رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي (مثال 1) :

أصنف الأعداد الحقيقية الآتية أعداداً نسبية أو أعداداً غير نسبية : 

6- $\sqrt[]{12}$

بما أن $\sqrt[]{12}=3.46410161... ...$ كسر عشري غير دوري وغير منته ,إذن هو عدد غير نسبي

 

7- $-\sqrt[]{64}$

بما أن $-\sqrt[]{64}=-8$ , 8- عدد كلي , إذن $-\sqrt[]{64}$عدد نسبي

 

8- $0.181818 ... ...$

بما أن $0.181818 ... ...$ كسر عشري دوري وغير منته ,إذن هو عدد نسبي

 

9- $-3\frac{2}{5}$

بما أن  $-3\frac{2}{5}=-\frac{17}{5}$      , 17 و 5 أعداد صحيحة , إذن $-3\frac{2}{5}$ عدد نسبي

 

أتحقق من فهمي (مثال 2) :

أمثل كل عدد  غير نسبي مما يأتي على خط الأعداد

 

1- $\sqrt[]{5}$

الخطوة 1 :أبحث عن عددين مجموع مربعيهما 5

$$\begin{gathered} 5 = 4 + 1 \\ 5 = 2^2+1^2 \end{gathered}$$

إذن طول أحد ساقي المثلث 4 وحدات وطول الآخر  وحدة واحدة

الخطوة 2 : أرسم مثلث قائم الزاوية

. أرسم خط أعداد على ورقة مربعات.

. أرسم مثلا قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة فيه 4 وحداتي ووحدة واحدة

 

الخطوة 3 :أعين $\sqrt[]{5}$ على خط الأعداد

. أفتح الفرجار فتحة مقدارها طول وتر المثلث

. أضع رأس الفرجار على 0، وأرسم قواس يقطع خط الأعداد في النقطة B.

 

 

 

أتحقق من صحة التمثيل :

ألاحظ من التمثيل أن $\sqrt[]{5}\approx 2.2$ ألاحظ من التمثيل أن وهو يتوافق مع قيمة $\sqrt[]{5}$ على الآلة الحاسبة 

                                                              $\sqrt[]{5}=2.2360679 ... ...$

 

2- $\sqrt[]{20}$

الخطوة 1 :أبحث عن عددين مجموع مربعيهما 20

$$\begin{gathered} 20 = 16 + 4 \\ 20 = 4^2+2^2 \end{gathered}$$

إذن طول أحد ساقي المثلث 4 وحدات وطول الآخر 2 وحدة

الخطوة 2 : أرسم مثلث قائم الزاوية

. أرسم خط أعداد على ورقة مربعات.

. أرسم مثلا قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة فيه 4 وحداتي و2 وحدة

الخطوة 3 :أعين $\sqrt[]{20}$ على خط الأعداد

. أفتح الفرجار فتحة مقدارها طول وتر المثلث

. أضع رأس الفرجار على 0، وأرسم قواس يقطع خط الأعداد في النقطة B.

 

 

 

أتحقق من صحة التمثيل :

ألاحظ من التمثيل أن $\sqrt[]{20}\approx 4.4$ ألاحظ من التمثيل أن وهو يتوافق مع قيمة $\sqrt[]{20}$ على الآلة الحاسبة 

                                                             $\sqrt[]{20}= 4.47213 ... ..$

 

3- $\sqrt[]{45}$

الخطوة 1 :أبحث عن عددين مجموع مربعيهما 45

$$\begin{gathered} 45 = 36 + 9 \\ 45 = 6^2+3^2 \end{gathered}$$

إذن طول أحد ساقي المثلث 6 وحدات وطول الآخر 3 وحدات

الخطوة 2 : أرسم مثلث قائم الزاوية

. أرسم خط أعداد على ورقة مربعات.

. أرسم مثلا قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة فيه 6 وحداتي و3 وحدات

الخطوة 3 :أعين $\sqrt[]{45}$ على خط الأعداد

. أفتح الفرجار فتحة مقدارها طول وتر المثلث

. أضع رأس الفرجار على 0، وأرسم قواس يقطع خط الأعداد في النقطة B.

 

 

 

أتحقق من صحة التمثيل :

ألاحظ من التمثيل أن $\sqrt[]{45}\approx 6.7$ ألاحظ من التمثيل أن وهو يتوافق مع قيمة $\sqrt[]{45}$ على الآلة الحاسبة 

                                                           $\sqrt[]{45}=6.708203... ...$

 

أتحقق من فهمي (مثال 3) :

أضع إشارة >, <, = في $\square$ لأكون عبارة صحيحة في كل مما يأتي :

4- $\sqrt{0.5} \square 0.9$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة    $\sqrt[]{0.5}\approx 0.707106 ... ....$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                                                 $0.707106 ... .... < 0.9$

إذن                                                     $\sqrt[]{0.5}<0.9$

5- $-\sqrt[]{16} \square -\sqrt[]{18}$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة                        $-\sqrt[]{16}=-4.0$

أستعمل الآلة الحاسبة       $-\sqrt[]{18}=4.24264 ... ....$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                                  $-4.0 > 4.24264 ... ....$

إذن                                                     $-\sqrt[]{16}>-\sqrt[]{18}$

6- $4.5 \square \sqrt[]{20.25}$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة    $\sqrt[]{20.25}=4.5$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                                                 $4.5 =4.5$

إذن                                                     $4.5=\sqrt[]{20.25}$

 

أتحقق من فهمي (مثال 4) :

أرتب الأعداد في كل مما يأتي تصاعديا :

2- $\frac{5}{3} ,\sqrt[]{3} , -\sqrt[]{6} , -1.4$

الخطوة 1 : أحول الأعداد إلى الصيغة العشرية 

$\frac{5}{3} =1.66666666667$

$\sqrt[]{3}=1.73205080757$

$-\sqrt[]{6}=-2.44948974278$

$-1.4=-1.4$

الخطوة 2 : أقارن بين الأعداد , ثم أرتبها تصاعديا 

الترتيب التصاعدي للأعداد هو :

$-\sqrt[]{6} ,-1.4 ,\frac{5}{3} , \sqrt[]{3}$

---

 

3- $-\sqrt[]{5} ,\frac{9}{5} ,-2 , \sqrt[]{3}$

الخطوة 1 : أحول الأعداد إلى الصيغة العشرية 

$-\sqrt[]{5}=-2.2360679775$

                  $\frac{9}{5}=1.8$

                $-2=-2.0$

    $\sqrt[]{3}=1.73205080757$

الخطوة 2 : أقارن بين الأعداد , ثم أرتبها تصاعديا 

الترتيب التصاعدي للأعداد هو :

$-\sqrt[]{5} ,-2 , \sqrt[]{3} ,\frac{9}{5}$

 

أتحقق من فهمي (مثال 5) :

جسم الإنسان : تمثل المعادلة $S=\sqrt[]{\frac{h\times m}{3600}}$ مساحة سطح جسم الإنسان S بالأمتار المربعة حيث h  الطول بالسنتيمترات و m الكتلة بالكيلوغرامات 

أجد مساحة سطح جسم  شاب طوله $180 cm$ وكتلته $75kg$ .  أقرب الإجابة لأقرب جزء من عشرة

 

لحساب مساحة سطح جسم الشاب           $S=\sqrt[]{\frac{h\times m}{3600}}$

أحول من CM إلى M                                $180cm=\frac{180}{100}=1.8m$

أعوض قيمة  ال H, M                                 $S= \sqrt[]{\frac{1.8\times 75}{3600}}$

 أبسط                                                            $S=\sqrt[]{0.0375}$

استعمل الآلة الحاسبة                                            $S \approx 0.2$

---

أتدرب وأحل مسائل :

 

أميز العدد النسبي من غير النسبي في الأعداد التالية 

1- $-\frac{1}{2}$

بما أن 1 و 2 أعداد صحيحة , إذن هو عدد نسبي 

2- $\sqrt[]{20}$

بما أن $\sqrt[]{20}=4.47213... ...$ كسر عشري غير دوري وغير منته ,إذن هو عدد غير نسبي

3- $5.\overline{2}$

بما أن $5.2222222 ... ...$  كسر عشري دوري وغير منته ,إذن هو عدد نسبي

4- $\frac{18}{6}$

بما أن $\frac{18}{6} = 3$ و 3 عدد كلي إذن $\frac{18}{6}$ عدد نسبي

 

أمثل كل عدد غير نسبي مما يأتي على خط الأعداد :

5- $\sqrt[]{10}$

الخطوة 1 :أبحث عن عددين مجموع مربعيهما 10

$10 = 9 + 1$

$10 = 3^2+1^2$

إذن طول أحد ساقي المثلث 3 وحدات وطول الآخر  وحدة واحدة

الخطوة 2 : أرسم مثلث قائم الزاوية

. أرسم خط أعداد على ورقة مربعات.

. أرسم مثلا قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة فيه 3 وحدات ووحدة واحدة

الخطوة 3 :أعين على خط الأعداد

. أفتح الفرجار فتحة مقدارها طول وتر المثلث

. أضع رأس الفرجار على 0، وأرسم قواس يقطع خط الأعداد في النقطة B.

 

 

 

أتحقق من صحة التمثيل :

ألاحظ من التمثيل أن $\sqrt[]{10}\approx 3.1$ وهو يتوافق مع قيمة $\sqrt[]{10}$ على الآلة الحاسبة 

                                 $\sqrt[]{10}=3.162277... ...$

 

6- $\sqrt[]{97}$

الخطوة 1 :أبحث عن عددين مجموع مربعيهما 97

$97=81+16$

$97=9^2+4^2$

 

إذن طول أحد ساقي المثلث 9 وحدات وطول الآخر 4 وحدات

الخطوة 2 : أرسم مثلث قائم الزاوية

. أرسم خط أعداد على ورقة مربعات.

. أرسم مثلث قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة فيه 9 وحدات و4 وحدات

الخطوة 3 :أعين على خط الأعداد

. أفتح الفرجار فتحة مقدارها طول وتر المثلث

. أضع رأس الفرجار على 0، وأرسم قواس يقطع خط الأعداد في النقطة B.

 

 

 

أتحقق من صحة التمثيل :

ألاحظ من التمثيل أن $\sqrt[]{97}\approx 9.8$وهو يتوافق مع قيمة $\sqrt[]{97}$ على الآلة الحاسبة 

                                   $\sqrt[]{97}=9.84885 ... ..$

 

7- $\sqrt[]{104}$

الخطوة 1 :أبحث عن عددين مجموع مربعيهما 104

$104=100+ 4$

$104={10}^2+2^2$

إذن طول أحد ساقي المثلث 10 وحدات وطول الآخر 2 وحدة

الخطوة 2 : أرسم مثلث قائم الزاوية

. أرسم خط أعداد على ورقة مربعات.

. أرسم مثلا قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة فيه 10 وحدات و2 وحدة

الخطوة 3 :أعين على خط الأعداد

. أفتح الفرجار فتحة مقدارها طول وتر المثلث

. أضع رأس الفرجار على 0، وأرسم قواس يقطع خط الأعداد في النقطة B.

 

 

 

أتحقق من صحة التمثيل :

ألاحظ من التمثيل أن$\sqrt[]{104 }\approx 10.1$ وهو يتوافق مع قيمة $\sqrt[]{104}$ على الآلة الحاسبة 

                                                    $\sqrt[]{104}=10.19803.. ...$

 

 

أضع إشارة >, <, = في $\square$ لأكون عبارة صحيحة في كل مما يأتي :

8-  $\sqrt[]{15} \square 3.9$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة  $\sqrt[]{15}=3.872983... ...$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                                               $3.872983 ... ...<3.9$              

إذن                                                   $\sqrt[]{15}<3.9$

 

9- $-3.1\square -\sqrt[]{9.61}$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة                         $-\sqrt[]{9.61}=-3.1$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                                                      $-3.1=-3.1$

إذن                                                    $-3.1=-\sqrt[]{9.61}$

 

10- $\sqrt[]{36}\square \frac{20}{3}$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة                          $\sqrt[]{36}=6.0$

أستعمل الآلة الحاسبة  $\frac{20}{3}=6.66666666667$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                                                 $6.0<6.66666666667$

إذن                                                   $\sqrt[]{36}<\frac{20}{3}$

 

11- أرتب مجموعة الأعداد  $\sqrt[]{30}, 4 , \frac{21}{4} , 5.\overline{6}$

الخطوة 1 : أحول الأعداد إلى الصيغة العشرية 

 $\sqrt[]{30}=5.477225575$

        $4=4.0$

        $\frac{21}{4}=5.25$

   $5.\overline{6} =5.666666 ... ....$

الخطوة 2 : أقارن بين الأعداد , ثم أرتبها تصاعديا 

الترتيب التصاعدي للأعداد هو :

$4 , \frac{21}{4} , \sqrt[]{30} , 5.\overline{6}$

 

12- بلاط : يبين الشكل المجاور بلاطة من السيراميك  مربعة الشكل طول ضلعها $15 cm$ , أجد طول قطر البلاطة  , ثم أحدد ما إذا كان العدد نسبيا أم غير نسبي

نظرية فيثاغورس                                      $c^2= a^2+b^2$  

أعوض  $a=15 , b=15$                          $c^2= {15}^2+{15}^2$

أجد القوى                                                   $c^2= 225+ 225$

أجمع                                                                  $c^2=450$

تعريف الجذر التربيعي                                     $c=\pm \sqrt{450}$

استعمل الآلة الحاسبة                               $c\approx \pm 21.213$

عدد غير نسبي لانه الناتج كسر عشري غير دوري وغير منتهي 

 

 

13- أجد أطوال أضلاع المجهولة في الشكل المجاور 

المثلث رقم 1 ( الاول من جهة اليسار )

نظرية فيثاغورس                                            $c^2 = a^2 + b^2$

أعوض  $a = 1 , b = 1$                                 $c^2 = 1^2 + 1^2$

أجد القوى                                                            $c^2 = 1 + 1$

أجمع                                                                           $c^2 = 2$  

تعريف الجذر التربيعي                                            $c=\sqrt[]{2}$

المثلث رقم 2 ( المثلث الذي في الوسط )                        

نظرية فيثاغورس                                           $c^2 = a^2 + b^2$

أعوض  $a=1 , b=\sqrt[]{2}$                              $c^2=1^2+ {\left(\sqrt[]{2}\right)}^2$

أجد القوى                                                            $c^2 = 1 + 2$

أجمع                                                                         $c^2 = 3$

تعريف الجذر التربيعي                                              $c=\sqrt[]{3}$

المثلث رقم 3 (الاول من جهة اليمين )

نظرية فيثاغورس                                        $c^2 = a^2 + b^2$

أعوض $a=1 , b=\sqrt[]{3}$                   $c^2= 1^2 + {\left(\sqrt[]{3}\right)}^2$

أجد القوى                                                        $c^2 =1+3$

أجمع                                                                   $c^2=4$        

 تعريف الجذر التربيعي                                    $c=\sqrt[]{4}=2$

 

14- أي الطائرتين في الشكل الآتي أقرب إلى قاعدة البرج ؟

استعمل نظرية فيثاغورس لأجد بعد الطائرة A عن قاعدة البرج

نظرية فيثاغورس                                            $c^2 = a^2 + b^2$

أعوض  $a = 5 , b = 6$                                  $c^2 = 5^2 + 6^2$

أجد القوى                                                        $c^2 = 25 + 36$

أجمع                                                                          $c^2 = 61$

تعريف الجذر التربيعي                                       $c=\pm \sqrt[]{61}$

استعمل الآلة الحاسبة                                  $c\approx \pm 7.810$

 

إذن بعد الطائرة A عن قاعدة البرج $7.810 km$ تقريبا

 

استعمل نظرية فيثاغورس لأجد بعد الطائرة B عن قاعدة البرج

نظرية فيثاغورس                                            $c^2 = a^2 + b^2$

أعوض  $a=7, b=3$                                 $c^2 = 7^2 + 3^2$

أجد القوى                                                          $c^2 = 49 + 9$

أجمع                                                                         $c^2 = 58$

تعريف الجذر التربيعي                                           $c=\sqrt[]{58}$

استعمل الآلة الحاسبة                                    $c\approx \pm 7.615$

 

إذن بعد الطائرة B عن قاعدة البرج $7.615km$ تقريبا

 

الخطوة 3 :

ألاحظ أن الطائرة B أقرب إلى قاعدة البرج من الطائرة A

 

15- إجراءات السلامة  : لأضع السلم المستند إلى حائط في وضع آمن , يجب أن يكون طوله $0.3\sqrt[]{x^2+16x^2}$  حيث X بعد قاعدة السلم عن الحائط بالمتر 

إذا كانت قاعدة السلم تبعد عن الحائط $1.5 m$ , فهل طول السلم عدد نسبي أم غير نسبي 

$x=1.5$

أعوض                                              $0.3\sqrt[]{x^2+16x^2} =0.3\sqrt[]{{\left(1.5\right)}^2+16{\left(1.5\right)}^2}$

أجد القوى                                         $= 0.3\sqrt[]{2.25+16\times 2.25}$

أبسط                                                                   $= 0.3\sqrt[]{38.25}$

استعمل الالة الحاسبة                                  $= 1.85539\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}$

عدد غير نسبي لانه كسر عشري غير دوري وغير منتهي

 

 

 

---

أسئلة كتاب التمارين :

أصنف الأعداد الحقيقية الآتية أعداداً نسبية أو أعداداً غير نسبية :

1-  $2.{83}^2$

$2.{83}^2 = 8.0089$  كسر عشري منتهي إذن هو عدد نسبي

 

2-  $\sqrt[]{36}$

$\sqrt[]{36}= 6$  :   6 عدد كلي إذن هو عدد نسبي

 

3-   $\mathrm{\pi }+2$

$\mathrm{\pi }+2=5.141592.. ....$ الناتج كسر عشري غير دوري وغير منتهي , إذن هو عدد غير نسبي 

4- $\frac{\sqrt[]{3}}{6}$

$\frac{\sqrt[]{\mathbf{3}}}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{288675}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}$ الناتج كسر عشري غير دوري وغير منتهي , إذن هو عدد غير نسبي 

 

أضع إشارة >, <, = في $\square$ لأكون عبارة صحيحة في كل مما يأتي :

 

5- $\sqrt[]{1.21} \square 1.2$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة             $\sqrt[]{1.21 }=1.1$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                             $1.1<1.2$

إذن                                 $\sqrt[]{1.21}<1.2$        

 

6-    $\sqrt[]{48}\square 4\sqrt[]{3}$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة             $\sqrt[]{48}=6.92820... ...$

أستعمل الآلة الحاسبة             $4\sqrt[]{3}=6.92820... ..$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                             $6.92820... ..=6.92820... ..$

إذن                                         $\sqrt[]{48}=4\sqrt[]{3}$

 

7- $5.2\square \frac{26}{5}$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة             $\frac{26}{5}=5.2$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                                     $5.2=5.2$

إذن                                         $5.2=\frac{26}{5}$

 

8- $-\sqrt[]{10} \square -3\frac{1}{2}$

الخطوة 1  : أحول العددين إلى الصيغة العشرية

أستعمل الآلة الحاسبة             $-\sqrt[]{10}=-3.16227... ...$

أستعمل الآلة الحاسبة           $-3\frac{1}{2}=-3.5$

الخطوة 2  : أقارن بين العددين

بما أن                             $-3.16227...\hspace{0.17em}..>-3.5$

إذن                                         $-\sqrt[]{10}>-3\frac{1}{2}$

 

أرتب كل مجموعة أعداد مما يأتي تصاعديا 

9-  $\sqrt[]{12} , \sqrt[]{10} , 3.65 , 3.\overline{2}$

الخطوة 1 : أحول الأعداد إلى الصيغة العشرية 

$\sqrt[]{12}=3.4641... ...$

$\sqrt[]{10}=3.1622... ...$

       $3.65=3.65$

 $3.\overline{2}=3.2222... ...$

الخطوة 2 : أقارن بين الأعداد , ثم أرتبها تصاعديا 

الترتيب التصاعدي للأعداد هو :

$\sqrt[]{10} , 3.\overline{2} ,\sqrt[]{12} , 3.65$

 

10- $-\sqrt[]{7},-\sqrt[]{10} ,-2.61 ,-2.\overline{6}$

الخطوة 1 : أحول الأعداد إلى الصيغة العشرية 

$-\sqrt[]{7}=-2.645... ...$

$-\sqrt[]{10}=-3.1622... ...$

      $-2.61-2.61$

$-2.\overline{6}=-2.6666... ...$

الخطوة 2 : أقارن بين الأعداد , ثم أرتبها تصاعديا 

الترتيب التصاعدي للأعداد هو :

$-\sqrt[]{10} ,-2.\overline{6} ,-\sqrt[]{7} ,-2.61$

 

11- سياج : يبين الشكل المجاور سياجا سلكيا مع أعمدة خشبية , حيث يثبت السياج باستعمال دعامة قطرية .

أحدد ما إذا كان طول الدعامة القطرية يمثل عددا نسبيا أم لا , مبررا إجابتي 

نظرية فيثاغورس                                             $c^2 = a^2 + b^2$

أعوض  $a=8 , b=4$                                          $c^2=8^2+4^2$

أجد القوى                                                             $c^2 =64+16$

أجمع                                                                           $c^2=80$      

تعريف الجذر التربيعي                                            $c=\pm \sqrt[]{80}$

استعمل الآلة الحاسبة                                  $c \approx \pm 8.944....$

لا يمثل عدد نسبي لأنه كسر عشري غير دوري وغير منتهي 

 

12- أمثل $\sqrt[]{17}$ على خط الأعداد

الخطوة 1 :أبحث عن عددين مجموع مربعيهما 17

$17=16+1$

$17=4^2+1^2$

إذن طول أحد ساقي المثلث 4 وحدات وطول الآخر  وحدة واحدة

الخطوة 2 : أرسم مثلث قائم الزاوية

. أرسم خط أعداد على ورقة مربعات.

. أرسم مثلا قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة فيه 4 وحدات ووحدة واحدة

الخطوة 3 :أعين على خط الأعداد

. أفتح الفرجار فتحة مقدارها طول وتر المثلث

. أضع رأس الفرجار على 0، وأرسم قواس يقطع خط الأعداد في النقطة B.

 

 

 

أتحقق من صحة التمثيل :

ألاحظ من التمثيل أن $\sqrt[]{17}\approx 4.1$ وهو يتوافق مع قيمة $\sqrt[]{17}$ على الآلة الحاسبة 

                                                          $\sqrt[]{17}=4.123105... ...$

 

13- أي النقاط على الخط الأعداد المجاور هي أفضل تمثيل ل $-\sqrt[]{7}$ ؟ 

استعمل الآلة الحاسبة    $-\sqrt[]{7}\approx -2.6$  

أفضل تمثيل ل $-\sqrt[]{7}$  هو S 

 

أجد عددين  A و B  غير نسبيين يحققان  ما يأتي :  

 

14- $A+B$ عدد نسبي

$A=-\mathrm{\pi }, \mathrm{B}=\mathrm{\pi }$

 

15- $A\times B$ عدد نسبي 

$A=\sqrt[]{2},B=\sqrt[]{2}$

$A\times B=\sqrt[]{2}\times \sqrt[]{2}=2$