التكامل غير المحدود

سؤال: ما هو الاقتران الذي مشتقته هو الاقتران f(X) = 2X

جواب: F(X) = X²

F(X) = X²+1

F(X)= X² -21 

 نلاحظ أن هناك عدد لا نهائي من هذه الاقترانات ولكن جميعها تكون مشتقتها  هي f(x) = 2x  (مشتقة الثابت هي صفر)

 

وبصورة عامة نسمي الاقتران F(X) بالاقتران الأصلي الذي مشتقته تساوي f(x) ، حيث f(x) يسمى الاقتران المكامل، أي أن

f(x) = $\frac{d}{dx}$[F(x)+C]

حيث f(x)  متصل ، c  ثابت

مثال: جد الاقتران الأصلي لكل من:

$1\left)\mathrm{f}\right(\mathrm{X})=6{\mathrm{X}}^5$

$\mathrm{F}\left(\mathrm{X}\right)={\mathrm{X}}^6 +\mathrm{C} (\mathrm{لأن} \mathrm{مشتقة} \mathrm{F}(\mathrm{X}) \mathrm{هي} 5{\mathrm{X}}^{6 })$

$2) \mathrm{f}(\mathrm{X})= -2{\mathrm{X}}^{-5}$

( لأن مشتقة F(X) هي2X^-5- ) $\mathrm{F}\left(\mathrm{X}\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{X}}^{-4}+\mathrm{C}$

وأنه يمكن أيضا كتابة هذه العلاقة في صورة المعادلة الآتية:

                                                            $\int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} = \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right) + \mathrm{c}$

تسمى المعادلة السابقة التكامل غير المحدود للاقتران f(x)، ويسمى($\int$) رمز التكامل، ويسمى الاقتران f(x) المكامل، ويسمى c ثابت التكامل،أما dx فرمز يشير الى أن التكامل يتم بالنسبة الى المتغير x الذي يسمى متغير التكامل.

مثال: جد $\int 4x^{3}dx$

 الحل: x⁴+ C

قواعد التكامل غير المحدود:

1) اذا كان k عددا حقيقيا، فأن:

$$\begin{gathered} 1) \int \mathrm{Kdx} = \mathrm{Kx}+\mathrm{C} \mathrm{الثابت} \mathrm{تكامل} \\ 2) \int {\mathrm{X}}^{\mathrm{n} }\mathrm{dx} = \frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1 }}{\mathrm{n}+1}+ \mathrm{C} \mathrm{القوة} \mathrm{تكامل} \end{gathered}$$

 

 

مثال: جد كلا من التكاملات الآتية:

 

$1) \int 2\mathrm{dx} = 2\mathrm{x} +\mathrm{C}$

$2)\int {\mathrm{X}}^5\mathrm{dx} = \frac{{\mathrm{x}}^6}{6}+\mathrm{c}$

$3) \int {\mathrm{x}}^{-3}\mathrm{dx} = \frac{{\mathrm{x}}^{-2}}{-2}+\mathrm{C}$

 

 

1) اذا كان k ثابتا، فإن:

    تكامل الاقتران المضروب في ثابت                                                                    $1)\int Kf(x)dx =K\int f(x)dx$

تكامل المجموع أو الفرق                                                             $2)\int (f\left(x\right)\pm g\left(x\right))dx = \int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

 

مثال:أجد كلا من التكاملين الآتيين:

$1) \int 2{\mathrm{x}}^8\mathrm{dx} = \frac{2{\mathrm{x}}^9}{9}+\mathrm{C}$

$2) \int (3{\mathrm{X}}^{-4}+ 2 {\mathrm{X}}^{\frac{-1}{2}})\mathrm{dx} = 3\frac{{\mathrm{x}}^{-3}}{-3}+ 2 \frac{{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}+ \mathrm{c}= -{\mathrm{x}}^{-3}+4 {\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}+\mathrm{C}$

 

لإيجاد تكامل اقتران يحتوي ضرب أو قسمة حدود تحتاج الى كتابة المكامل بصورة حدود جبرية على شكل اقتران قوة ثم اجراء عملية التكامل.

مثال:أجد كلا من التكاملات الآتية:

 

$$\begin{gathered} 1)\int \frac{(x-2x^3)}{x}dx ( \mathrm{البسط} \mathrm{على} \mathrm{المقام} \mathrm{بتوزيع}) \\ \int (\frac{x}{x}-\frac{2x^{3^{}}}{x})dx \\ \int (1-2x^2)dx= x-\frac{2}{3}{x}^3+C \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 2)\int \frac{(X+1)(X-1)}{\sqrt[3]{X}}dx \\ \int x^{\frac{-1}{3}}(x^2-1) dx = \int (x^{\frac{5}{3}}- x^{\frac{-1}{3}})dx =\frac{3}{8}{x}^{\frac{8}{3}}-\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}} +C \end{gathered}$$

 

تكامل ax+b)ⁿ)

اذا كان  a وbعددين حقيقيين، وكانت 0≠a،فأن:

 

$\int {(ax+b)}^{n}dx = \frac{1}{a(n+1)}{(ax+b)}^{n+1}+C$

 

 

مثال:

أجد كل من التكاملات الآتية:

$1)\int {(3x-1)}^{5}dx = \frac{1}{3\left(6\right)}{(3x-1)}^6+C=\frac{1}{18}{(3X-1)}^6+C$

 

$2)\int \frac{1}{\sqrt[3]{{(5X-2)}^2}}dx = \int {(5x-2)}^{\frac{-2}{3}}dx= \frac{1}{5\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}{(5x-2)}^{\frac{1}{3}}+C= \frac{3 }{5}\sqrt[3]{(5x-2)}+C$

  

 

الشرط الأولي:

يجب إيجاد قيمة  ثابت التكامل في بعض التطبيقات مثل إيجاد قاعدة اقتران اذا علمت مشتقته حيث يتطلب إيجاد نقطة تحقق الاقتران الأصلي التي تساعدنا في إيجاد قيمة C عند تعويضها وتسمى هذه النقطة الشرط الأولي.

 

مثال: أجد قاعدة الاقترانf(x) علماً بأن f'(x) = 2x+3  ، ويمر منحناه بالنقطة (2,2)

$f\left(x\right)=\int f\text{'}\left(x\right)dx=\int (2x+3)dx = x^2+3x+c$

 لإيجاد قيمة C وذلك  أعوض النقطة المعطاة في الاقتران

$$\begin{gathered} f\left(x\right)= x^{2 }+ 3x+c \\ f\left(2\right)=2 \\ 2= {\left(2\right)}^2+ 3\left(2\right) +c \\ 2=10+c \\ c= -8 \\ f\left(x\right) = x^2+3x-8 \end{gathered}$$

 

 

تطبيقات التكامل : معادلات الحركة:

***تعلمت سابقا:

1) مشتقة المسافة بالنسبة الى الزمن تعطي السرعة اللحظية.

2) مشتقة السرعة بالنسبة الى الزمن تعطي التسارع اللحظي.

***والآن سوف نتعلم ان:

1) تكامل التسارع بالنسبة الى الزمن يعطي السرعة اللحظية.

2) تكامل السرعة بالنسبة الى الزمن يعطي المسافة.

 

مثال:احسب سرعة جسيم بعد ثانيتين من بدء حركته علما بأنه بدأ الحركة من السكون و بتسارع 5mls²

$$\begin{gathered} v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int 5dt=5t+c \\ v\left(0\right) =0 \\ 5\left(0\right) +c = 0 \\ c=0 \\ v\left(t\right)=5t \\ v\left(2\right)= 5\left(2\right)= 10mls \end{gathered}$$