x)=2x8  ,  g(x)=2x4  

- إن إيجاد المشتقة باستعمال التعريف العام للمشتقة ليس سهلاً في كثير من الاحيان ، ولكن توجد قواعد تسهل عملية إيجاد المشتقة ومنها : مشتقة اقتران القوّة .

إذا كان: y=xn حيث n عدد حقيقي ، فإنّ: dydx=nxn-1


- مثال (3): جد مشتقة كل اقتران مما يأتي : 

1) y=x-11                2) y=1x5                   3) y=x5 3

الإجابة:

1) dydx=-11x-12=-11x12 

2) dydx=-5x-6=-5x6

3) y=x5 3  y=x53

dydx=53x23=53x23


- تدريب: جد مشتقة كل اقتران مما يأتي : 

1) y=3x3                    2) y=10x5                  3) y=2x6 


- توجد أيضاً بعض القواعد التي تسهل إيجاد مشتقة الاقترانات التي بعض حدودها اقترانات قوّة .

مشتقة الثابت :
 اذا كان y=c عدد حقيقي ، فإن dydx=0 ، أي إن مشتقة الثابت تساوي صفراً .
مشتقة مضاعفات القوة :
 اذا كان y=axn ، حيث a,n عددان حقيقيان ، فإن dydx=anxn-1
مشتقة المجموع ومشتقة الفرق :
 اذا كان y=u(x)±v(x)  ، حيث u و v اقترانا قوة ، فإن dydx=dudx±dvdx


- مثال (4): جد مشتقة كل اقتران مما يأتي :

1) y=x+4x2           2) y=x5-8x64x

الإجابة:

1) y=x12+4x-2

dydx=12x-12-8x-3=12x-8x3

2) y=14x4-2x5

dydx=x3-10x4


- تدريب: جد مشتقة كل اقتران مما يأتي :

1)  y=10x-6x                   2) y=1+xx


معادلة المماس ومعادلة العمودي على المماس عند نقطة:
أن مماس منحنى الاقتران عند نقطة ما هو مستقيم يمس منحنى الاقتران عند هذه النقطة كما في الشكل الآتي ، حيث يمثل المستقيم L مماساً لمنحنى الاقتران f(x) عند النقطة P.

وتذكر أيضاً: أنّ المشتقة عند نقطة واقعة على منحناه هي ميل المماس عند هذه النقطة . أي ان: f'(x)=m
ويمكن استعمال المشتقة لإيجاد معادلة مماس منحنى الاقتران عند النقطة نفسها .

 

معادلة مماس منحنى الاقتران : 
إذا كان f(x) اقتراناً ، فإن معادلة مماس منحنى f(x) عند نقطة التماس (a,f(a)) هي : 

y-f(a)=f'(a)(x-a)

 

معادلة العمودي على المماس : 
إذا كان f(x) اقتراناً ، وكان : f'(a)≠0 ، فإن معادلة العمودي على المماس لمنحنى f(x) عند نقطة التماس (a,f(a)) هي : 

y-f(a)=-1f'(a)(x-a)

 

- نقطة التماس هو مستقيم يصنع زاوية قائمة مع مماس منحنى الاقتران عند هذه النقطة ، ويمكن استعمال ميل المماس لإيجاد ميل العمودي على المماس ومعادلته.

مثال (5): اذا كان الاقتران y=8x-1x ، فأستعمل المشتقة لإيجاد معادلة المماس ومعادلة العمودي على المماس عن النقطة (0.25,-2) .

الإجابة:

y=8x-1x   ,   (0.25,-2) 

dydx=8+1x2

m=dydx|x=0.25=8+1(0.25)2=24

y-y1=m(x-x1)

y+2=24(x-0.25)

y+2=24x-6

y=24x-8  المماس معادلة 

- ميل العمودي على المماس: -124

y-y1=-1m(x-x1)

y+2=-124(x-0.24)

y+2=-124x+196y=-124x-9196


• إيجاد نقطة التماس إذا عُلم ميل المماس: 
وسنتعلم ذلك من خلال الامثلة الآتية 

 

مثال (6) : جد أحداثيي النقطة الواقعة على منحنى الاقتران:  f(x)=1-x ، التي يكون عندها ميل المماس -14

الإجابة:

f(x)=1-x

- نجد الاحداثي  xلنقطة التماس .

f(x)=1-x12

f'(x)=-12x-12-12x=-14-4=-2x2x=4  x=4

- نجد الاحداثي y لنقطة التماس .f(4)=1-4=-1

- اذن احداثي نقطة التماس هو: (4,-1) 


تذكر إن : ميل المماس الأفقي يساوي صفراً ، 

إذن: m=f'(x)=0

مثال (7) : جد إحداثيي النقطة (النقاط) الواقعة على منحنى الاقتران: f(x)=-x3+3x2-2 التي يكون عندها المماس أفقياً .
الاجابة: 

f'(x)=-2x2+6x=0-2x(x-3)=0x=0,x=3

f(0)=-2f(3)=-27+27-2=-2

- اذن احداثي نقطة التماس  التي يكون عندهما المماس افقياً هو: (0,-2)،(3,-2)

 

تدريب: اذا كان الاقتران y=x2-x فأستعمل المشتقة لإيجاد كل مما يأتي :
1) معادلة المماس عندما x=4
2) معادلة العمودي على المماس عندما x=4

 


تدريب : جد احداثيي النقطة او النقاط الواقعة على منحنى الاقتران: f(x)=x3-4x2-4 التي يكون عندها المماس أفقياً .