أتحقق من فهمي (1)
3) احتمالَ وقوفِ المؤشّرِ عندَ الحرفِ M في المرّةِ الأولى فقط.
أفترض أن الحادث هو ونلاحظ أن عدد مرات تكرار الحادث مرتين من أصل 9 احتمالات
4) احتمالَ وقوفِ المؤشّرِ عندَ الحرفِ N في أيٍّ مِنَ المرّتَينِ أَوْ كلَيهِما.
أفترض أن الحادث هو ونلاحظ أن عدد مرات تكرار الحادث هي 5 مرات من أصل 9 احتمالات
أتحقق من فهمي (2)
3) احتمالَ سحبِ قطعةِ حلوى خضراءَ
أفترض أن الحادث هو A ونلاحظ أن عدد مرات تكرار الحادث 3 مرات من أصل 12 احتمال
4) احتمالَ سحبِ قطعتَيْ حلوى مختلفتَينِ في اللّونِ
أفترض أن الحادث هو B ونلاحظ أن عدد مرات تكرار الحادث 9 مرات من أصل 12 احتمال
أتحقق من فهمي (3)
3) احتمالَ ظهورِ الرقْمِ 3 مرّةً واحدةً على الأقلِّ.
أفترض أن الحادث هو A ونلاحظ أن عدد مرات تكرار الحادث 11 مرة من أصل 36 احتمال
4) احتمالَ عدمِ ظهورِ الرقْمِ 3
أفترض أن الحادث هو B ونلاحظ أن عدد مرات تكرار الحادث 25 مرة من أصل 36 احتمال
أتحقق من فهمي (4)
3) احتمالَ أَنْ يكونَ مجموعُ العددينِ الظاهرَينِ أقلَّ مِنْ 8
أفترض أن الحادث هو A ونلاحظ أن عدد مرات تكرار الحادث 21 مرة من أصل 36 احتمال
4) احتمالَ أنْ يكونَ مجموعُ العددينِ الظاهرَينِ أقلَّ مِنْ أَوْ يُساوي 8
أفترض أن الحادث هو B ونلاحظ أن عدد مرات تكرار الحادث 26 مرة من أصل 36 احتمال
أتدرب وأحل المسائل
في تجربةِ رميِ قطعتَيْ نقدٍ عشوائيًّا مرةً واحدةً، أستعملُ مخطّطَ الشجرةِ لإيجادِ احتمالِ:
1) ظهورِ صورتَينِ.
نلاحظ وجود احتمال واحد وهو (H, H)
من أصل أربع خيارات:
2) ظهورِ صورةٍ وكتابةٍ.
نلاحظ وجود احتمالين وهما (T, H)، (H, T) من أصل أربع خيارات:
3) ظهورِ صورةٍ واحدةٍ على الأقلِّ.
نلاحظ وجود 3 احتمالات وهي (T, H)، (H, T) ، (H, H) من أصل أربع خيارات:
4) عدمِ ظهورِ صورةٍ.
نلاحظ وجود احتمال واحد وهو (T, T) من أصل أربع خيارات:
في تجربةِ رميِ حجرَيْ نردٍ مرةً واحدةً عشوائيًّا، أستعملُ الجدولَ لإيجادِ احتمالِ أنْ يكونَ:
5) الرقْمانِ الظاهرانِ أقلَّ مِنْ 5
نلاحظ وجود 16 احتمال واحد من أصل 36 خياراً:
6) الرقْمانِ الظاهرانِ زوجيان.
نلاحظ وجود 9 احتمالات واحد من أصل 36 خياراً:
(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)
7) أحدُ الرقْمَينِ الظاهرَينِ أوّليًّا.
نلاحظ وجود 27 احتمال واحد من أصل 36 خياراً:
**(جميع الخيارات التي تحوي الأعداد 2 أو 3 أو 5)
سحبَتْ دينا عشوائيًّا بطاقةً مِنْ 4 بطاقاتٍ كُتِبَتْ عليها الأرقامُ 4 , 3 , 2 , 1 ورمَتْ حجرَ نردٍ مرةً واحدةً عشوائيًّا، ثُمَّ أوجدَتْ مجموعَ الرقْمَينِ الظاهرَينِ. أستعملُ مخطّطَ الاحتمالِ لأجدَ احتمالَ أنْ يكونَ مجموعُ الرقْمَينِ:
8) يُساوي 5
نلاحظ وجود 4 احتمالات من أصل 24 خياراً:
9) أكبرَ من 6
نلاحظ وجود 10 احتمالات من أصل 24 خياراً:
في تجربةَ رميِ حجرَيْ نردٍ مرةً واحدةً عشوائيًّا وإيجادِ ناتجِ جمعِ الرقْمَينِ الظاهرَينِ، أجدُ احتمالَ أنْ يكونَ مجموعُ الرقْمَينِ الظاهرَينِ:
10) يُساوي 4
يوجد 3 احتمالات:
11) يُساوي 7
يوجد 6 احتمالات:
12) أقلَّ مِنْ 4
يوجد 3 احتمالات:
13) عددًا زوجيًّا.
يوجد 18 احتمال:
14) مِنْ مضاعفاتِ العددِ 3
يوجد 10 احتمالات:
15) مربعًا كاملاً.
يوجد 7 احتمالات:
16) في إحدى الألعابِ، يُدَوَّرُ مؤشّرُ كلٍّ مِنَ الشكلَينِ المجاورَينِ مرةً واحدةً عشوائيًّا، ويحصلُ اللاعبُ على نقطةٍ إذا توقفَ مؤشّرُ كِلا الشكلَينِ على الحرفِ نفسِهِ. ما احتمالُ الحصولِ على نقطةٍ؟
يوجد 3 احتمالات يمكن من خلالها الحصول على نقطة من أصل 9 خيارات :
يحتوي كيسٌ 4 حبّاتِ كعكٍ، اثنتانِ منها بحشوةِ المُربّى، وواحدةٌ بحشوةِ الشوكولاتةِ، وواحدةٌ بحشوةِ الكريمةِ. اختارَ محمودٌ كعكةً عشوائيًّا مِنَ الكيسِ وأكلَها، ثُمَّ أخذَ كعكةً أُخرى. استعمل الجدولَ لأجدَ احتمالَ:
17) أنْ تكونَ حبّتا الكعكِ بحشوةِ المُربّى.
يوجد احتمالان من أصل 12 خياراً:
18) أنْ تكونَ إحدى حَبَّتَيِ الكعكِ بحشوةِ الكريمةِ.
يوجد 6 احتمالات من أصل 12 خياراً:
19) أنْ تكونَ حبّتا الكعكِ بحشوةِ الشوكولاتةِ.
لا يمكن أن تكون حبتا الكعك بحشوة الشوكلاتة لوجود حبة واحدة فقط
قرصانِ دائريّانِ كلٌّ مِنْهُما مقسَّمٌ إلى 4 قطاعاتٍ متطابقةٍ كُتِبَتْ عليها الأرقامُ 4 , 3 , 2 , 1 كما يظهرُ في الشكلِ المجاورِ. تَمَّ تدويرُ مؤشرَيْهِما معًا مرةً واحدةً عشوائيًّا وإيجادُ ناتجِ ضربِ الرّقْمَينِ اللَّذَينِ يقفُ عندَهُما المؤشرانِ، أجدُ احتمالَ أَنْ يكونَ ناتجُ ضربِ الرقْمَينِ:
20) يُساوي 4
يوجد 3 احتمالات من أصل 16 خياراً:
21) يُساوي 3
يوجد احتمالان من أصل 16 خياراً:
22) تبريرٌ: قُرصانِ دائريّانِ كلٌّ منهُما مقسّمٌ إِلى 8 قطاعاتٍ متطابقةٍ كُتبَتْ عليها الأرقامُ مِنْ 1 إِلى 8 تَمَّ تدويرُ مؤشرَيِ القرصَينِ معًا مرةً واحدةً عشوائيًّا، وإيجادُ ناتجِ ضربِ الرقْمَينِ اللّذَينِ يقفُ عندَهُما المؤشّرانِ. أجدُ احتمالَ أَنْ يكونَ ناتجُ ضربِ الرقْمَينِ مربعًا كاملاً زوجيًّا، مبرّرًا إجابتي.
الاحتمالات للحصول على عددين حاصل ضربهما مربعاً كاملاً زوجياً عددها 8 وهي:
(1, 4), (2, 2), (2, 8), (4, 1), (4, 4), (6, 6), (8, 2), (8, 8)
عدد عناصر الفضاء العيني 64
23) تبريرٌ: رمَتْ لمياءُ حجرَيْ نردٍ متمايزَينِ مرةً واحدةً عشوائيًّا، ثُمَّ أوجدَتْ ناتجَ ضربِ الرقْمَينِ الظاهرَينِ. أجدُ احتمالَ ألّا يكونَ ناتجُ الضربِ بَيْنَ 19 وَ 35 ، مبرّرًا إجابتي.
يوجد 8 نواتج تتراوح بين 19 و 35 مما يبقي 28 احتمالاً
لعدم الحصول على هذه الاحتمالات
24) مسألةٌ مفتوحةٌ: أصفُ تجربةً عشوائيةً، ثُمَّ أحدّدُ حادثًا مركَّبًا فيها وأجدُ احتمالَهُ.
في تجربة إلقاء حجر نرد مرتين، كان الحادث هو الحصول على ناتجين مختلفين
25) أكتب: كيفَ أجدُ احتمالَ حادثٍ مركَّبٍ باستعمالِ مخطّطِ الشجرةِ؟
1) أحدد عدد عناصر الفضاء العيني باستعمال مخطط الشجرة
2) أحدد عدد عناصر الحادث
3) احتمال الحادث يساوي عدد عناصر الحادث مقسوماً على عدد عناصر الفضاء العيني
سحبَتْ جَنى بطاقةً عشوائيًّا مِنْ كلِّ مجموعةٍ مِنْ مجموعتَيِ
البطاقاتِ المجاورةِ، ومثّلَتِ الفضاءَ العَينيَّ للنواتجِ المحتمَلةِ في
الجدولِ أدناهُ. أجدُ احتمالَ:
1) سحبِ مثلثٍ واحدٍ فقطْ.
2) سحبِ شكلَينِ لونُهُما أبيضُ.
3) سحبِ شكلَينِ لونُهُما أسودُ.
4) ألّا يكونَ أحدُ الشكلَينِ المسحوبَينِ دائرةً.
5) أنْ يكونَ عددُ أضلاعِ الشكلَينِ المسحوبَينِ أكبرَ أَوْ يُساوي 5
يملكُ سامي كيسَينِ مِنَ الكُراتِ الزجاجيةِ. ألوانُ الكراتِ في
كلِّ كيسٍ: أزرقُ، أحمرُ، أخضرُ. إذا سحبَ سامي كرةً عشوائيًّا
مِنْ كلِّ كيسٍ، فأجدُ احتمالَ:
6) أنْ يكونَ للكرتَينِ المسحوبتَينِ اللّونُ نفسُهُ.
(R, R), (R, R), (B, B), (B, B), (G, G)
7) أنْ تكونَ إحدى الكراتِ المسحوبةِ على الأقلِّ لونُها أحمرُ.
يوجد 10 احتمالات للحصول على اللون الأحمر:
في تجربةِ تدويرِ مؤشّرَيِ القرصَينِ A وَ B المجاورَينِ مرّةً واحدةً
عشوائيًّا وإيجادِ مجموعِ العددَينِ اللّذَينِ يقفُ عندَهُما مؤشّرُ كلِّ
قرصٍ، أجدُ احتمالَ أنْ يكونَ مجموعُ العددَينِ:
8) يُساوي 5
(2, 3) خيار وحيد وهو
9) أكبرَ مِنْ 5
(3, 3), (5, 1), (5, 3) :يوجد 3 احتمالات وهي
في تجربةِ رَميِ 3 قطعِ نقدٍ متمايزةٍ مرّةً واحدةً عشوائيًّا وتسجيلِ الوجهِ الظاهرِ، أستعملُ مخطّطَ الشجرةِ لأجدَ احتمالَ:
10) ظهورِ صورةٍ واحدةٍ على الأقلِّ.
يوجد 7 احتمالات وهي أول 7 احتمالات حسب الشكل
11) ظهورِ كتابةٍ مرّتَينِ فقطْ.
يوجد 3 احتمالات وهي الخيارات الرابع والسادس والسابع حسب الشكل
12) عدمِ ظهورِ كتابةٍ.
يوجد احتمال وحيد وهو ظهور 3 صور (الخيار الأول)