الرياضيات فصل أول

الدرس الرابع: مشتقتا اقتران الجيب واقتران جيب التمام

 

سنتعرف في درس مشتقة اقتران الجيب ومشتقة اقتران جيب التمام إلى:

• مشتقة اقتران الجيب
• مشتقة اقتران جيب التمام

 

 

تعلمت سابقًا  أنه في المثلث القائم الزاوية

1.    جيب الزاوية $\theta$ = $\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}$ $\Leftarrow$       $\sin \theta =\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}$
2. جيب تمام الزاوية $\theta$= $\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}$$\Leftarrow$       $\cos \theta =\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}$   

مشتقة اقتران الجيب، ومشتقة اقتران جيب التمام

نظرية

• إذا كان: $f\left(x\right)=\sin x$، فإن: $f\text{'}\left(x\right)=\cos x$.
• إذا كان: $f\left(x\right)=\cos x$، فإن: $f\text{'}\left(x\right)=-\sin x$.

أي إن:

المشتقة	الاقتران
$x \cos = \left(x\right) \text{'} f$	$x \sin = \left(x\right)f$
$x \sin - = \left(x\right) \text{'} f$	$x \cos = \left(x\right)f$

 

مثال 1: إذا كان: $f\left(x\right)=5 \sin x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=5 sin x$
اشتق الاقتران باستعمال قاعدتا مشتقة المضاعفات ومشتقة اقتران الجيب	$f\text{'}\left(x\right)=5 cos x$

 

مثال 2: إذا كان: $f\left(x\right)=2x^3-\sin x+5$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2x^3-sin x+5$
اشتق الاقتران باستعمال القواعد مشتقة القوة ومشتقة الجيب ومشتقة الثابت ومشتقة الفرق والمجموع	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=6x^2-cos x+0 \\ =6x^2-\cos x \end{gathered}$$

مثال 3: إذا كان: $f\left(x\right)=2x-\frac{\cos x}{3}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2x-\frac{cos x}{3}$
أشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المضاعفات ومشتقة جيب التمام	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2-\frac{-sin x}{3} \\ =2+\frac{\sin x}{3} \end{gathered}$$

 

مثال 4: إذا كان$f\left(x\right)=x^2+2 \sin x-\cos x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^2+2 sin x-cos x$
اشتق الاقتران باستعمال قواعد مشتقة القوة ومشتقة المجموع والفرق ومشتقة المضاعفات ومشتقة الجيب ومشتقة جيب التمام	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2x+2 cos x-\left(-sin x\right) \\ =2x+2 \cos x+\sin x \end{gathered}$$

 

أتحقق من فهمي

1. إذا كان: $f\left(x\right)=7 \sin x$،    أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                             الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=7 \cos x$.
2. إذا كان:  $f\left(x\right)=2 \sin x+x-1$،   أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                 الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=2 \cos x+1$
3. إذا كان:  $f\left(x\right)=4 \cos x$،    أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                            الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=-4 \sin x$
4. إذا كان:  $f\left(x\right)=\sin x-\frac{\cos x}{2}$.   أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                  الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=\cos x+\frac{\sin x}{2}$

 

مشتقتا الضرب والقسمة المُتضمنتان اقتراني الجيب وجيب التمام

تعلمت سابقًا إيجاد مشتقة الضرب والقسمة لاقترانين قابلين للاشتقاق ، وسوف نستعمل  نفس قوانين مشتقة الضرب والقسمة في إيجاد مشتقة ضرب اقترانين أو قسمة اقترانين يشملان  اقتران جيب أو جيب تمام أو كليهما.

مثال 1: إذا كان:  $f\left(x\right)=x^3\cos x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^{3}cos x$
استعمل قاعدة مشتقة ضرب اقترانين	$f\text{'}\left(x\right)=x^3\frac{d}{dx}\left(cos x\right)+cos x\frac{d}{dx}\left(x^3\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة جيب التمام	$f\text{'}\left(x\right)=x^3\left(-sin x\right)+\cos x\left(3x^2\right)$
بالترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=-x^3\sin x+3x^2\cos x$

 

مثال2: إذا كان: $f\left(x\right)=e^x\sin x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^{x}sin x$
اشتق الاقتران باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$f\text{'}\left(x\right)=e^x\frac{d}{dx}\left(sin x\right)+\sin x\frac{d}{dx}\left(e^x\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة الجيب ومشتقة الاقتران الأُسي	$f\text{'}\left(x\right)=e^x cos x+\sin x e^x$
بإعادة الترتيب كتابة الإجابة بطريقة أخرى (إخراج عامل مشترك).	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=e^x \cos x+ e^x \sin x \\ = e^x(\cos x + \sin x) \end{gathered}$$

 

مثال 3: إذا كان:  $f\left(x\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطي	$f\left(x\right)=\frac{cos x}{1+sin x}$
اشتق الاقتران باستعمال قاعدة مشتقة القسمة	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(1+sin x\right)\frac{d}{dx}\left(cos x\right)-cos x\frac{d}{dx}\left(1+sin x\right)}{{\left(1+\sin x\right)}^2}$
استعمل قواعد مشتقة جيب التمام ومشتقة الثابت ومشتقة الجيب	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(1+sin x\right)\left(-sin x\right)-cos x\left(0+cos x\right)}{{\left(1+\sin x\right)}^2}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-\sin x-{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{{\left(1+\sin x\right)}^2}$

 

مثال 4: إذا كان: $f\left(x\right)=\frac{\sin x}{x^2+3}$

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{sin x}{x^2+3}$
اشتق الاقتران باستعمال قاعدة مشتقة القسمة	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^2+3\right)\frac{d}{dx}\left(sin x\right)-sin x\frac{d}{dx}\left(x^2+3\right)}{{\left(x^2+3\right)}^2}$
باستعمال قواعد مشتقة الجيب ومشتقة القوة ومشتقة الثابت	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^2+3\right) cos x-sin x \left(2x+0\right)}{{\left(x^2+3\right)}^2}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2 \cos x+\cos x-2x \sin x}{{\left(x^2+3\right)}^2}$

 

 

أتحقق من فهمي

   1)  إذا كان:  $f\left(x\right)=\left(2x-1\right) \sin x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                    الإجابة:   $f\text{'}\left(x\right)=\left(2x-1\right) \cos x+\sin x \left(2\right)$

  2) إذا كان:  $f\left(x\right)=\frac{3x^2}{1-2 \sin x}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                                 الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(1-2 \sin x\right)\left(6x\right)-\left(3x^2\right)\left(-2 \cos x\right)}{{\left(1-2 \sin x\right)}^2}$

 

 

مشتقتا اقتران الجيب واقتران جيب التمام، وقاعدة السلسلة

يمكن إيجاد مشتقة تركيب اقترانين أحدهما اقتران الجيب أو جيب التمام باستعمال مشتقة قاعدة السلسلة كما في النظرية الآتية:

نظرية

إذا كان$g\left(x\right)$ اقترنًا قابلاً للاشتقاق، فإن:

                   $\frac{d}{dx}\left(sin\left(g\left(x\right)\right)\right)=cos\left(g\left(x\right)\right)\times g\text{'}\left(x\right)$    (1

                $\frac{d}{dx}\left(cos\left(g\left(x\right)\right)\right)=-sin\left(g\left(x\right)\right)\times g\text{'}\left(x\right)$   (2     

 

مثال1: إذا كان:$f\left(x\right)=\sin 3x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران امعطى	$f\left(x\right)=\sin 3x$
اشتق: $\sin u$، حيث: $u=3x$	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\sin 3x\right)=\cos 3x \left(3\right)$
بإعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=3 \sin 3x$

 

 مثال 2: إذا كان: $f\left(x\right)=\cos x^2$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\cos x^2$
اشتق: $\cos u$، حيث: $u=x^2$	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\cos x^2\right)=-\sin x^2 \left(2x\right)$
بإعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=-2x\sin x^2$

 

مثال 3: إذا كان $f\left(x\right)={\sin }^{4}x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)={\sin }^{4}x$
بإعادة كتابة الاقتران	$f\left(x\right)={\left(sin x\right)}^4$
اشتق باستعمال قاعدة سلسلة القوة ومشتقة الجيب	$f\text{'}\left(x\right)=4{\left(\sin x\right)}^{3}cos x$
بإعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=4 \cos x {\sin }^{3}x$

 

مثال 4: إذا كان: $f\left(x\right)=\sqrt{\cos x}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{\cos x}$
بإعادة كتابة الاقتران	$f\left(x\right)={\left(\cos x\right)}^{\frac{1}{2}}$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة السلسلة  ومشتقة جيب التمام	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(\cos x\right)}^{\frac{-1}{2}}\left(-sin x\right)$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$

 

مثال 5: إذا كان: $f\left(x\right)=\ln \left(\sin 2x\right)$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(\sin 2x\right)$
اشتق: $\ln u$، حيث: $u=\sin 2x$	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2 \cos 2x}{\sin 2x}$

 

أتحقق من فهمي

1. إذا كان: $f\left(x\right)=\sin \left(x^2-x+3\right)$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                      الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=\left(2x-1\right)\cos \left(x^2-x+3\right)$
2. إذا كان: $f\left(x\right)=\sin 7x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                                     الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=7 \cos 7x$  
3.  ذا كان:  $f\left(x\right)={\sin }^{5}x$، أجد   $f\text{'}\left(x\right)$                                             الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=5 \cos x {\sin }^{4}x$

 

مثال 6: من الحياة

يوجد في مدينة اللعاب لعبة العجلة التي تدور ، فإذا ركب أحمد اللعبة وكان ارتفاع أحمد اثناء الدوران يُعطى بالاقتران: $h\left(t\right)=50 \sin \frac{\mathrm{\pi }}{10}\left(t-5\right)+60$ ، حيث $h$ بالأمتار، $t$ الزمن بالثواني. أجد معدل تغير ارتفاع أحمد بالنسبة للزمن $t$.

الحل:

الاقتران المعطى	$h\left(t\right)=50 \sin \frac{\mathrm{\pi }}{10}\left(t-5\right)+60$
اشتق: $\sin u$، حيث: $u=\frac{\mathrm{\pi }}{10}\left(t-5\right)$	$h\text{'}\left(x\right)=50 \cos \frac{\mathrm{\pi }}{10}\left(t-5\right)\times \frac{\mathrm{\pi }}{10}\left(1\right)+0$
بالتبسيط	$h\text{'}\left(x\right)=5\pi \cos \frac{\mathrm{\pi }}{10}\left(\mathrm{t}-5\right)$

 

أتحقق من فهمي

• يمثل الاقتران: $h\left(t\right)=12+6 \cos \frac{\mathrm{\pi }}{3}\left(t-1\right)$، ارتفاع حمامة في السماء بالأمتار،  $t$ الزمن بالثواني. أجد معدل تغير ارتفاع الحمامة في السماء بالنسبة للزمن $t$.                                                                         الإجابة:  $$\begin{gathered} h\text{'}\left(t\right)=-6 \sin \frac{\mathrm{\pi }}{3}\left(t-1\right)\times \frac{\mathrm{\pi }}{3}\left(1\right) \\ =-2 \sin \frac{\mathrm{\pi }}{3}\left(t-1\right) \end{gathered}$$