امتحان وحدة التفاضل - استاذ بدر الرطروط

* معتمداً الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران$\mathbf{ }\mathit{f}$ ، أجب عن الفقرتين (1) ، (2) التاليتين :

1) إن مجموعة قيم x التي يكون عندها الاقتران f غير قابل للاشتقاق هي :

2) إذا كان $h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x+g\left(x\right)}$ .   حيث $g\text{'}\left(1\right)=-1 , g\left(1\right)=5$, فإن (1)'h تساوي :

3) يمثل الاقتران : $s\left(t\right)=t^3-\frac{9}{2}{t}^2+6t , t\ge 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم حيث $s$ الموقع بالامتار ، $t$ الزمن بالثواني . إن تسارع الجسم عندما كان في حالة سكون لحظي أول مرة بعد انطلاقه هو :

4) تتحرك كرة معلقة بزنبرك إلى الأعلى وإلى الأسفل ويحدد الإقتران :$s\left(t\right)=\frac{1}{2}\sin 4t$ موقع الكرة عند أي زمن لاحق ، حيث t الزمن بالثواني ، s  الموقع بالسنتيمترات . إن السرعة القياسية للكرة عند مرورها بموقع الاتزان تساوي :

5( يمكن نمذجة انتشار مرض ما في إحدى المدارس باستعمال الاقتران$p\left(t\right)=\frac{200}{1+e^{3-t}}$ حيث p(t)  العدد التقريبي للطلبة المصابين بعد t يوماً من ملاحظة المرض أول مرة في المدرسة . إن سر عة انتشار هذا المرض في المدرسة بعد 3 أيام تساوي :

6) إذا كان $f\left(x\right)=\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^3}$ ، فإن (f'(x تساوي :

7) إذا كان $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x-1}{\sqrt{x }+1}$، فإن $f^{\left(3\right)}\left(x\right)$هي :

8) إذا كان $f\left(x\right)=\sqrt[3]{7+\tan x }$ ، فإن $f\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ تساوي :

9) إذا كان $f\left(x\right)={\cos }^3\left(\frac{\mathrm{\pi }}{x}\right)$، فإن (6)'f تساوي :

10) إذا كان $u=g\left(x\right)=\frac{4}{x+1} . f\left(u\right)=u^2-4u$ فإن $\left(fgo\right)\text{'}\left(x\right)$عندما $x=3$ تساوي :

11) إذا كان $y=e^{2x}+e^{-2x}$ ، فإن $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ تساوي :

12) إذا كان (f(x) = log(sec x + tan x ، فإن (f'(x تساوي :

13) إذا كان (f(x)=ln(x(3x+b)⁴ ، حيث ميل المماس لمنحنى الاقتران 1 = x يساوي (5-) فان قيمة الثابت b هي :

14) اذا كان $f\left(x\right)=3^{(x^2-1)}$، فان إحداثيي النقطة التي يكون عندها لمنحنى الاقتران مماساً أفقياً هي :

a)      b)      c)      d)

15) إذا كان cot y = x - y فإن $\frac{dy}{dx}$ تساوي :

16) إذا كان 3y²=4x²+xy فإن معادلة العمودي على المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة (3 , 3-) هي :

17) إذا كان  $y=x^{x^2} , x>0$  فإن $\frac{d}{dx}\left(\ln y\right)$ هي :

* يعطى منحنى بالمعادلة الوسيطية :$x={\sin }^2\theta , y=4(1-\cos \theta )$ حيث $0\le \theta \le 2\mathrm{\pi }$ فأجب عن الفقرات (18) ، (19) ، (20) التالية :

18) إن مشتقة المعادلة الوسيطية هي :

19) إن إحداثيي النقطة التي يكون عندها مماس منحنى المعادلة موازياً للمحور y هي :

20( إن ميل المماس لمنحنى المعادلة عند نقطة الاصل هي :

21) إذا كان $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}$ ، فإن قيمة المقدار $x^{3}f\text{'}\text{'}\left(x\right)+2x^{2}f\text{'}\left(x\right)$ تساوي :

22) إذا كان $, \frac{dx}{dt}=6t , y=t^3-2t^2$ فإن $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ عندما 2 = t يساوي

23) إن إحداثيي النقطة الواقعة على منحنى العلاقة ${(y-4)}^4=x+2$ التي يكون عندها المماس موازياً للمستقيم $x+2y-3=0$ هي :

24) إذا كان $y^2=2\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}{e}^{\ln x}\right)$ ، فإن ميل المماس لمنحنى العلاقة y عند النقطة (1 , 1) هو :

25) يبين الشكل المجاور منحنى العلاقة $\sqrt{x}+\sqrt{y }=4$  ،  والمستقيم L الذي يمثل مماساً لمنحنى العلاقة إن مساحة المثلث المكون من المستقيم L والمحورين الإحداثيين هي :