رياضيات فصل أول

الثامن

icon

الأعداد الحقيقية

تعلمت سابقا أن العدد النسبي عدد يمكن كتابه على صورة ab حيث a و b عددان صحيحان , b  0

وأن الأعداد النسبية جميعها عند كتابتها بالصورة العشرية تكون إما منتهية أو دورية، ومن أمثلتها الجذور التربيعية للمربعات الكاملة.

ولكن الجذور الصماء مثل 3 لا يمكن تصنيفها أعدادا نسبية؛ لأنه لا يمكن كتابتها على صورة كسر عشري منتهي أو دوري.

وعند استعمال الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة 3 تعطى الآلة الحاسبة القيمة الآتية:

3 = 1.73205080...... 


وهذا يعني أنه غير منته وغير دوري، ويسمى هذا النوع من الأعداد غير النسبية

مفهوم أساسي :

العدد الغير نسبي لا يمكن كتابته على صورة ab حيث a و b عددان صحيحان , b  0

أمثلة :

                               5 = 2.236067... ...π     =3.141592... ...

 


أتعلم :

 

تشكل الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية معا الأعداد الحقيقية ، ويوضح شکل (فن) المجاور العلاقة بينها

 

 

 

 

 

 


مثال 1  : أصنف الأعداد الحقيقية الآتية أعداداً نسبية أو أعداداً غير نسبية : 

 

1- 721

بما أن 7 و 21 أعداد صحيحة , إذن 721 عدد نسبي

2- 81

بما أن 81 = 9 , 9 عدد كلي , إذن 81 عدد نسبي

3-  -279 

بما أن -279 = -3 و 3- عدد صحيح إذن -279 عدد نسبي

4- 0.55555... ...

بما أن 0.55555... ... كسر عشري دوري وغير منته ,إذن هو عدد نسبي

5- 19

بما أن 19 = 4.35889894  كسر عشري غير دوري وغير منته ,إذن هو عدد غير نسبي

 


مثال 2  : أمثل العدد 53 على خط الأعداد

 

الخطوة 1 :أبحث عن عددين مجموع مربعيهما 53

 

 53 = 49 + 4

 53 = 72+22 

إذن طول أحد ساقي المثلث 7 وحدات وطول الآخر 2 وحدة

الخطوة 2 : أرسم مثلث قائم الزاوية

. أرسم خط أعداد على ورقة مربعات.

. أرسم مثلا قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة فيه 7 وحداتي و2 وحدة

. يمكن رسم المثل بطريقتين مثلما يظهر في الشكل المجاور.

 

 

الخطوة 3 :أعين 53 على خط الأعداد

. أفتح الفرجار فتحة مقدارها طول وتر المثلث

. أضع رأس الفرجار على 0، وأرسم قواس يقطع خط الأعداد في النقطة B.

 

 

 

أتحقق من صحة التمثيل :

ألاحظ من التمثيل أن 53  7.3 وهو يتوافق مع قيمة 53 على الآلة الحاسبة 

                                                                    53 = 7.2801098


 أتعلم   :

 

يمكنني المقارنة بين عددين حقيقيين بتحويلهما إلى الصيغة العشرية أولا؛ لتسهيل المقارنة بينهما. ويمكنني استعمال الآلة الحاسبة في ذلك.

 


مثال 3  : أضع إشارة >, <, = في  لأكون عبارة صحيحة في كل مما يأتي :

 

1- 43  132

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة    43  6.928203... ...

أستعمل الآلة الحاسبة                        132 = 6.5

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                                                   6.928203... ... > 6.5

إذن                                                     43 > 132

 

2- -12  -2

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة              -12 = -0.5

أستعمل الآلة الحاسبة   -2  -1.4142...

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                             -0.5 > -1.4142...

إذن                                           -12 > -2

 

3- 52  6.25

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة          52 = 2.5

أستعمل الآلة الحاسبة         6.25 = 2.5

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                                   2.5 = 2.5

إذن                                 52 = 6.25

 


 أتعلم   :


يمكن ترتيب مجموعة من الأعداد الحقيقية تصاعديا (من الأصغر إلى الأكبر) أو تنازليا (من الأكبر إلى الأصغر)، وذلك بتحويل كل منها إلى الصيغة العشرية أولا؛ لتسهيل المقارنة بينها وترتيبها.

 


مثال 4  : أرتب الأعداد في كل مما يأتي تصاعديا :

 

1- 113 , -3 , 10 , -1.7¯

الخطوة 1 : أحول الأعداد إلى الصيغة العشرية 

    113 = 3.666666... ....-3 =-1.73205... .... 10 = 3.1622....    1.7¯ =1.77777... ....

الخطوة 2 : أقارن بين الأعداد , ثم أرتبها تصاعديا 

الترتيب التصاعدي للأعداد هو :

          -1.7¯ , -3 , 10 , 113


مثال 5  :

كشافة: وقفت المجموعتان A و B من طلبة الكشافة في حديقة الشاطئ الجنوب في العقبة، ثم بدأت المجموعتان السير في اللحظة نفسها، فسارت المجموعة A باتجاه الشرق 500m ثم 100m باتجاه الجنوب. وسارت المجموعة B مسافة 400m باتجاه الجنوب ثم 200m باتجاه الشرق. أي المجموعتين هي الأقرب إلى حديقة الشاطئ الجنوبي؟

 

الخطوة 1 أرسم شكلا تقريبا يمثل المسألة، وأحد المطلوب.

اعتمد الاتجاهات والمسافات الموجودة في المسألة لرسم شكل تقريبي يمثل المعطيات.

ألاحظ أن مساري المجموعتين يصنعان مثلثين قائمي الزاوية .

لإيجابي أي المجموعتين هي الأقرب إلى حديقة الشاطئ الجنوبي، أجد طول وتر كل مثلث، ثم أقارن بين الطوليين.

 

 

 

 

الخطوة 2 : استعمل نظرية فيثاغورس

استعمل نظرية فيثاغورس لأجد بعد المجموعة A عن حديقة الشاطئ الجنوبي 

نظرية فيثاغورس                                            c2 = a2 + b2

أعوض  a = 500 , b = 100               c2 = 5002 + 1002

أجد القوى                                       c2 = 250000 + 10000

أجمع                                                                c2 = 260000

تعريف الجذر التربيعي                             c = ± 260000

استعمل الآلة الحاسبة                                  c  ± 509.9

 

إذن بعد المجموعة A عن الشاطئ الجنوبي 509.9m تقريباً

 

استعمل نظرية فيثاغورس لأجد بعد المجموعة B عن حديقة الشاطئ الجنوبي 

نظرية فيثاغورس                                          c2 = a2 + b2

أعوض a = 400 , b = 200              c2 = 4002 + 2002

أجد القوى                                      c2 = 160000 + 40000

أجمع                                                                c2 = 200000

تعريف الجذر التربيعي                                 c = ±200000

استعمل الآلة الحاسبة                                 c  ± 447.2

 

إذن بعد المجموعة B عن الشاطئ الجنوبي 447.2m تقريباً

الخطوة 3 :

ألاحظ أن المجموعة B أقرب إلى الحديقة الشاطئ الجنوبي من المجموعة A