رياضيات فصل ثاني

 التــــمـــــدد

 التَمَدُّدُ :هُوَ تَحْوِيلٌ هَنْدَسِيٌّ يَكْبُرُ الشَكْلَ أَوْ يَصْغُرُهُ مِن نُقْطَةٍ ثابِتَةٍ تُسَمَّى مَرْكَزَ التمدد  (C) 

وَبِنِسْبَةٍ مُحَدَّدَةٍ  تُسَمَّى مَعامِلُ التَمَدُّدِ (K) .

أتعلّم :
1- قد يكون التمدد تصغيرًا وقد يكون تكبيرًا .
2- لا يمكن أن يكون معامل التمدد K=1 ، لأنه بذلك سيفقد معنى التمدد.
3- يكون التمدد تكبيرًا إذا كان معامل التمدد أكبر من واحد : K>1 .
 

 

 

4-يكون التمدد تصغيرًا إذا كان معامل التمدد أصغر من واحد : K<1 .

 

 

 

 

 ملاحظة مهمة :  في أي نسبة (كسر) :
1- إذا كان البسط أكبر من المقام يكون الناتج أكبر من 1.
2-إذا كان البسط أصغر من المقام يكون الناتج أصغر من 1.

---

مثال 1 :جد معامل التمدد في كل مما يأتي ، ثم حدد ما إذا كان التمدد تكبيراً أم تصغيراً:
 

معامل التمدد = $\frac{\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{أحد}\mathbf{ }\mathbf{الأضلاع}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{الصورة} }{\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{الضلع}\mathbf{ }\mathbf{المناظر}\mathbf{ }\mathbf{له}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{الشكل}\mathbf{ }\mathbf{الأصلي}}$

$k= \frac{P\text{'}R\text{'}}{PR}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$ 

لاحظ أن k=3/7  ، أي أنّه أصغر من 1 وأكبر من 0 ,
ولذلك سيكون التمدد هنا تصغيراً .

---

معامل التمدد = $\frac{\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{أحد}\mathbf{ }\mathbf{الأضلاع}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{الصورة} }{\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{الضلع}\mathbf{ }\mathbf{المناظر}\mathbf{ }\mathbf{له}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{الشكل}\mathbf{ }\mathbf{الأصلي}}$
$k= \frac{A\text{'}P\text{'}}{AP}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$

لاحظ أن k=8/3  , أي أنّه أكبر من 1 
ولذلك سيكون التمدد هنا تكبيراً .

أتعلّم :

لإيجاد إحداثيات الصورة الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل ، نضرب الإحداثيين  x,y لكل نقطة في الشكل الأصلي في معامل التمدد k .   

بالرموز :  (kx, ky)→(x, y)

 

---

مثال 2 :
1)  إحداثياتُ رؤوسِ الشكلِ الرباعيِّ  VZXW هي : V(-2,2) ,Z(-1,3), X(1, 2.5) ,W(2, 1) , أمثل بيانياً الشكل VZXW , وصورته الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل , ومعاملُهُ 2.5 . 

الصورة	الشكل الأصلي
(2.5x,2.5y)	(x,y)
V`(-5,5)	V(-2,2)
Z`(-2.5 ,7.5)	Z(-1,3)
X`(2.5 ,6.25)	X(1, 2.5)
W`(5 , 2.5)	W(2 , 1)

 

---

2)  إحداثياتُ رؤوسِ   PQR$∆$ هي : P(4, 4) , Q(8, 0), R(6,-2)   , أمثل بيانياً الشكل PQR$∆$, وصورته الناتجة عن تمدد مركزه نقطة الأصل , ومعاملُهُ $\frac{1}{2}$. 

الصورة	الشكل الأصلي
(2.5x,2.5y)	(x,y)
P`(-5,5)	P(-2,2)
Q`(-2.5 ,7.5)	Q(-1,3)
R`(2.5 ,6.25)	R(1, 2.5)

 

أتعلّم : 

يمكن أن يكون معامل التمدّد سالباً  , والاختلاف سيكون أن الشكل سيتأثر بدوران مقداره $°180$  ، وفي الشكل المجاور توضيح للفكرة . 

 

 

 

 

 

 

معلومة قيّمة : 
1-  إذا علمتُ أن الشكل انعكس حول محور X  , نعكس إشارة الإحداثي Y فقط .

2- إذا علمت أن الشكل انعكس حول محور  Y , نعكس إشارة الإحداثي X فقط .

---

مثال 3 :

إحداثيات رؤوس FGH∆ هي: F(-4,-2) ,G(-2,4) , H(-2,-2) , أمثل بيانيا FGH∆ وصورته الناتجة عن تمدد مؤكزه نقطة الأصل ومعامله $\frac{1}{2}-$ .

الحل :
 نضرب إحداثيات كل نقطة (إحداثي X, إحداثي Y) بــ $\frac{1}{2}-$ , لنكون الإحداثيات الجديدة للصورة .

 

الصورة	الشكل الأصلي
(0.5x, -0.5y-)	(x, y)
F`(2,1)	F(-4,-2)
G`(1, -2)	G(-2,4)
H`(1, 1)	H(-2, -2)

ثم نمثل الشكل وصورته بيانياً حسب الإحداثيات.