رياضيات فصل ثاني

المتطابقات المثلثية 1

تعلمنا سابقًا بعض المتطابقات المثلثية الناتجة من صورة مباشرة من تعريف الاقترانات المثلثية الستة وتسمى: المتطابقات المثلثية الأساسية والتي يمكن استعمالها لإيجاد قيم الاقترانات المثلثية.

المتطابقات المثلثية الأساسية

متطابقات المقلوب: $csc \theta =\frac{1}{\sin \theta } sec \theta =\frac{1}{\cos \theta } cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }$ المتطابقات النسبية: $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta } cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$ متطابقات فيثاغورس: ${\sin }^2 \theta +{\cos }^2 \theta =1 1+{\tan }^2 \theta =se{c}^2 \theta 1+co{t}^2 \theta =cs{c}^2 \theta$ متطابقات الزاويتين المتتامتين: $$\begin{gathered} \sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\cos \theta \tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=cot \theta sec \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=csc \theta \\ \cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\sin \theta cot \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\tan \theta csc \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=sec \theta \end{gathered}$$ متطابقات الزاوية السالبة: $\sin \left(-\theta \right)=-\sin \theta \cos \left(-\theta \right)=\cos \theta \tan \left(-\theta \right)=\tan \theta$

مثال:

أجد قيمة $csc \theta$ اذا كان $\cos \theta =\frac{2}{3}$ $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\theta <\mathrm{\pi },$.

$$\begin{gathered} si{n}^2 \theta +co{s}^2 \theta =1 \\ si{n}^2 \theta +{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1 \\ si{n}^2 \theta +\frac{4}{9}=1 \\ si{n}^2 \theta =\frac{5}{9} \\ sin \theta =\pm \frac{\sqrt{5}}{3} \\ sin \theta =\frac{\sqrt{5}}{3} (\mathrm{الثاني} \mathrm{الرع} \mathrm{في} \mathrm{موجب} \mathrm{الجيب}) \\ csc \theta =\frac{1}{sin \theta }=\frac{3}{\sqrt{5}} \end{gathered}$$

ملاحظة: يمكننا كتابة المقادير المثلثية بدلالة اقتران مثلثي واحد باستعمال المتطابقات المثلثية وهذا ما يسمى بتبسيط المقادير المثلثية.

مثال:

أبسط كل من المقادير المثلثية الآتية:

$1) \cos x {\sin }^2 x-\cos x$

$$\begin{gathered} =cos x(si{n}^2 x-1) \\ =-cos x co{s}^2 x \\ =-co{s}^3 x \end{gathered}$$

$2) \tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)\sin x$

$$\begin{gathered} =\frac{sin \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}-x}\right)}{cos \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}-x}\right)} sin x \\ =\frac{cos x}{sin x} sin x=cos x \end{gathered}$$

في بعض المسائل نحتاج إلى إعادة كتابة المقادير المثلثية بحيث لا تحوي كسرًا من خلال الضرب المرافق وتطبيق متطابقات فيثاغورس.

مثال:

أعيد كتابة $\frac{1}{1-\cos x}$ بحيث لا يحتوي كسرًا.

$$\begin{gathered} \mathrm{المرافق} \mathrm{في} \mathrm{نضرب} \\ \frac{1}{\left(1-cos x\right)}\times \frac{1+cos x}{1+cos x} \\ =\frac{1+cos x}{1-co{s}^2 x} \\ =\frac{1+cos x}{si{n}^2 x} \\ =\frac{1}{si{n}^2 x}+\frac{cos x}{si{n}^2 x} \\ =cs{c}^2 x+cot x csc x \end{gathered}$$

إثبات صحة متطابقة مثلثية

لإثبات صحة متطابقة مثلثية يمكننا استعمال المتطابقات المثلثية الأساسية بالإضافة إلى تعريف المتطابقات المثلثية باتباع بعض الخطوات والمبادئ التي تساعد على ذلك ومنها:

1) البدء بأحد طرفي المتطابقة: على الأغلب نبدأ بالطرف الأكثر تعقيدًا.

2) استعمال المتطابقات المثلثية المعروفة: نستعمل بعض المهارات الجبرية للمتطابقات المثلثية لتسهيل العمل على الطرف الذي اخترته في الخطوة السابقة.

3) التحويل إلى اقتران الجيب وجيب التمام: في بعض الحالات كتابة جميع الاقترانات بدلالة اقتران الجيب وجيب التمام يفيد ويسهل إثبات المطلوب.

4) تحويل طرفي المعادلة إلى مقدار مثلثي وسيط: وذلك بالعمل على تبسيط الطرفين حتى نصل إلى شيء مشترك بين الطرفين.

مثال:

أثبت صحة كل مما يأتي:

$1) {(\sin x+\cos x)}^2+{(\sin x-\cos x)}^2=2$

$$\begin{gathered} si{n}^2 x+2sin x cos x+co{s}^2 x+si{n}^2 x-2sin x cos x+co{s}^2 x \\ =2si{n}^2 x+2co{s}^2 x=2(si{n}^2 x+co{s}^2 x) \\ =2\left(1\right)=2 \end{gathered}$$

$2) \frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{1+\sin x}{\cos x}=2sec x$

$$\begin{gathered} \frac{co{s}^2 x+{(1+sin x)}^2}{(1+sin x)cos x} \\ =\frac{co{s}^2 x+1+2sin x+si{n}^2 x}{(1+sin x)} \\ =\frac{2+2sin x}{(1+sin x)cos x} \\ =\frac{2(1+sin x)}{(1+sin x)cos x} \\ =\frac{2}{cos x}=2sec x \end{gathered}$$

$3) 1+{\tan }^2 x+\tan x sec x=\frac{1+\sin x}{{\cos }^2 x}$

$$\begin{gathered} \mathrm{الاول} \mathrm{الطرف} \\ 1+ta{n}^2 x+tan x sec x \\ =se{c}^2 x+tan x sec x \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الطرف} \\ \frac{1+sin x}{co{s}^2 x} \\ =\frac{1}{co{s}^2 x}+\frac{sin x}{co{s}^2 x} \\ =se{c}^2 x+tan x sec x \\ \mathrm{الثاني} \mathrm{الطرف} =\mathrm{الاول} \mathrm{الطرف} \end{gathered}$$

متطابقات المجموع والفرق

يمكننا استعمال مجموعة من المتطابقات لإيجاد قيمة اقتران مثلثي لمجموع زاويتين أو الفرق بينهما.

متطابقات المجموع والفرق

متطابقات المجموع: $$\begin{gathered} \sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b \\ \cos (a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b \\ \tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a \tan b} \end{gathered}$$ متطابقات الفرق: $$\begin{gathered} \sin (a-b)=\sin a \cos b-\cos a \sin b \\ \cos (a-b)=\cos a \cos b+\sin a \sin b \\ \tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a \tan b} \end{gathered}$$

مثال:

أجد قيمة كل مما يأتي دون استعمال الآلة الحاسبة:

$1) \sin 75°$

$$\begin{gathered} sin (135°-60°) \\ =sin 135° cos 60°-cos 135° sin 60° \\ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ =\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \end{gathered}$$

$2) cot \frac{7\mathrm{\pi }}{12}$

$$\begin{gathered} =cot \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \\ =\frac{1}{tan ({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{3}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{4}})}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{tan {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{3}}+tan {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{4}}}{1-tan {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{3}} tan {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{4}}}}} \\ =\frac{1}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}\left(1\right)}}} \\ =\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} \end{gathered}$$

$3) \cos 110° \cos 20°+\sin 110° \sin 20°$

$=cos(110°-20°)=cos 90°=0$

ملاحظة: يمكننا استعمال متطابقات المجموع والفرق لإثبات صحة متطابقات مثلثية أخرى.

مثال:

أثبت  صحة كل متطابقة مما يأتي:

$1) \sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)=\cos x$

$$\begin{gathered} sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)=sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}cos x-sin x cos \frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ =\left(1\right) \left(cos x\right)-sin x\left(0\right) \\ =cos x \end{gathered}$$

$2) cot \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)=\tan x$

$$\begin{gathered} cot \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)=\frac{cos \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}-x\right)}{sin \left({\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}-x\right)} \\ =\frac{sin x}{cos x} \\ =tan x \end{gathered}$$