رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة اتحقق من فهمي

 

x	3	6	9	12
y	12	6	4	؟؟؟

y وَ x يمثّلُ الجدولُ المجاورُ علاقةً بينَ المتغيّرَين

3) أبيّنُ أنَّ x وy متناسبانِ عكسيًّا، ثمَّ أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ k

 أَجِدُ x × y للقِيَمِ المتناظِرةِ جميعِها:

$\mathrm{x}\times \mathrm{y} \underset{}{\to }3 \times 12 = 6 \times 6 = 9 \times 4 = 36$

.k = وثابت التناسُبِ 36  y وَ x متساوٍ للأزواجِ المرتَّبةِ جميعِها، إذنْ، توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ عكسيٍّ بينَ المتغيّرَينِ x×y  ناتجَ

4) أكتبُ معادلةَ التناسُبِ العكسيِّ، ثم أَجِدُ القيمةَ المجهولةَ في الجدولِ.

$\mathrm{y}=\frac{36}{\mathrm{x}}$                            أكتبُ معادلةَ التناسُبِ العكسيِّ

$\mathrm{y}=\frac{36}{12}$                            أُعوّضُ x=12 في المعادلةِ 

y=3                                    أَجِدُ الناتجَ  

 

يمثّلُ الجدولُ المجاورُ العلاقةَ بينَ عددِ العُمّالِ وَالزمنِ اللازمِ لبناءِ سورٍ:

عدد العمال	ا لزمن  h
2	12
4	6
6	4
8	3

3) أبيّنُ أنَّ عددَ العُمّالِ وَالزمنَ متناسبانِ عكسيًّا، ثمَّ أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ k

 أَجِدُ x × y للقِيَمِ المتناظِرةِ جميعِها:

$\mathrm{y}\times \mathrm{x}\underset{}{\to }2 \times 12=4 \times 6=6 \times 4 =8\times 3=24$

.k = وثابت التناسُبِ 24  y وَ x متساوٍ للأزواجِ المرتَّبةِ جميعِها، إذنْ، توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ عكسيٍّ بينَ المتغيّرَينِ x × y  ناتجَ

4) أكتبُ معادلةَ العلاقةِ.

$\mathrm{y}=\frac{24}{\mathrm{x}}$

 

 y وَ x يبين الشكل المجاورُ علاقةً بينَ المتغيّرَين

3) أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ k

من الرسم نعوض قيمة x,y في المعادلة لايجاد قيمة k

 $$\begin{gathered} \mathrm{k}=\mathrm{x}\times \mathrm{y} \\ =4\times 6 \\ = 24 \end{gathered}$$

4) أكتبُ معادلةَ التناسُبِ العكسيِّ.

$\mathrm{y}=\frac{24}{\mathrm{x}}$

 

 

يبيّنُ الجدولُ المجاورُ العلاقةَ بينَ عددِ العُمّالِ وَالزمنِ الّذي يستغرقونَهُ في طِلاءِ أحدِ المنازلِ:

   

عدد العمال	الزمن h
2	4
4	2
8	1

1) أحددُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ طرديٍّ أَمْ عكسيٍّ.

 أَجِدُ x × y للقِيَمِ المتناظِرةِ جميعِها:

$\mathrm{x}\times \mathrm{y}\underset{}{\to }2 \times 4=4 \times 2=8\times 1 =8$

.k = وثابت التناسُبِ 8  y وَ x متساوٍ للأزواجِ المرتَّبةِ جميعِها، إذنْ، توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ عكسيٍّ بينَ المتغيّرَينِ x × y  ناتجَ

2) أمثّلُ العلاقةَ بيانيًّا.

انظر الرسم البياني المجاور 

3) أَجِدُ الزمنَ الّذي يحتاجُهُ 5 عُمّالٍ لطلاءِ المنزلِ.

بالتعويض في معادلة التناسب العكسي x=5

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\frac{8}{\mathrm{x}} \\ =\frac{8}{5} \\ =1.6 \end{gathered}$$

يحتاج 5 عمال زمن 1.6 ساعة

---

---

حلول أسئلة اتدرب وأحل المسائل

أحددُ أيُّ العلاقاتِ الآتيةِ تمثّلُ تناسبًا طرديًّا وأيُّها تمثّلُ تناسبًا عكسيًّا:

x	-2	2	4	6
y	-1	1	2	3

1)

ألاحظُ مِنَ الجدولِ أنَّهُ كلّما ازدادَت قيم x ازدادَت قيم y حسب معادلة التناسب الخطي لذا، العلاقةُ تمثِّلَ تناسبًا طرديًّا  k=0.5

 

2)

x	0.5	1	3	6
y	6	3	1	0.5

ألاحظُ مِنَ الجدولِ أنَّهُ كلّما ازدادَت قيم x انخفضَتْ قيم y  لذا، لا يُمكنُ أنْ تمثِّلَ العلاقةُ تناسبًا طرديًّا

أختبرُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ تمثّلُ تناسبًا عكسيًّا:

$\mathrm{x}\times \mathrm{y}\underset{}{\to } 0.5\times 6=3 , 1\times 3=3 , 3\times 1=3 , 6\times 0.5=3$

العلاقةُ تمثّلُ تناسبًا عكسيًّا k=3

3)

x	2	5	8	20
y	10	4	2.5	1

ألاحظُ مِنَ الجدولِ أنَّهُ كلّما ازدادَت قيم x انخفضَتْ قيم y  لذا، لا يُمكنُ أنْ تمثِّلَ العلاقةُ تناسبًا طرديًّا

أختبرُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ تمثّلُ تناسبًا عكسيًّا:

$\mathrm{x}\times \mathrm{y}\underset{}{\to } 2\times 10=20, 5\times 4=20 , 8\times 2.5=20 , 20\times 1=20$

العلاقةُ تمثّلُ تناسبًا عكسيًّا k=20

4)

x	2	4	8	11
y	1.5	3	6	8.25

ألاحظُ مِنَ الجدولِ أنَّهُ كلّما ازدادَت قيم x ازدادَت قيم y حسب معادلة التناسب الخطي لذا، العلاقةُ تمثِّلَ تناسبًا طرديًّا  k=0.75

 

 

أحددُ أيُّ العلاقاتِ الآتيةِ تمثّلُ تناسبًا طرديًّا وأيُّها تمثّلُ تناسُبًا عكسيًّا، وأيُّها لا تُمثّلُ أيًّا منهُما، مبررًا إجابتي: 

 

 

 

 

 

 

 

 

أحددُ أيُّ العلاقاتِ الآتيةِ تمثّلُ تناسبًا طرديًّا وأيُّها تمثّلُ تناسبًا عكسيًّا، وأيُّها لا تُمثّلُ أيًّا منهُما، مبررًا إجابتي:

8)  xy=8 $\underset{}{\leftarrow }$ عكسي حاصل ضرب  $\mathrm{x}\times \mathrm{y}$ يساوي ثابت = 8 

9)  y-x=0

 $\underset{}{\leftarrow }$طردي ، المعادلة على صورة y=kx $\underset{}{\leftarrow }$ $\mathrm{y}=\left(1\right)\mathrm{x}$

10) $\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{=}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{x}}$

 $\underset{}{\leftarrow }$ $\mathrm{y}=\frac{7}{\mathrm{x}}+2$ , لا تمثل أي منهما.ليست على الصورة y=kx أو  yx=k

11) $\mathbf{2}\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{x}}$

$\underset{}{\leftarrow }$ $\mathrm{xy}=\frac{3}{2}$ عكسي لأن حاصل الضرب y,x ثابتا ويساوي $\frac{3}{2}$

12)  y=x+9 

$\underset{}{\leftarrow }$لا تمثل أي منهما.ليست على الصورة y=kx أو  yx=k

13) $\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}\mathbf{x}}$

$\underset{}{\leftarrow }$عكسي لأن حاصل الضرب y,x ثابتا $\frac{5}{2}$

 

أكتبُ معادلةَ التناسُبِ العكسيِّ في كلٍّ ممّا يأتي:

14)

من الرسم نعوض قيمة x,y في المعادلة لايجاد قيمة k

$$\begin{gathered} \mathrm{k}=\mathrm{x}\times \mathrm{y} \\ =1\times 4 \\ =4 \\ \mathrm{y}=\frac{4}{\mathrm{x}} \underset{}{\to \mathrm{yx}=4} \end{gathered}$$

 

15)

من الرسم نعوض قيمة x,y في المعادلة لايجاد قيمة k

$$\begin{gathered} \mathrm{k}=\mathrm{x}\times \mathrm{y} \\ =2\times 6 \\ =12 \\ \mathrm{y}=\frac{12}{\mathrm{x}} \underset{}{\to \mathrm{yx}=12} \end{gathered}$$

 

 

 

 

عد د العمال	الزمن h
1	48
2	24
6	8
12	4

16) يمثّلُ الجدولُ المجاورُ العلاقةَ بينَ عددِ العمّالِ وساعاتِ العملِ اللازمةِ لتعبئةِ إنتاجِ بستانٍ مِنَ البرتقالِ في صناديقَ.  

أبيّنُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ بينَ عددِ الساعاتِ وَعددِ العُمّالِ تمثلُ تناسبًا عكسيًّا أمْ لا.

  أَجِدُ x × y للقِيَمِ المتناظِرةِ جميعِها:

$\mathrm{x}\times \mathrm{y}=1\times 48=48 , 2\times 24=48 ,6\times 8=48 ,12\times 4=48$

عدد العمال مضروبا في الزمن ثابت ويساوي 48 ، التناسب عكسي.

 

   

طول قطعة x ا لارض	طول قطعة الارض y
4	30
6	20
8	15
10	12

17) قطعةُ أرضٍ مستطيلةُ الشكلِ مساحتُها 120m² أكملُ الجدولَ المجاورَ الّذي يمثّلُ العلاقةَ بينَ طولِ القطعةِ وعرضِها، ثمَّ أحددُ نوعَ التناسُبِ وأمثّلُهُ بيانيًّا.

حاصل ضرب طولِ القطعةِ وعرضِها = 120 $\mathrm{k}=\mathrm{x}\times \mathrm{y}\underset{}{\to }120=\mathrm{x}\times \mathrm{y}\underset{}{\to }$

نعوض قيمة x في المعادلة لايجاد طول القطعة y

 

 

 

 

 

 

نمثل العلاقة بيانياً 

 

في كلٍّ مِنَ الجدولَينِ الآتيَينِ يتناسَبُ المتغيِّرانِ x و y عكسيًّا. أكتبُ معادلةَ كلِّ تناسُبٍ، ثمَّ أَجِدُ القِيَمَ المجهولةَ.

18) 

x	3	1	0.5	1/12
y	4	12	24	144

          نجد قيمة $\mathrm{k}=\mathrm{xy} \underset{}{\to }3\times 4=12$

          نعوض القيم المعطاة في المعادلة $\mathrm{y}=\frac{12}{\mathrm{x}}$ لايجاد القيم المفقودة 

 

19)

x	20	15	2	1.5
y	3	4	30	40

          نجد قيمة $\mathrm{k}=\mathrm{xy} \underset{}{\to }20\times 3=60$

        نعوض القيم المعطاة في المعادلة $\mathrm{y}=\frac{60}{\mathrm{x}}$ لايجاد القيم المفقودة 

 

20) أعودُ إلى فقرةِ (أستكشفُ) بدايةَ الدرسِ، وأحلُّ المسألةَ مقرِّبًا الإجابةَ لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

ارتفاع الجبل يساوي 1015 متر وبالقسمة على 100 $\stackrel{}{\leftarrow }$ 10.15 $\times$مقدار تغير الحرارة لكل 100 متر 

تختلف درجة الحرارة اعلى قمة القلعة عن مستوى سطح البحر  بمقدار 6.825 درجة مئوية 

تحدٍّ: يتناسبُ الزمنُ (t) الّذي يستلمُ فيهِ الزبائنُ طلباتِهِمْ مِنْ أحدِ المطاعمِ عكسيًّا معَ مربَّعِ عددِ العاملينَ (n) اذا احتاجَ زَبونٌ 20 دقيقةً لاستلامِ طلبِهِ عندَما يكونُ عددُ العاملينَ 4. فأُجيبُ عمّا يأتي:

21) أكتبُ معادلةً تُعطي t  بدلالة n 

$$\begin{gathered} \mathrm{t}\times {\mathrm{n}}^2=20\times 4^2 =320 \\ \mathrm{t}=\frac{320}{{\mathrm{n}}^2} \end{gathered}$$

22) إذا أصبحَ عددُ العاملينَ 2n ، كَمْ سيوفّرُ الزَّبونُ مِنَ الوقتِ لاستلامِ الطلبِ

$\mathrm{t}\times {\left(2\mathrm{n}\right)}^2=320 \mathrm{t}=\frac{1}{4}\left(\frac{320}{{\mathrm{n}}^2}\right)$

الوقت الموفر هو 3/4 الوقت الاصلي 

 

تبريرٌ: يمثّلُ أحدُ التمثيلَينِ البيانيّينِ  p و q تناسبًا طرديًا ويمثّلُ الآخرُ تناسبًا عكسيًّا:

23) أكتبُ معادلةً لكلٍّ منهُما.

q: التناسب العكسي 

k=x$\times$y=8

y=8/x

p:التناسب الطردي

k=y/x =0.5

y=x/2 

 

24) أصفُ التغيّرَ الّذي يطرأُ على y عندَما تتغيرُ x  في كلِّ حالةٍ. أبرّرُ إجابتي.

P: كلما زادت x زادت y حسب المعادلة y=x/2 

q: كلما زادت x نقصت y حسب المعادلة  y=8/x

 

25) مسألةٌ مفتوحةٌ: أكتبُ وأمثّلُ بيانيًّا علاقتَيْ تناسُبٍ لهُما ثابتُ التناسُبِ نفسُهُ إحداهُما طرديةٌ والأُخرى عكسيةٌ

y=2x طردية

y=2/x عكسية

في العلاقتين k=2

 

26) تبريرٌ: إذا كانَتِ النقطتانِ (3,8) و (2,y) تقعانِ على مُنحنى العلاقةِ العكسيةِ نفسِهِ،فأَجِدُ قيمةَ y 

$$\begin{gathered} \mathrm{k}=\mathrm{y}\times 2=8\times 3 \underset{}{\to } \mathrm{k}= 24 \\ 24=\mathrm{y}\times \mathrm{x} \underset{ }{\to } \mathrm{y}= 12 \end{gathered}$$

27) كيفَ أميّزُ التناسُبَ العكسيَّ باستعمالِ التمثيلِ البيانيِّ؟

      - بتحديد زوج مرتَّب على التمثيل البيانيِّ وتعويضه في المعادلة 

      - وكلما زاد أحد المتغيرين نقص المتغير الآخر في التناسب العكسي.

      - التمثيل البياني للعلاقة العكسية لا يقطع أيًّا من المحورين.

      - المنحنى دائماً هابط ( متناقص) 

---

---

حلول أسئلة كتاب التمارين

أحددُ أيُّ العلاقتَينِ الآتيتَينِ تمثّلُ تناسُبًا طرديًّا وأيُّها تمثّلُ تناسبًا عكسيًّا، ثمَّ أكتبُ معادلةً تمثلُّ كلَّ علاقةٍ:

1)

x	1	3	5	10	0.5
y	5	15	25	50	2.5

 k = 5 ، تناسب طردي

y = 5x

 

2) 

x	1	3	5	10	0.5
y	30	10	7.5	3	60

k = 30  ،تناسب عكسي

$\mathrm{y}=\frac{30}{\mathrm{x}}$

 

 

يمثّلُ الجدولُ المجاورُ العلاقةَ بينَ عددِ الطلبةِ وَنصيبِ الطالبِ الواحدِ مِنْ مِنحةٍ دراسيةٍ:

x عدد الطلبة	10	200	30	40
المنحة y	600	300	200	??

3) أبيّنُ أنَّ x وy متناسبانِ عكسيًّا، ثمَّ أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ k

العلاقة عكسية :كلما زاد x نقص y وحاصل ضرب $\mathrm{x}\times \mathrm{y}=6000$

k=6000

4) أكتبُ معادلةَ التناسُبِ العكسيِّ.

$\mathrm{y}=\frac{6000}{\mathrm{x}}$

5) أَجِدُ القيمةَ المجهولةَ في الجدولِ.

بالتعويض في المعادلة y=150 

6)  أمثّلُ العلاقةَ بيانيًّا.

 

 

 

 

 

: K وَ H يبيّنُ الشكلُ المجاورُ التمثيلَ البيانيَّ لِلعلاقتَينِ

7) أحدّدُ أيُّ العلاقتَينِ تمثّلُ تناسُبًا طرديًّا وَأيُّهما تمثّلُ تناسبًا عكسيًّا. أبرّرُ إجابتي.

H : تناسب طردي لأن الرسم مستقيم يمر بنقطة الأصل

K : تناسب عكسي لأن التمثيل منحنى كلما زاد x نقص y

8) أكتبُ معادلةً لكلٍّ منهُما.

y=x/2 :H

y=72/x :A

9) أفسّرُ معنى وقوعِ النقطةِ A عَلى الرسمَينِ.

النقطة A تنسجم مع التناسب الطردي H  وتحقق معادلته ، كذلك تنسجم مع التناسب العكسي K وتحقق معادلته 

 

يحتاجُ 4 أشخاصٍ 7 ساعاتٍ لِعملِ 700 صفيحةٍ مِنَ المعجَّناتِ:

10) أحدّدُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ بينَ عددِ ساعاتِ العملِ وَعددِ الصفائحِ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ طرديٍّ أَمْ عكسيٍّ.

تناسب طردي لأنه كلما زادت عدد الصفائح زادت عدد ساعات العمل.(في حال ثبات عدد العمال ومعدل الانجاز)

11) أَجِدُ عددَ الساعاتِ الَّتي يحتاجُها 4 أشخاصٍ لِعملِ 2100 صفيحةٍ.

21 ساعة 

12) أَجِدُ عددَ الساعاتِ الّتي يحتاجُها شخصٌ واحدٌ لِعملِ 700 صفيحةٍ.

28 ساعة 

 

: y وَعَرضُهُ x مستطيلٌ طولُهُ

13) أُنشئُ جدولً لِقِيَمِ x و y الممكنةِ إذا كانَتْ مساحةُ المستطيلِ 24cm²، ثمَّ أمثّلُ العلاقةَ بيانيًّا.

x	2	4	6	8
y	12	6	4	3

  

 

 

14) أحدّدُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ تمثّلُ تناسُبًا طرديًّا أمْ عكسيًّا، أَمْ لا تمثّلُ أيًّا مِنْهُما، مبررًا إجابتي.

العلاقة عكسية :كلما زاد x نقص y وحاصل ضرب $x\times y=24$