رياضيات فصل ثاني

مفاهيم أساسية 

المعدل :هو نسبةٌ تقارنُ بينَ كمّيتَينِ لهُما وِحدتانِ مختلفتانِ. عندَ تبسيطِ المعدَّلِ ليُصبحَ مقامُهُ 1 وِحدةً، فإنَّهُ يُسمّى معدَّلَ الوحدةِ

- وَمِنْ معدلاتِ الوحدةِ الشائعةِ في الحياةِ اليوميةِ عددُ الكيلومتراتِ المقطوعةِ لكلِّ ساعةٍ(km/h) ، ثمنُ الكيلوغرامِ الواحدِ (JD/kg) 

 -إذا كانَ بَسْطُ المعدَّلِ أَوْ مقامُهُ أَوْ كلاهُما كسرًا، فإنَّهُ يُمكنُ إيجادُ معدَّلِ الوحدةِ برسمِ مخطّطٍ أَوْ قسمةِ البَسْطِ على المقامِ كما في قسمةِ الكسورِ.
 

مثال 1: يمشي ليثٌ مسافةَ$\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{Km}\mathbf{ }$ كل $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{h}$، فما معدَّلُ المسافةِ الّتي يقطعُها في الساعةِ الواحدةِ؟

الطريقةُ 1: أرسمُ مخطّطًا.

بما أنَّ ليثًا يمشي $\frac{3}{2}\mathrm{Km}$ كل  $\frac{1}{4}h$ ، أرسمُ مستطيلً يعبّرُ عنِ الساعةِ الكاملةِ، وأقسمُهُ إلى أربعةِ أجزاءٍ.

 

 

 

 

 

معدَّلُ المسافةِ الّتي يقطعُها ليثٌ في الساعةِ الواحدةِ (معدَّلُ الوحدةِ) يُساوي $\frac{3}{2}\mathrm{km} \times 4 =6\mathrm{km}/\mathrm{h}$

الطريقةُ 2: أستخدمُ قسمةَ الكسورِ.

$\frac{{\displaystyle \frac{3}{2}\mathrm{km}}}{{\displaystyle \frac{1}{4}\mathrm{h}}}=\frac{3}{2}÷\frac{1}{4}$                       أكتبُ المعدَّلَ على شكلِ مسألةِ قسمةٍ

$=\frac{3}{\cancel{2{ }^{\mathbf{1}}}}\times \frac{\cancel{4{ }^{\mathbf{2}}}}{1}$                             أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ $\frac{1}{4}$ ثمَّ أقسمُ على العواملِ المشترَكةِ

$=\frac{6\mathrm{km}}{1\mathrm{h}}$                                     أضرِبُ البَسْطَينِ والمَقامَينِ

إذنْ، معدَّلُ الوحدةِ يُساوي $\frac{6\mathrm{km}}{1\mathrm{h}}$

 

**** يستخدم معدل الوحدة في التطبيقات الحياتية كما في الأمثلة التالية :

مثال 2: منَ الحياةِ صحةٌ : قاسَ ممرضٌ عددَ دقّاتِ قلبِ مريضٍ فوجدَها 52 دقةً في $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{min}$أستعملُ هذا القياسَ في إيجادِ عددِ دقّاتِ قلبِ المريضِ في نصفِ ساعةٍ. 

الْخُطْوَةُ 1 : أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ:

$\frac{52 \mathrm{beat}}{{\displaystyle \frac{2}{3}\min }}=52÷\frac{2}{3}$                    أكتبُ المعدَّلَ على شكلِ مسألةِ قسمةٍ

$=\frac{\cancel{{52}^{\mathbf{26}}}}{1}\times \frac{2}{\cancel{3^{ \mathbf{1}}}}$                           أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ $\frac{2}{3}$ ثمَّ أقسمُ على العواملِ المشترَكةِ

 

$=\frac{78 \mathrm{beat}}{1 \min }$                                أبسط 

إذنْ، معدَّلُ الوحدةِ يُساوي $\frac{\mathbf{78}\mathbf{ }\mathbf{beat}}{\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{min}}$

الْخُطْوَةُ 2 : أستخدمُ معدَّلَ الوحدةِ في إيجادِ عددِ نبَضاتِ قلبِ المريضِ في نصفِ ساعةٍ:

78 ×30 = أضرِبُ معدَّلَ الوحدةِ في عددِ دقائقِ نصفِ الساعةِ، ثمَّ أَجِدُ الناتجَ: 2340

إذنْ، عددُ دقاتِ قلبِ المريضِ في نصفِ ساعةٍ 2340 دقةً.

 

**** يُمكنُنا استعمالُ معدَّلِ الوحدةِ لإجراءِ المقارناتِ بسهولةٍ في مواقفَ حياتيةٍ كثيرةٍ.

مثال 3: منَ الحياةِ : يحتوي 50g مِنَ الجوّافةِ على 114mg مِنْ فيتامينِ C ويحتوي 12.5g مِنَ الفُلفُلِ الأصفرِ على 30mg مِنْ هذا الفيتامينِ. أيُّ الصّنفَينِ يُعَدُّ مصدرًا أفضلَ لفيتامينِ C ؟

:في الغرامِ الواحدِ مِنَ الجوّافةِ C الْخُطْوَةُ1 :أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكمّيةِ فيتامينِ

  $\frac{114\mathrm{mg}}{50\mathrm{g}}$                                   أكتبُ المعدَّلَ على صورةِ كسرٍ

 

$=\frac{114\mathrm{mg} ÷50}{50\mathrm{g} ÷50}$                       أقسمُ البَسْطَ والمَقامَ على 50

$=\frac{2.28 \mathrm{mg}}{1\mathrm{g}}$                              أجد الناتج 

إذنْ، معدَّلُ الوحدةِ يُساوي $\frac{2.28 \mathrm{mg}}{1\mathrm{g}}$

:في الغرامِ الواحدِ مِنَ الفلفل الأصفر C الْخُطْوَةُ2 :أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكمّيةِ فيتامينِ

                                   أكتبُ المعدَّلَ على صورةِ كسرٍ                                   $\frac{30\mathrm{mg}}{12.5\mathrm{g}}$

$=30÷12.5$                          أكتبُ المعدَّلَ على شكلِ مسألةِ قسمةٍ

$=30÷\frac{25}{2}$                           أكتبُ الكسرَ العشريَّ على صورةِ كسرٍ غيرِ فعليٍّ 

$=30\times \frac{2}{25}$                            أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ $\frac{25}{2}$
 

$=\frac{2.4 \mathrm{mg}}{1\mathrm{g}}$                             أَجِدُ الناتجَ في أبسطِ صورةٍ

إذنْ، معدَّلُ الوحدةِ يُساوي $\frac{2.4 \mathrm{mg}}{1\mathrm{g}}$

الْخُطْوَةُ 3: أقارنُ معدَّلَيِ الوحدةِ:

2.28 mg < 2.4 mg . بما أنَّ معدَّلَِ الوحدةِ كسرانِ لهُما المَقامُ نفسُهُ، أقارنُ البَسْطَينِ فقطْ

وبما أنَّ البسطَ في معدَّل الوحدةِ لفيتامينِ C  في الفُلفُلِ الأصفرِ أكبرُ مِنَ البسطِ في معدَّلِ الوحدةِ لفيتامينِ C في الجوّافةِ،  يكونُ الفُلفُلُ الأصفرُ مصدرًا أفضلَ لفيتامينِ C