الرياضيات فصل أول

الدرس الثالث: مشتقتا الاقتران الأُسي الطبيعي والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي

سنتعرف في درس مشتقتا الاقتران الأُسي الطبيعي والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي إلى:

• مشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي
• مشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي وقاعدة السلسلة
• مشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي
• مشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي وقاعدة السلسلة

 

أولًا: مشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي

نظرية

إذا كان: $f\left(x\right)=e^x$ ، حيث $e$ العدد النيبيري، فإن:  $f\text{'}\left(x\right)=e^x$

 

مثال 1: أجد مشتقة $f\left(x\right)=2e^x$ 

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2e^x$
أطبق قاعدتي مشتقة المضاعفات ومشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي مراعيًا أن: $\mathbf{(}\mathbf{ }{\mathit{e}}^{\mathbf{x}}\mathbf{)}\mathbf{\text{'}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{e}}^{\mathbf{x}}$	$f\text{'}\left(x\right)=2e^x$

 

 

مثال 2: إذا كان الاقتران: $f\left(x\right)=2x^3-e^x+7$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2x^3-e^x+7$
اشتق الاقتران باستخدام القواعد مشتقة مضاعفات القوة ومشتقة الاقتران الأُسي ومشتقة الثابت	$f\text{'}\left(x\right)=6x^2-e^x$

 

مثال 3: إذا كان الاقتران: $f\left(x\right)=x^2{e}^x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^2{e}^x$
اشتق الاقتران باستخدام مشتقة قاعدة الضرب ومشتقة القوة مراعيًا أن $$\begin{gathered} \mathbf{\left(}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\right)}\mathbf{\text{'}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathit{x} \\ \mathbf{\left(}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}}\mathbf{\right)}\mathbf{\text{'}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }{\mathit{e}}^{\mathbf{x}} \end{gathered}$$	$f\text{'}\left(x\right)=\left(x^2\right)e^x+e^x\left(2x\right)$

 

مثال 4: إذا كان: $f\left(x\right)=\frac{2x}{e^x-1}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$ .

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{2x}{e^x-1}$
اشتق الاقتران باستخدام مشتقة قاعدة القسمة ومشتقة الثابت ومشتقة المضاعفات ومشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(e^x-1\right)\left(2\right)-\left(2x\right)\left(e^x\right)}{{\left(e^x-1\right)}^2} \\ =\frac{2e^x-2-2x{e}^x}{{\left(e^x-1\right)}^2} \end{gathered}$$

 

مثال 5: إذا كان: $f\left(x\right)=3e^x-\sqrt[3]{x^2}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=3e^x-\sqrt[3]{x^2}$
تهيئة الاقتران	$f\left(x\right)=3e^x-x^{\frac{2}{3}}$
اشتق الاقتران مستعملا قواعد الاشتقاق (مضاعفات الأسي الطبيعي، واقتران القوة).	$f\text{'}\left(x\right)=3e^x-\frac{2}{3}{x}^{\frac{-1}{3}}$

 

تدريبات:

1.  إذا كان: $f\left(x\right)=5e^x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$ .                                 الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=5e^x$

 

2. إذا كان $f\left(x\right)=x^3-2e^x+7$،  أجد   $f\text{'}\left(x\right)$.                  الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-2e^x$ 

 

3. إذا كان $f\left(x\right)=\frac{e^x}{x^2-4}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                              الإجابة: $f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^2-4\right)\left(e^x\right)-\left(e^x\right)\left(2x\right)}{{\left(x^2-4\right)}^2}=\frac{x^2{e}^x-4e^x-2x{e}^x}{{\left(x^2-4\right)}^2}$

 

ثانيًا: مشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي ، وقاعدة السلسلة

نظرية

إذا كان:  $f\left(x\right)=e^{g\left(x\right)}$، حيث $g\left(x\right)$ اقتران قابل للاشتقاق، فإن: $f\text{'}\left(x\right)=e^{g\left(x\right)}\times g\text{'}\left(x\right)$

 

مشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي يساوي  الاقتران الأُسي الطبيعي $\times$ مشتقة اقتران الأُس

 

مثال1: أجد مشتقة الاقتران  $f\left(x\right)=e^{2x}$

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^{2x}$
اشتق الاقتران مستعملا قاعدة السلسلة	$f\text{'}\left(x\right)=e^{2x}\times 2$
إعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=2e^{2x}$

 

 

مثال2: إذا كان: $f\left(x\right)=e^{x^2+2}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^{x^2+2}$
اشتق الاقتران مستعملا قاعدة السلسلة	$f\text{'}\left(x\right)=e^{x^2+2}\left(2x\right)$
بإعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=2x{e}^{x^2+2}$

 

مثال3: إذا كان: $f\left(x\right)=e^{\frac{1}{x}}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^{\frac{1}{x}}$
اشتق الاقتران مستعملا قاعدة السلسلة	$f\text{'}\left(x\right)=e^{\frac{1}{x}}\times \frac{-1}{x^2}$
بإعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-1}{x^2}{e}^{\frac{1}{x}}$

 

مثال4: إذا كان  $f\left(x\right)=e^{\sqrt{x}}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^{\sqrt{x}}$
اشتق الاقتران مستعملا قاعدة السلسلة	$f\text{'}\left(x\right)=e^{\sqrt{x}}\times \frac{1}{2\sqrt{x}}$
بإعادة الترتيب	$f\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}{e}^{\sqrt{x}}$

 

تدريبات

1. إذا كان  $f\left(x\right)=e^{3x-5}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                         الإجابة:    $f\text{'}\left(x\right)=3e^{3x-5}$.

 

2. إذا كان  $f\left(x\right)=7e^{x^2}$. أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                           الإجابة:    $f\text{'}\left(x\right)=14x{e}^{x^2}$

 

مثال5: تُستخدم مادة مشعة في توليد الطاقة في الغواصات، فإذا كانت كمية المادة $\left(P\right)$بالغرامات المتبقية منها بعد مرور $\left(t\right)$ من الأيام تُعطى وفق قاعدة الاقتران:$P\left(t\right)=200+e^{0.003t}$.

1. أجد معدل التغير في كمية المادة المتبقية $\left(P\right)$ بالنسبة للزمن $\left(t\right)$.
2. أجد معدل التغير في كمية المادة المتبقية بعد مرور $\left(10\right)$أيام من بدء استخدامها.

الحل:

1.  اشتق اقتران كمية المادة المتبقية

اقتران كمية المادة المتبقية	$P\left(t\right)=200+e^{0.003t}$
اشتق الاقتران مستعملا قاعدتي السلسلة، ومشتقة الثابت	$P\text{'}\left(t\right)=e^{0.003t}\times 0.003$
بإعادة الترتيب	$P\left(t\right)=0.003e^{0.003t}$

 إذًا، معدل التغير في كمية المادة المتبقية $\left(P\right)$ بالنسبة للزمن $\left(t\right)$ هي: $P\left(t\right)=0.003e^{0.003t}$ .

 

    2- أعوض في معدل التغير  $t=10$

اقتران معدل التغير في كمية المادة المتبقية	$P\text{'}\left(t\right)=0.003 e^{0.003t}$
أُعوض $t=10$	$P\text{'}\left(10\right)=0.003 e^{0.003\left(10\right)}$
بالتبسيط	$P\text{'}\left(10\right)=0.003 e^{0.03}$

إذًا، معدل التغير في كمية المادة المتبقية من المادة المشعة بعد $\left(10\right)$ أيام هي: $\left(0.003 e^{0.03}\right)$غرامات.

 

تدريب

 تُستعمل مادة مشعة لتزويد مختبرات تعمل بالطاقة النووية بالطاقة ، ويمكن نمذجة مقدار الطاقة المتبقية في المادة المشعة بالواط بالاقتران: $P\left(t\right)=40e^{0.002t}$ ، حيث $\left(t\right)$ الزمن بالأيام . أجد معدل تغير الطاقة المتبقية عندما $t=100$ يوم.      الإجابة 

معدل تغير الطاقة المتبقية بعد 100 يوم هو:$\left(0.08e^2\right)$ واط

 

ثالثًا: مشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي

نظرية

إذا كان: $f\left(x\right)=\ln x$، حيث: $x>0$، فإن: $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

 

مثال1: إذا كان $f\left(x\right)=3\ln x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=3lnx$
اشتق الاقتران باستخدام قاعدتا مشتقة المضاعفات ومشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=3\left(\frac{1}{x}\right) \\ =\frac{3}{x} \end{gathered}$$

 

مثال2: إذا كان  $f\left(x\right)=x^2-\ln x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^2-lnx$
اشتق الاقتران باستخدام قواعد مشتقة القوة ومشتقة الفرق ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي	$f\text{'}\left(x\right)=2x-\frac{1}{x}$

 

مثال3: إذا كان $f\left(x\right)=x^2\ln x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^{2}lnx$
اشتق الاقتران باستخدام قواعد مشتقة الضرب ومشتقة القوة ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي	$f\text{'}\left(x\right)=\left(x^2\right)\left(\frac{1}{x}\right)+\left(lnx\right)\left(2x\right)$
بالتبسيط وإعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=x+2x\ln x$

 

مثال4: إذا كان $f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}+2\ln x+5$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}+2lnx+5$
اشتق الاقتران باستخدام قواعد مشتقة القوة ومشتقة المجموع ومشتقةالمضاعفات ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي ومشتقة الثابت	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{3}{x}^{\frac{-1}{3}}+2\left(\frac{1}{x}\right)$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{3}{x}^{\frac{-1}{3}}+\frac{2}{x}$

 

مثال5: إذا كان $y=\sqrt{x}-\ln x$، أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$y=\sqrt{x}-lnx$
اشتق الاقتران باستخدام قواعد مشتقة الجذر التربيعي ومشتقة الفرق ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي	$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}$

 

مثال6: إذا كان  $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x+e^x}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{lnx}{x+e^x}$
اشتق الاقتران باستخدام قواعد مشتقة القسمة ومشتقةاللوغاريتم الطبيعي ومشتقةالمضاعفات ومشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x+e^x\right)\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-\left(lnx\right)\left(1+e^x\right)}{{\left(x+e^x\right)}^2}$

 

تدريبات

1.  إذا كان  $f\left(x\right)=6\ln x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                                        الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=\frac{6}{x}$
2. إذا كان  $f\left(x\right)=3x^2+\ln x-5$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                          الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=6x+\frac{1}{x}$
3. إذا كان  $y=2 +x\ln x$، أجد $\frac{dy}{dx}$.                                        الإجابة:  $\frac{dy}{dx}=1+lnx$

 

رابعًا: مشتقة الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي، وقاعدة السلسلة

إذا كان: $f\left(x\right)=\ln g\left(x\right)$، فإنه يمكن إيجاد $f\text{'}\left(x\right)$ بإستعمال مشتقة قاعدة السلسلة كما في النظرية الآتية:

مشتقة الاقتران:$f\left(x\right)=\ln g\left(x\right)$

نظرية

إذا كان: $f\left(x\right)=\ln g\left(x\right)$، حيث $g\left(x\right)$ اقتران قابل للاشتقاق، $g\left(x\right)>0$، فإن:$f\text{'}\left(x\right)=\frac{g\text{'}\left(x\right)}{g\left(x\right)}$.

$\mathrm{مشتقة} \mathrm{الاقتران} \mathrm{اللوغاريتمي}=\frac{\mathrm{مشتقة} \mathrm{ما} \mathrm{داخل} \mathrm{اللوغاريتم}}{\mathrm{ما} \mathrm{داخل} \mathrm{اللوغاريتم}}$

تذكر قوانين الوغاريتمات

إذا كانت $a , x , y$ أعداد حقيقية موجبة ، وكانت $n$ عددًا حقيقيًا، $a\ne 0$، فإن:

1. ${\log }_a\left(xy\right)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$
2. ${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$
3. ${\log }_a{x}^n=n{\log }_{a}x$
4. ${\log }_{a}a=1$
5. ${\log }_{a}1=0$

 

مثال1: إذا كان  $f\left(x\right)=\ln \left(7x\right)$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الطريقة 1: أستعمل مشتقة قاعدة السلسلة

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(7x\right)$
اشتق الاقتران $\ln g\left(x\right)$ ، حيث: $g\left(x\right)=7x$	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{7}{7x} \\ =\frac{1}{x} \end{gathered}$$

الطريقة 2: استعمل قوانين اللوغاريتمات

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(7x\right)$
استعمل قانون الضرب في اللوغاريتمات	$f\left(x\right)=\ln 7+\ln x$
اشتق باستعمال مشتقة الثابت ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=0+\frac{1}{x} \\ =\frac{1}{x} \end{gathered}$$

 

مثال2: إذا كان  $f\left(x\right)=\ln x^2$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل: 

الطريقة 1: أستعمل مشتقة قاعدة السلسلة

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln x^2$
اشتق $\ln g\left(x\right)$ ، حيث: $g\left(x\right)=x^2$	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x}{x^2}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{x}$

الطريقة 2: استعمل قوانين اللوغاريتمات

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln x^2$
استعمل قانون القوة في اللوغاريتمات	$f\left(x\right)=2\ln x$
اشتق باستمال قاعدتا مشتقة المضاعفات ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2\left(\frac{1}{x}\right) \\ =\frac{2}{x} \end{gathered}$$

 

مثال3: إذا كان  $f\left(x\right)=\ln \sqrt{x}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الطريقة 1: أستعمل مشتقة قاعدة السلسلة

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \sqrt{x}$
اشتق:$\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=\sqrt{x}$	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}} \\ =\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x}} \\ =\frac{1}{2x} \end{gathered}$$

الطريقة 2: استعمل قوانين اللوغاريتمات

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \sqrt{x}$
تحويل الجذر للصورة الأُسية	$f\left(x\right)=\ln x^{\frac{1}{2}}$
استخدم قاعدة القوة في اللوغاريتمات	$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln x$
اشتق باستخدام مشتقة اللوغاريتم الطبيعي	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}\right) \\ =\frac{1}{2x} \end{gathered}$$

 

مثال4: إذا كان $f\left(x\right)=\ln \frac{1}{x}$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل:

الطريقة 1: أستعمل مشتقة قاعدة السلسلة

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \frac{1}{x}$
اشتق: $\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{-1}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-1}{x}$

الطريقة 2: استعمل قوانين اللوغاريتمات

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \frac{1}{x}$
استخدم قانون القسمة في اللوغاريتمات	$f\left(x\right)=\ln 1-\ln x$
اشتق باستخدام قاعدتا مشتقة الثابت ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=0-\frac{1}{x} \\ =\frac{-1}{x} \end{gathered}$$

 

مثال5: إذا كان  $f\left(x\right)=\ln \left(3x^2-5x+7\right)$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(3x^2-5x+7\right)$
اشتق: $\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=3x^2-5x+7$	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{6x-5}{3x^2-5x+7}$

 

تدريبات

1. إذا كان: $f\left(x\right)=\ln 5x$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                          الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}$
2. إذا كان$f\left(x\right)=3\ln \left(x^5\right)$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.                      الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=\frac{15}{x}$
3. إذا كان: $f\left(x\right)=\ln \left(5x-2\right)$، أجد $f\text{'}\left(x\right)$.               الإجابة:  $f\text{'}\left(x\right)=\frac{7}{7x-2}$