الرياضيات فصل أول

مشتقتا الاقتران الأُسي الطبيعي والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي

أتحقق من فهمي ( صفحة 74)

أجد  مشتقة كل اقتران مما يأتي:

 $a) f\left(x\right)=2e^x+3$                     $b) f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+e^x$                       $c) y=x{e}^x$

الحل:

a) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=2e^x+3$

الاقتران المعطي	$f\left(x\right)=2e^x+3$
اشتق الاقتران باستعمال المضاعفات ومشقة الاقتران الأُسي الطبيعي ومشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$f\text{'}\left(x\right)=2e^x$

 

b) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+e^x$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+e^x$
بإعادة كتابة الاقتران بتحويل الصورة الجذرية إلى صورة أُسية	$f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}+e^x$
اشتق الاقتران باستعمال قواعد مشتقة القوة ومشتقة المجموع ومشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{\frac{-2}{3}}+e^x$
بإعادة كتابة الاقتران بتحويل الصورة الأُسية إلى الصورة الجذرية	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}+e^x$

 

c) أجد مشتقة الاقتران: $y=x{e}^x$

الاقتران المعطى	$y=x{e}^x$
اشتق باستعمال قاعدة الضرب	$\frac{dy}{dx}=x\frac{d}{dx}{e}^x+e^x\frac{d}{dx}x$
اشتق باستعمال مشتقة المضاعفات ومشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=x{e}^x+e^x\left(1\right) \\ =x{e}^x+e^x \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي ( صفحة 75)

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

 $a) f\left(x\right)=e^{7x+1}$                $b) f\left(x\right)=e^{x^3}$                            $c) f\left(x\right)=5e^{\sqrt{x}}$

الحل:

a) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=e^{7x+1}$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^{7x+1}$
اشتق باستعمال مشتقة$e^{g\left(x\right)}$، حيث: $g\left(x\right)=7x+1$	$f\text{'}\left(x\right)=e^{7x+1}\times \left(7\right)$
بإعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=7e^{7x+1}$

 

b) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=e^{x^3}$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^{x^3}$
اشتق: $e^{g\left(x\right)}$، حيث: $g\left(x\right)=x^3$	$f\text{'}\left(x\right)=e^{x^3}\times \left(3x^2\right)$
بإعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=3x^2 e^{x^3}$

 

c) أجد مشتقة الاقتران:$f\left(x\right)=5e^{\sqrt{x}}$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=5e^{\sqrt{x}}$
اشتق: $e^{g\left(x\right)}$، حيث: $g\left(x\right)=\sqrt{x}$	$f\text{'}\left(x\right)=5e^{\sqrt{x}}\times \frac{1}{2\sqrt{x}}$
بإعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{5e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

 

أتحقق من فهمي (صفحة 76)

قمر صناعي: تُستعمل مادة مشعة لتزويد قمر صناعي بالطاقة . ويمكن نمذجة مقدار الطاقة المتبقية في المادة المشعة (بالواط) باستعمال الاقتران: $f\left(x\right)=50e^{-0.004t}$، حيث $t$ الزمن بالأيام. أجد معدل تغير الطاقة المتبقية في القمر الصناعي بعد $500$ يوم مفسرًا معنى الناتج.

الحل:

1. أجد معدل تغير الطاقة المتبقية في القمر الصناعي بعد $t$ يوم.

الاقتران المعطى	$P\left(t\right)=50e^{-0.004t}$
اشتق: $e^{g\left(t\right)}$، حيث: $g\left(t\right)=-0.004t$	$P\text{'}\left(t\right)=50e^{-0.004t}\times \left(-0.004\right)$
بالتبسيط	$P\text{'}\left(t\right)=-0.2e^{-0.004t}$

2. أجد معدل تغير الطاقة المتبقية في القمر الصناعي بعد $500$، مفسرًا معنى الناتج.

أجد $P\text{'}\left(500\right)$ :

اشتق $P\left(t\right)$	$P\text{'}\left(t\right)=-0.2e^{-0.004t}$
أُعوض $t=500$	$P\text{'}\left(500\right)=-0.2e^{-0.004\left(500\right)}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P\text{'}\left(500\right)=-0.2e^{-2} \\ \approx -0.03 \end{gathered}$$

تفسير معنى الناتج:

إذًا، تتناقص كمية الطاقة  المتبقية بمقدار $0.03$ (واط لكل يوم ) تقريبًا بعد $500$  من بدء استعمالها.

أتحقق من فهمي صفحة 78

أجد مشتقة كل اقتران مما ياتي:

$a) f\left(x\right)=4 \ln x$                $b) f\left(x\right)=\sqrt{x}+\ln x$                 $c) y=\frac{\ln x}{x}$ 

الحل: 

$f\left(x\right)= 4 \ln x :\mathrm{الاقتران} \mathrm{اشتق} (a$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=4 \ln x$
اشتق الاقتران باستعمال قاعدتا مشتقة المضاعفات ومشتقة الاقتران اللوغريتمي الطبيعي	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=4\frac{1}{x} \\ = \frac{4}{x} \end{gathered}$$

 

b) اشتق الاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt{x}+\ln x$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{x}+\ln x$
اشتق باستعمال قواعد مشتقة الجذر التربيعي ومشتقة المجموع ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x}$

 

c) اشتق الاقتران: $y=\frac{\ln x}{x}$

الاقتران المعطى	$y=\frac{\ln x}{x}$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$\frac{dy}{dx}=\frac{\left(x\right){\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(\ln x\right)-\left(\ln x\right){\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(x\right)}{{\left(x\right)}^2}$
باستعمال قواعد مشتقة المضاعفات ومشتقة اللوغريتم الطبيعي	$\frac{dy}{dx}=\frac{x\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-\ln x\left(1\right)}{{\left(x\right)}^2}$
بالتبسيط	$\frac{dy}{dx}=\frac{1-\ln x}{x^2}$

أتحقق من فهمي ( صفحة 80)

$a) f\left(x\right)=\ln \left(8x\right)$                       $b) f\left(x\right)=2\ln \left(x^7\right)$                   $c) f\left(x\right)=\ln \left(9x+2\right)$

الحل:

a) اشتق الاقتران: $f\left(x\right)=\ln \left(8x\right)$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(8x\right)$
اشتق: $\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=8x$	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{8}{8x}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}$

 

b) اشتق الاقتران: $f\left(x\right)=2 \ln \left(x^7\right)$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2 \ln \left(x^7\right)$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة  المضاعفات وقاعدة مشتقة  السلسلة$\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=x^7$	$f\text{'}\left(x\right)=2 \left(\frac{7x^6}{x^7}\right)$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{14}{x}$

 

c) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\ln \left(9x+2\right)$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(9x+2\right)$
اشتق: $\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=9x+2$	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{9}{9x+2}$

 

أتدرب وأحل المسائل (صفحة 80)

1)أجد مشتقة الاقتران:$f\left(x\right)=2e^x+1$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2e^x+1$
اشتق باستعمال قواعد مشتقة المضاعفات ومشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي ومشتقة الثابت	$f\text{'}\left(x\right)=2e^x$

 

2) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=e^{3x+9}$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^{3x+9}$
اشتق: $e^{g\left(x\right)}$، حيث: $g\left(x\right)=3x+9$	$f\text{'}\left(x\right)=e^{3x+9}\times \left(3\right)$
بإعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=3e^{3x+9}$

 

3) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\left(x^2+3x-9\right) e^x$.

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\left(x^2+3x-9\right) e^x$
اشتق باستعمال مشتقة قاعدة الضرب	$f\text{'}\left(x\right)=\left(x^2+3x-9\right)\frac{d}{dx}\left(e^x\right)+\left(e^x\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+3x-9\right)$
باستعمال قواعد مشتقة القوة ومشتقة المضاعفات ومشتقة الثابتومشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي	$f\text{'}\left(x\right)=\left(x^2+3x-9\right)\left(e^x\right)+e^x\left(2x+3\right)$
بإعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=\left(x^2+3x-9\right)e^x+\left(2x+3\right)e^x$

 

4) أجد مشتقة الاقتران:$f\left(x\right)=\frac{e^x}{x^4}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{e^x}{x^4}$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^4\right){\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(e^x\right)-\left(e^x\right){\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(x^4\right)}{{\left(x^4\right)}^2}$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^4\right)\left(e^x\right)-\left(e^x\right)\left(4x^3\right)}{x^8}$
بالتبسيط بإخراج $x^3$ عامل مشترك واختصارها مع المقام	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^3\left(x{e}^x-4e^x\right)}{x^8} \\ =\frac{x{e}^x-4e^x}{x^5} \end{gathered}$$

 

5) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=6e^{\sqrt{x}}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=6e^{\sqrt{x}}$
اشتق باستعمال قاعدة المضاعفات وقاعدة السلسلة: $e^{g\left(x\right)}$، حيث: $g\left(x\right)=\sqrt{x}$ ، وقاعدة مشتقة الجذر التربيعي	$f\text{'}\left(x\right)=6e^{\sqrt{x}}\times \frac{1}{2\sqrt{x}}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{3e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

 

6) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{e^x}{1+e^x}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{e^x}{1+e^x}$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(1+e^x\right){\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(e^x\right)-e^x{\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(1+e^x\right)}{{\left(1+e^x\right)}^2}$
اشتق باستعمال قاعدتا  مشتقة الثابت ومشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(1+e^x\right)\left(e^x\right)-\left(e^x\right)\left(e^x\right)}{{\left(1+e^x\right)}^2}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{e^x+e^{2x}-e^{2x}}{{\left(1+e^x\right)}^2} \\ =\frac{e^x}{{\left(1+e^x\right)}^2} \end{gathered}$$

 

7) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\left(e^x+2\right)\left(e^x-1\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\left(e^x+2\right)\left(e^x-1\right)$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$f\text{'}\left(x\right)=\left(e^x+2\right)\frac{d}{dx}\left(e^x-1\right)+\left(e^x-1\right)\frac{d}{dx}\left(e^x+2\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي ومشتقة الثابت	$f\text{'}\left(x\right)=\left(e^x+2\right)\left(e^x\right)+\left(e^x-1\right)\left(e^x\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=e^{2x}+2e^x+e^{2x}-e^x \\ =2e^{2x}+e^x \end{gathered}$$

 

8) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=e^{-2x} {\left(2x-1\right)}^5$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^{-2x} {\left(2x-1\right)}^5$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$f\text{'}\left(x\right)=\left(e^{-2x}\right) \frac{d}{dx}{\left(2x-1\right)}^5 + {\left(2x-1\right)}^5 \frac{d}{dx}\left(e^{-2x}\right)$
اشتق باستعمال قاعدة سلسلة القوة ومشتقة $e^{g\left(x\right)}$، حيث: $g\left(x\right)=-2x$	$f\text{'}\left(x\right)=\left(e^{-2x}\right)\left(5{\left(2x-1\right)}^4\left(2\right)\right)+{\left(2x-1\right)}^5\left(e^{-2x}\times -2\right)$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=10{\left(2x-1\right)}^4 e^{-2x}-2{\left(2x-1\right)}^5 e^{-2x}$

 

9) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=x^3 - 5e^{2x}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3 - 5e^{2x}$
اشتق باستعمال قواعد مشتقة القوة ومشتقة المضاعفات ومشتقة $e^{g\left(x\right)}$، حيث: $g\left(x\right)=2x$	$f\text{'}\left(x\right)=3x^2 - 5e^{2x}\times 2$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=3x^2 - 10e^{2x}$

10) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=3 \ln x$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=3 \ln x$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المضاعفات ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي	$f‵\left(x\right)=3\left(\frac{1}{x}\right)$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{3}{x}$

11) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=x^3 \ln x$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3 \ln x$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$f \text{'}\left(x\right)=\left(x^3\right)\frac{d}{dx}\left(\ln x\right) + \left( \ln x\right)\frac{d}{dx}\left(x^3\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة اللوغاريتم الطبيعي ومشتقة القوة	$f \text{'}\left(x\right)=\left(x^3\right)\left(\frac{1}{x}\right) + \left(\ln x\right)\left(3x^2\right)$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(x\right)=x^2 + 3x^2 \ln x$

12) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x^2}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x^2}$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^2\right){\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(\ln x\right) -\left( \ln x\right){\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(x^2\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة اللوغاريتم الطبيعي ومشتقة القوة	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^2\right)\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right) - \left(\ln x\right)\left(2x\right)}{{\left(x^2\right)}^2}$
بالتبسيط من خلال إخراج $x$ عامل مشترك واختصارها مع المقام	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=\frac{x - 2x \ln x}{x^4} \\ =\frac{x\left(1-2 \ln x\right)}{x^4} \\ =\frac{1-2 \ln x}{x^3} \end{gathered}$$

13) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=x^2 \ln \left(4x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^2 \ln \left(4x\right)$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$f \text{'}\left(x\right)=\left(x^2\right)\frac{d}{dx}\left(\ln \left(4x\right)\right) + \left(\ln \left(4x\right)\right)\frac{d}{dx}\left(x^2\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة $\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=4x$	$f \text{'}\left(x\right)=\left(x^2\right)\left(\frac{4}{4x}\right) + \left(\ln \left(4x\right)\right)\left(2x\right)$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(x\right)=x + 2x \ln \left(4x\right)$

14) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\ln \left(\frac{x+1}{x}\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(\frac{x+1}{x}\right)$
بإعادة كتابة الاقتران باستعمال خصائص اللوغاريتمات	$f\left(x\right)=\ln \left(x+1\right) - \ln x$
اشتق باستعمال قواعد مشتقة: $\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=x+1$، ومشتقة الفرق ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x}$

15) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\ln \sqrt{x^2-1}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \sqrt{x^2-1}$
بإعادة كتابة الاقتران من خلال تحويل الجذر إلى الصورة الأُسية، واستعمال قوانين اللوغاريتمات	$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\ln {\left(x^2-1\right)}^{\frac{1}{2}} \\ =\frac{1}{2 } \ln \left(x^2-1\right) \end{gathered}$$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المضاعفات ومشتقة: $\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=x^2-1$	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{x}{x^2-1}$

16) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^4$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^4$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة سلسلة القوة	$f \text{'}\left(x\right)=4 {\left(\ln x\right)}^3\times \left(\frac{1}{x}\right)$
بإعادة الترتيب	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{4}{x} {\left(\ln x\right)}^3$

17) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\ln \left(x^2-5\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(x^2-5\right)$
اشتق: $\ln g\left(x\right)$، حيث:  $g\left(x\right)=\left(x^2-5\right)$	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{2x}{x^2-5}$

18) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=x^4 \ln x - \frac{1}{2}{e}^x$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^4 \ln x - \frac{1}{2}{e}^x$
اشتق باستعمال قواعد مشتقة الضرب ومشتقةالفرق ومشتقة المضاعفات ومشتقة الاقتران الأُسي الطبيعي	$f \text{'}\left(x\right)=\left(x^4\right)\frac{d}{dx}\left(\ln x\right)+\left(\ln x\right)\frac{d}{dx}\left(x^4\right)-\frac{1}{2}{e}^x$
باستعمال قاعدة مشتقة اللوغاريتم الطبيعي ومشتقة القوة	$f \text{'}\left(x\right)=\left(x^4\right)\left(\frac{1}{x}\right)+\left(\ln x\right)\left(4x^3\right)-\frac{1}{2}{e}^x$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(x\right)=x^3+4x^3 \ln x-\frac{1}{2}{e}^x$

19) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=e^{2x} \ln x$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^{2x} \ln x$
اشتق باستعمال مشتقة الضرب	$f \text{'}\left(x\right)=\left(e^{2x}\right)\frac{d}{dx}\left(\ln x\right)+\left(\ln x\right)\frac{d}{dx}\left(e^{2x}\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة اللوغاريتم الطبيعي ومشتقة: $e^{g\left(x\right)}$، حيث: $g\left(x\right)=2x$	$f \text{'}\left(x\right)=\left(e^{2x}\right)\left(\frac{1}{x}\right) + \left(\ln x\right)\left(e^{2x}\times 2\right)$
بإعادة الترتيب	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}{e}^{2x} + 2e^{2x} \ln x$

20) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\left(\ln 3x\right)\left(\ln 7x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\left(\ln 3x\right)\left(\ln 7x\right)$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$f \text{'}\left(x\right)=\left(\ln 3x\right)\frac{d}{dx}\left(\ln 7x\right)+\left(\ln 7x\right)\frac{d}{dx}\left(\ln 3x\right)$
اشتق: $\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=3x ,g\left(x\right)=7x$	$f \text{'}\left(x\right)=\left(\ln 3x\right)\left(\frac{7}{7x}\right)+\left(\ln 7x\right)\left(\frac{3}{3x}\right)$
بالتبسيط وإعادة الترتيب	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x} \ln 3x + \frac{1}{x} \ln 7x$

21) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\ln \left(e^x-2\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(e^x-2\right)$
اشتق: $\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=e^x-2$، ومشتقة الاقتران الأُسي ومشتقة الثابت	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{e^x}{e^x-2}$

22) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=e^{2x-1} \ln \left(2x-1\right)$، عند $x=1$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^{2x-1} \ln \left(2x-1\right)$
اشتق الاقتران باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$f \text{'}\left(x\right)=\left(e^{2x-1}\right)\frac{d}{dx}\left(\ln \left(2x-1\right)\right)+\left(\ln \left(2x-1\right)\right)\frac{d}{dx}\left(e^{2x-1}\right)$
اشتق:$\ln g\left(x\right) ,e^{g\left(x\right)}$، حيث: $g\left(x\right)=2x-1$	$f \text{'}\left(x\right)=\left(e^{2x-1}\right)\left(\frac{2}{2x-1}\right) + \left( \ln \left(2x-1\right)\right)\left(e^{2x-1}\times 2\right)$
أُعوض $x=1$	$f \text{'}\left(1\right)=\left(e^{2\left(1\right)-1}\right)\left(\frac{2}{2\left(1\right)-1}\right) + \left(\ln \left(2\left(1\right)-1\right)\right)\left(e^{2\left(1\right)-1}\times 2\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(1\right)=\left(e\right)\left(2\right) + \left(\ln 1\right)\left(2e\right) \\ =2e +\left(0\right)\left(2e\right) \\ =2e \end{gathered}$$

23) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{\ln x^2}{x}$، عند $x=4$

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{\ln x^2}{x}$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x\right){\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(\ln x^2\right) - \left(\ln x^2\right){\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(x\right)}{{\left(x\right)}^2}$
اشتق باستعمال قاعدة المضاعفات ومشتقة: $\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=x^2$	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x\right)\left({\displaystyle \frac{2x}{x^2}}\right) - \left(\ln x^2\right)\left(1\right)}{{\left(x\right)}^2}$
بالتبسيط	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{2-\ln x^2}{x^2}$
أُعوض $x=4$ ، وأُبسط	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(4\right)=\frac{2-\ln {\left(4\right)}^2}{{\left(4\right)}^2} =\frac{2-\ln {\left(2\right)}^4}{16} \\ =\frac{2-4 \ln 2}{16} =\frac{2\left(1-2 \ln 2\right)}{16} \\ =\frac{1-2 \ln 2}{8} \end{gathered}$$

24) فيروسات: يمكن نمذجة انتشار الإنفلونزا في إحدى المدارس باستعمال الاقتران: $P\left(t\right)=\frac{100}{1+e^{3-t}}$، حيث $P\left(t\right)$ العدد الكلي للطلبة المصابين بعد $t$ يومًا من ملاحظة الإنفلونزا أول مرة في المدرسة. أجد معدل انتشار الإنفلونزا بالنسبة إلى الزمن $t$ في المدرسة بعد $3$ أيام.

الحل:

• أجد مشتقة اقتران انتشار الإنفلونزا 

اقتران انتشار الإنفلونزا	$P\left(t\right)=\frac{100}{1+e^{3-t}}$
اشتق : باستعمال قاعدتا مشتقة المقلوب ومشتقة:$e^{g\left(t\right)}$، حيث: $g\left(t\right)=3-t$	$P\text{'}\left(t\right)=\frac{100\left(-e^{3-t}\times -1\right)}{{\left(1+e^{3-t}\right)}^2}$
بالتبسيط	$P\text{'}\left(t\right)=\frac{100 e^{3-t}}{{\left(1+e^{3-t}\right)}^2}$

• أجد معدل انتشار الإنفلونزا عندما $t=3$.

اقتران المشتقة	$P\text{'}\left(t\right)=\frac{100 e^{3-t}}{{\left(1+e^{3-t}\right)}^2}$
أُعوض $t=3$	$P\text{'}\left(t\right)=\frac{100 e^{3-3}}{{\left(1+e^{3-3}\right)}^2}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P\text{'}\left(3\right)=\frac{100e^0}{{\left(1+e^0\right)}^2} \\ =\frac{100\left(1\right)}{{\left(1+1\right)}^2}=\frac{100}{4} \\ =25 \end{gathered}$$

إذًا، معدل انتشار الإنفلونزا في المدرسة هو: $25$ (طالب لكل يوم ) في $3$ أيام.

25) ذاكرة: يُستعمل الاقتران: $m\left(t\right)=t \ln t + 1 , 0<t\le 4$ لقياس قدرة الأطفال على التذكر، حيث $m$ مقياس من $1$ إلى $7$ ، و $t$ عمر الطفل بالسنوات. أجد معدل تغير قدرة الأطفال على التذكر بالنسبة إلى عمر الطفل $t$.

الحل:

الاقتران المعطى	$m\left(t\right)=t \ln t + 1$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة الضرب ومشتقة الثابت	$m\text{'}\left(t\right)=\left(t\right)\frac{d}{dt}\left(\ln t\right) + \left(\ln t\right)\frac{d}{dt}\left(t\right)$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة المضاعفات ومشتقة اللوغاريتم الطبيعي	$m\text{'}\left(t\right)=\left(t\right)\left(\frac{1}{t}\right) + \left(\ln t\right)\left(1\right)$
بالتبسيط	$m\text{'}\left(t\right)=1 + \ln t$

إذًا، معدل تغير قدرة الأطفال على التذكر بالنسبة إلى عمر الطفل $t$ هو: $\left(1+\ln t\right)$.

26) إذا كان: $y=e^{2u} + 3 , u=x^2+1$، استعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{dy}{dx}$.

الحل: 

بإيجاد مشتقة $y$ بالنسبة إلى $u$	$\frac{dy}{du}=e^{2u}\times 2$
بإيجاد مشتقة $u$ بالنسبة إلى $x$	$\frac{du}{dx}=2x$
باستعمال قاعدة السلسلة	$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$
أُعوض $\frac{dy}{du}=2 e^{2u} ,\frac{du}{dx}=2x$	$\frac{dy}{dx}=2 e^{2u}\times 2x$
أُعوض $u=x^2+1$	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=4x e^{2\left(x^2+1\right)} \\ =4x e^{2x^2+2} \end{gathered}$$

إذًا،   $\frac{dy}{dx}=4x e^{2x^2+2}$

27) إذا كان: $y=\ln \left(u+1\right) , u=e^x$، أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{dy}{dx}$.

الحل: 

بإيجاد مشتقة $y$ بالنسبة إلى $u$ باستعمال $\ln g\left(u\right)$، $g\left(u\right)=u+1$	$\frac{dy}{du}=\frac{1}{u+1}$
بإيجاد مشتقة $u$ بالنسبة إلى $x$	$\frac{du}{dx}=e^x$
باستعمال قاعدة السلسلة	$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$
أُعوض: $\frac{dy}{du}=\frac{1}{u+1}, \frac{du}{dx}=e^x$	$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u+1}\times e^x$
أُعوض $u=e^x$	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^x+1}\times e^x \\ =\frac{e^x}{e^x+1} \end{gathered}$$

إذًا، $\frac{dy}{dx}=\frac{e^x}{e^x+1}$

مهارات التفكير العليا

28) أكتشف الخطأ: أكتشف الخطأ في الحل الآتي، ثم أُصحِّحه:

                                               $\times$$$\begin{gathered} y=\ln kx \\ \frac{dy}{dx}=k \ln kx \end{gathered}$$

الخطأ في الحل: هو أن مشتقة ما داخل اللوغاريتم $k$ ضُربة في اللوغاريتم  والصحيح أن تقسم على ما داخل اللوغاريتم.

والحل الصحيح هو:    $\frac{dy}{dx}=\frac{k}{kx}=\frac{1}{x}$

29) تبرير: إذا كان: $y=\frac{7 \ln x-x^3}{e^{3x}}$، فأثبت أن $\frac{dy}{dx}=\frac{7}{e^3}$ عندما $x=1$.

البرهان:

الاقتران المعطى	$y=\frac{7 \ln x-x^3}{e^{3x}}$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{3x}\right){\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(7 \ln x\right)-\left(7 \ln x\right){\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(e^{3x}\right)}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$
اشتق باستعمال قواعد مشتقة المضاعفات ومشتقة اللوغريتم الطبيعي ومشتقة: $e^{g\left(x\right)}$، حيث: $g\left(x\right)=3x$	$\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{3x}\right)\left(7\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\right)-\left(7 \ln x\right)\left(e^{3x}\times 3\right)}{{\left(e^{3x}\right)}^2}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{e^{3x}\left[{\displaystyle \frac{7}{x}}-21 \ln x\right]}{{\left(e^{3x}\right)}^2} \\ =\frac{{\displaystyle \frac{7}{x}}-21 \ln x}{e^{3x}} \end{gathered}$$
أُعوض $x=1$	$\frac{dy}{dx}=\frac{{\displaystyle \frac{7}{1}}-21 \ln 1}{e^{3\left(1\right)}}$
بالتبسيط	$\frac{dy}{dx}=\frac{7}{e^3}$

إذًا،  $\frac{dy}{dx}=\frac{7}{e^3}$

كتاب التمارين (صفحة 17)

1) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=x^{10} e^x$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^{10} e^x$
اشتق باستعمال مشتقة قاعدة الضرب	$f\text{'}\left(x\right)=x^{10} \frac{d}{dx}{e}^x + e^x \frac{d}{dx}{x}^{10}$
باستعمال قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة الاقتران الأُسي	$f\text{'}\left(x\right)=x^{10} e^x + e^x \left(10 x^9\right)$
بإعادة الترتيب	$f\left(x\right)=x^{10} e^x + 10 x^9 e^x$

2) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=3e^{2x-1}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=3e^{2x-1}$
باستعمال قواعد  مشتقة $e^{g\left(x\right)}$ خيث: $g\left(x\right)=2x-1$ ومشتقة المضاعفات ومشتقة الثابت	$f\text{'}\left(x\right)=3e^{2x-1} \times 2$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=6 e^{2x-1}$

3) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=3e^x-2e^{4x}$..

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=3e^x-2e^{4x}$
اشتق باستعمال قواعد مشتقة المضاعفات ومشتقة الاقتران الأُسي ومشتقة الفرق ومشتقة $e^{g\left(x\right)}$ حيث: $g\left(x\right)=4x$	$f\text{'}\left(x\right)=3e^x-2e^{4x} \times 4$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=3e^x-8e^{4x}$

4) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\left(9x-1\right)e^{3x}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\left(9x-1\right)e^{3x}$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$f\text{'}\left(x\right)=\left(9x-1\right)\frac{d}{dx}{e}^{3x} + e^{3x}\frac{d}{dx}\left(9x-1\right)$
باستعمال قواعد مشتقة $e^{g\left(x\right)}$ حيث: $g\left(x\right)=3x$ الاقتران ومشتقة المضاعفات ومشتقة الثابت	$f\text{'}\left(x\right)=\left(9x-1\right)e^{3x} \times 3 + e^{3x} \left(9\right)$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\left(27x-3\right)e^{3x} +9e^{3x}$

5) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x+1}}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{e^{-2x}}{\sqrt{x+1}}$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\sqrt{x+1}{\displaystyle \frac{d}{dx}}{e}^{-2x} - e^{-2x} {\displaystyle \frac{d}{dx}}\sqrt{x+1}}{{\left(\sqrt{x+1}\right)}^2}$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة $e^{g\left(x\right)}$ حيث $g\left(x\right)=-2x$ ومشتقة الجذر التربيعي	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\sqrt{x+1}\left(e^{-2x} \times -2\right)-e^{-2x} {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}}{{\left(\sqrt{x+1}\right)}^2}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-2\sqrt{x+1} e^{-3x}-{\displaystyle \frac{e^{-2x}}{2\sqrt{x+1}}}}{x+1}$

6) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{{\left(e^x +2\right)}^3}{x}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{{\left(e^x +2\right)}^3}{x}$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{x {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\left(e^x+2\right)}^3-{\left(e^x+2\right)}^3 {\displaystyle \frac{d}{dx}}x}{x^2}$
باستعمال مشتقة سلسلة القوة ومشتقة الاقتران الأُسي ومشتقة الثابت ومشتقة المضاعفات	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{x\left(3{\left(e^x+2\right)}^2 \times e^x\right)-{\left(e^x+2\right)}^3\left(1\right)}{x^2}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{3x{e}^x{\left(e^x+2\right)}^2-{\left(e^x+2\right)}^3}{x^2}$

7) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=e^{x^2+7}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^{x^2+7}$
اشتق $e^{g\left(x\right)}$ حيث: $g\left(x\right)=x^2+7$	$f\text{'}\left(x\right)=e^{x^2+7}\times 2x$
بإعادة الترتيب	$f\text{'}\left(x\right)=2x{e}^{x^2+7}$

8) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)={\left(2e^{3x}-1\right)}^2$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)={\left(2e^{3x}-1\right)}^2$
اشتق باستعمال قواعد مشتقة سلسلة القوة ومشتقة $e^{g\left(x\right)}$ حيث: $g\left(x\right)=3x$ ومشتقة الثابت	$f\text{'}\left(x\right)=2\left(2e^{3x}-1\right)\times 2e^{3x} \times 3$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=24e^{6x} -12e^{3x}$

9) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt{e^x+1}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{e^x+1}$
اشتق باستعمال قواعد مشتقة الجذر التربيعي ومشتقة الاقتران الأُسي ومشتقة الثابت	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{e^x}{2\sqrt{e^x+1}}$

10) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x+2}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x+2}$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة القسمة	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x+2\right){\displaystyle \frac{d}{dx}}\ln x-\ln x{\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(x+2\right)}{{\left(x+2\right)}^2}$
باستعمال قواعد مشتقة اللوغاريتم الطبيعي ومشتقة المضاعفات ومشتقة الثابت	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x+2\right)\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-\left(\ln x\right)\left(1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1+{\displaystyle \frac{2}{x}}-\ln x}{{\left(x+2\right)}^2}$

11) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$
اشتق $\ln g\left(x\right)$ حيث: $g\left(x\right)=x^2+1$	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x}{x^2+1}$

12) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=e^x \ln x^2$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^x \ln x^2$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$f\text{'}\left(x\right)=e^x \frac{d}{dx}\ln x^2+\ln x^2 \frac{d}{dx}{e}^x$
باستعمال قاغدتا مشتقة $\ln g\left(x\right)$ حيث: $g\left(x\right)=x^2$ ومشتقة الاقتران الأُسي	$f\text{'}\left(x\right)=\left(e^x\right) \left(\frac{2x}{x^2}\right)+\left( \ln x^2\right)\left( e^x\right)$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2e^x}{x}+e^x \ln x^2$

13) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\left(3+x\right)\ln x$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\left(3+x\right)\ln x$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$f\text{'}\left(x\right)=\left(3+x\right)\frac{d}{dx}\ln x+\ln x \frac{d}{dx}\left(3+x\right)$
باستعمال قواعد مشتقة اقتران اللوغاريتم الطبيعي ومشتقة المضاعفات ومشتقة الثابت	$f\text{'}\left(x\right)=\left(3+x\right)\left(\frac{1}{x}\right)+\left(\ln x\right)\left(1\right)$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{3}{x}+1+\ln x$

14) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\ln \left(\frac{1}{x}\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(\frac{1}{x}\right)$
اشتق $\ln g\left(x\right)$ حيث: $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{-1}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{-1}{x}$

15) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=x^5 \ln \left(3x\right)$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^5 \ln \left(3x\right)$
اشتق باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$f\text{'}\left(x\right)=x^5 \frac{d}{dx}\ln \left(3x\right)+\ln \left(3x\right) \frac{d}{dx}{x}^5$
باستعمال قاعدتا مشتقة $\ln g\left(x\right)$ حيث: $g\left(x\right)=3x$ ومشتقة القوة	$f\text{'}\left(x\right)=\left(x^5\right)\left(\frac{3}{3x}\right)+\left(\ln \left(3x\right)\right)\left(5x^4\right)$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(x\right)=x^4 + 5x^4 \ln \left(3x\right)$

16) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=x^2{e}^{-1}$ عند النقطة $x=-1$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^2{e}^{-1}$
اشتق باستعمال مشتقة القوة	$f\text{'}\left(x\right)=2x{e}^{-1}$
بتعويض $x=-1$	$f\text{'}\left(-1\right)=2\left(-1\right)e^{-1}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(-1\right)=\frac{-2}{e}$

17) أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$ عند $x=3$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$
اشتق $\ln g\left(x\right)$، حيث: $g\left(x\right)=x^2+1$	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x}{x^2+1}$
بتعويض $x=3$	$f\text{'}\left(3\right)=\frac{2\left(3\right)}{{\left(3\right)}^2+1}$
بالتبسيط	$f\text{'}\left(3\right)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

بكتيريا: يُمثِّل الاقتران: $N\left(t\right)=1000 \left(30+e^{-\frac{t}{30}}\right)$ عدد الخلايا البكتيرية بعد $t$ ساعة في مجتمع بكتيري:

18) أجد العدد الأولي للخلايا البكتيرية في المجتمع.

19)  أجد مُعدَّل تغيُّر عدد الخلايا البكتيرية بالنسبة إلى الزمن.

20) أجد مُعدَّل نمو المجتمع بعد 20 ساعة.

الحل:

18) العدد الأولي للخلايا البكتيرية في المجتمع عندما $t=0$.

الاقتران المعطى	$N\left(t\right)=1000 \left(30+e^{-\frac{t}{30}}\right)$
بتعويض $t=0$	$N\left(0\right)=1000 \left(30+e^{-\frac{0}{30}}\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} N\left(0\right)=1000 \left(30+e^0\right) \\ =1000 \left(30+1\right) \\ =31000 \end{gathered}$$

إذًا، العدد الأولي للخلايا البكتيرية في المجتمع هو: $31000$.

19)  أجد مُعدَّل تغيُّر عدد الخلايا البكتيرية بالنسبة إلى الزمن.

الاقتران المعطى	$N\left(t\right)=1000 \left(30+e^{-\frac{t}{30}}\right)$
اشتق باستعمال مشتقة $e^{g\left(x\right)}$، حيث: $g\left(x\right)=-\frac{t}{30}$، ومشتقة الثابت	$N\text{'}\left(t\right)=1000 \left(e^{-\frac{t}{30}} \times -\frac{1}{30}\right)$
بالتبسيط	$N\text{'}\left(t\right)=-\frac{100}{3}{e}^{-\frac{t}{30}}$

إذًا،مُعدَّل تغيُّر عدد الخلايا البكتيرية بالنسبة إلى الزمن هو: $N\text{'}\left(t\right)=-\frac{100}{3}{e}^{-\frac{t}{30}}$.

20) أجد مُعدَّل نمو المجتمع بعد 20 ساعة.

اقتران معدل النمو	$N\text{'}\left(t\right)=-\frac{100}{3}{e}^{-\frac{t}{30}}$
بتعويض $t=20$	$N\text{'}\left(20\right)=-\frac{100}{3}{e}^{-\frac{20}{30}}$
بالتبسيط واستخدام الحاسبة	$N\text{'}\left(20\right)=-\frac{100}{3}{e}^{-\frac{2}{3}}\simeq -17.11$

إذًا، مُعدَّل نمو المجتمع بعد 20 ساعة هو: $N\text{'}\left(20\right)=-\frac{100}{3}{e}^{-\frac{2}{3}}\simeq -17.11$.

إعلانات: يُمكن نمذجة درجة استجابة المستهلكين لمُنتج ما عن طريق الإعلانات باستعمال الاقتران: $N\left(a\right)=2000+500 \ln a ,a\ge 1$ الذي يُمثَّل عدد الوحدات المَبيعة من المُنتَج، حيث $a$ المبلغ الذي أُنفق على الإعلانات بآلاف الدنانير:

21) أجد مُعدَّل تغيُّر عدد الوحدات المَبيعة بالنسبة إلى المبلغ $a$ الذي أُنفق على الإعلانات بآلاف الدنانير.

22) أجد مُعدَّل تغيُّر عدد الوحدات المبَيعة عندما $a=10$.

الحل:

21) أجد مُعدَّل تغيُّر عدد الوحدات المَبيعة بالنسبة إلى المبلغ $a$ الذي أُنفق على الإعلانات بآلاف الدنانير.

الاقتران المعطى	$N\left(a\right)=2000+500 \ln a$
اشتق باستعمال قاعدتا مشتقة الثابت ومشتقة اقتران اللوغريتم الطبيعي	$$\begin{gathered} N\text{'}\left(a\right)=500 \left(\frac{1}{a}\right) \\ =\frac{500}{a} \end{gathered}$$

إذًا، مُعدَّل تغيُّر عدد الوحدات المَبيعة بالنسبة إلى المبلغ $a$ هو: $N\text{'}\left(a\right)=\frac{500}{a}$.

22) أجد مُعدَّل تغيُّر عدد الوحدات المبَيعة عندما $a=10$.

اقتران معدل التغير	$N\text{'}\left(a\right)=\frac{500}{a}$
بتعويض $a=10$	$N\text{'}\left(10\right)=\frac{500}{10}$
بالتبسيط	$N\text{'}\left(10\right)=50$

إذًا، مُعدَّل تغيُّر عدد الوحدات المبَيعة عندما $a=10$ هو: $N\text{'}\left(10\right)=50$.