رياضيات فصل أول

التوجيهي علمي

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

يُقال ان الاقتران $f (x)$ قابل للاشتقاق عند $x = a$ ، عندما تكون $f^{'} (a)$ موجودة،

بمعنى ان لمنحنى الاقتران $f (x)$ مماس غير رأسي عند $x = a$ ،

ويجب ان يكون الاقتران $f (x)$ متصلاً عند $x = a$ .

فاقترانات (كثيرات الحدود) قابلة للاشتقاق على كل قيم $x$ الحقيقة.

ومن الأمثلة على الاقترانات غير القابلة للاشتقاق عند نقطة:

مشتقة اقترانات خاصة :

$1) f (x) = e^{x} \Rightarrow f^{'} (x) = e^{x} 2) f (x) = \ln x \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{x} 3) f (x) = \sin x \Rightarrow f^{'} (x) = c o s x 4) f (x) = \cos x \Rightarrow f^{'} (x) = - s i n x$

مثال:

أجدُ مشتقة كل اقتران مما يلي :

$a) f (x) = 3 x^{2} - 3 e^{x} + 3 S o l u t i o n : f (x) = 3 x^{2} - 3 e^{x} + 3 f^{'} (x) = 6 x - 3 e^{x} + 0 ∴ f^{'} (x) = 6 x - 3 e^{x}$

$b) f (x) = \sqrt{x} + l n (\frac{1}{x^{3}}) S o l u t i o n : f (x) = x^{\frac{1}{2}} + l n (1) - l n (x^{3}) f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 0 - 3 l n (x) f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} - 3 \times \frac{1}{x} ∴ f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{3}{x}$

$c) f (x) = x^{3} - 2 c o s x + c o s (\frac{π}{2}) S o l u t i o n : f (x) = x^{3} - 2 c o s x + c o s (\frac{π}{2}) f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 s i n x + 0 ∴ f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 s i n x$

مثال:

إذا كان $f (x) = x^{2} (3 + \frac{1}{x})$ ، فما قيمة $f^{'} (1)$ ؟

$\begin{array}{l} S o l u t i o n : \\ f (x) = 3 x^{2} + \frac{x^{2}}{x} = 3 x^{2} + x \\ f^{'} (x) = 6 x + 1 \\ ∴ f^{'} (1) = 6 (1) + 1 = 7 \end{array}$

مثال:

إذا كان $f (x) = \frac{x^{e} - \frac{1}{\ln 2}}{e^{3}}$ ، فما قيمة $f^{'} (e)$ ؟

$S o l u t i o n : \begin{array}{l} f (x) = \frac{x^{e} - \frac{1}{l n 2}}{e^{3}} \\ = \frac{1}{e^{3}} x^{e} - \frac{1}{e^{3} l n 2} w h e r e e^{3} a n d l n 2 a r e c o n s t a n t s \\ f^{'} (x) = \frac{e}{e^{3}} x^{e - 1} \\ f^{'} (x) = \frac{x^{e - 1}}{e^{2}} = x^{e - 3} \end{array}$

مثال:

إذا كان $f (x) = \frac{e^{x}}{π} - e^{2 π}$ ، فما قيمة $f^{'} (1)$ ؟

$S o l u t i o n : \begin{array}{l} f (x) = \frac{e^{x}}{π} - e^{2 π} \\ f^{'} (x) = \frac{e^{x}}{π} w h e r e e^{2 π} = c o n s t a n t \\ f^{'} (1) = \frac{e^{(1)}}{π} = \frac{e}{π} ∴ f^{'} (1) = \frac{e}{π} \end{array}$

1. إيجاد معادلة المماس و العمودي على المماس.

سنجد كلاً من معادلة المماس والعامودي عليه لمنحنى اقتران معين عند نقطة معينة،

باستخدام أن ميل المماس هو مشتقة الاقتران عند تلك النقطة أي أن: $m = f^{'} (x)$

و ميل العمودي على المماس هو $\frac{- 1}{m_{\tan g e n t}}$ عند تلك النقطة. أي أن: $m = - \frac{1}{f^{'} (x)}$

2. الحركة في خط مستقيم

حيث ان اقتران الموقع هو s(t) (حيث t الزمن).

اقتران السرعة هو مشتقة اقتران الموقع أي أن: $v (t) = s^{'} (t)$ .

اقتران التسارع هو مشتقة اقتران السرعة أي أن: $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$ .

3. الحركة التوافقية البسيطة:

اعتماداً على العلاقة بين اقتران الموقع و السرعة و التسارع كما في الحركة في خط مستقيم.

مثال :

إذا كان الاقتران: $f (x) = l n (\frac{1}{x})$ ، فجد معادلة المماس والعامودي على المماس عند النقطة $(e, - 1)$

$S o l u t i o n : f (x) = l n (\frac{1}{x}) = l n 1 - l n x f (x) = - l n x f^{'} (x) = - \frac{1}{x} \Rightarrow f^{'} (e) = - \frac{1}{e} y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - - 1 = - \frac{1}{e} (x - e) y + 1 = - \frac{x}{e} + 1 ∴ y = - \frac{x}{e} ∴ y + 1 = e (x - e)$

مثال:

يُمثَّل الاقتران: $s (t) = t^{2} - 6 t + 12, t \geq 0$ . موقع جسم يتحرّك على خط مستقيم

حيث s الموقع بالامتار ، t الزمن بالثواني .

a) أجد سرعة الجسم وتسارعه عندما $t = 2$ .

$S o l u t i o n : s (t) = t^{2} - 6 t + 12, t \geq 0 s^{'} (t) = 2 t - 6 \Rightarrow s' (2) = 2 (2) - 6 = - 2 m / s s^{''} (t) = 2 \Rightarrow s^{''} (2) = 2 = 2 m / s$

b) أجد قِيّم t التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

$S o l u t i o n : s (t) = t^{2} - 6 t + 12, t \geq 0 s^{'} (t) = 2 t - 6 = 0 \Rightarrow t = 3 s$

c) في أيٍّ اتجاه يتحرّك الجسم عندما $t = 4$ .

$S o l u t i o n : s^{'} (t) = 2 t - 6 s' (4) = 2 (4) - 6 = 2 m / s$

في نفس الاتجاه لان السرعة موجبة .

d) متى يعود الجسم إلى موقعه الابتدائي؟

$S o l u t i o n : s (t) = s (0) t^{2} - 6 t + 12 = 12 t^{2} - 6 t = 0 t (t - 6) = 0 t = 0, t = 6 s$

رياضيات فصل أول

التوجيهي علمي

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS