الرياضيات فصل ثاني

التوجيهي أدبي

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

التوزيع الطبيعي

Normal Distribution

مسألة اليوم (صفحة 88)

تتبع أشجار السرو في إحدى الغابات الحرجية توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $18.5 m$ ، وانحرافه المعياري $2.5 m$ . إذا اختيرت شجرة سرو عشوائيًا من تلك الغابة، فما احتمال أنْ يتراوح طولها بين $16 m و 21 m$ ؟

الحل:

بما أن التوزيع يتبع التوزيع الطبيعي بوسط حسابي $μ = 18.5$ ، وانحراف معياري $σ = 2.5$

والمطلوب هو: $P (16 < X < 21)$

إذًا، المطلوب هو:

$P (16 < X < 21) = P (μ - σ < X < μ + σ)$ وباستعمال القاعدة التجريبية

$P (16 < X < 21) = 0.68$

أتحقق من فهمي (صفحة 92)

***إذا اتخذ التمثيل البياني لأطوال مجموعة من طلبة الصف الثاني عشر شكل المنحنى الطبيعي، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

a) النسبة المئوية للطلبة الذين تقع أطوالهم فوق الوسط الحسابي.

b) النسبة المئوية للطلبة الذين لا يزيد البُعْد بين أطوالهم والوسط الحسابي على انحراف معياري واحد.

c) النسبة المئوية للطلبة الذين تقلُّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين.

d) النسبة المئوية للطلبة الذين تقلُّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على ثلاثة انحرافات معيارية، أو تزيد عليه بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين.

الحل:

a)النسبة المئوية للطلبة الذين تقع أطوالهم فوق الوسط الحسابي.

بإستعمال القاعدة التجريبية كما هو موضح في الشكل

المجاور،

فإن النسبة المئوية للطلبة الذين تقع أطوالهم فوق الوسط الحسابي هي: $50 %$

b) النسبة المئوية للطلبة الذين لا يزيد البُعْد بين أطوالهم والوسط الحسابي على انحراف معياري واحد.

كما هو موضح في الشكل المجاور،

فإن النسبة المئوية للطلبة الذين لا يزيد البُعْد بين أطوالهم والوسط الحسابي على انحراف معياري واحد $μ + σ و μ - σ$ هي: $68 %$

c) النسبة المئوية للطلبة الذين تقلُّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين.

كما هو موضح في الشكل المجاور، فإن النسبة المئوية للطلبة الذين تقل أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد عن انحرافين معياريين $μ - 2 σ$ هي: $47.5 %$ .

d)النسبة المئوية للطلبة الذين تقلُّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على ثلاثة انحرافات معيارية، أو تزيد عليه بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين.

من خلال القاعدة التجريبية

فإن النسبة المئوية للطلبة الذين تقلُّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على ثلاثة انحرافات معيارية، أو تزيد عليه بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين $μ + 2 σ و μ - 3 σ$ وتساوي:

$(49.85 %) + (47.5 %) = 97.35 %$

أتحقق من فهمي(صفحة 94)

***إذا كان: $X ~ N (55, 121)$ ، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

$a) P (X < 55) b) P (55 < X < 66) c) P (X > 77)$

الحل:

بما أن التوزيع طبيعي وسطه الحسابي $μ = 55$ وانحرافه المعياري $σ = \sqrt{121} = 11$ فإن:

$a) P (X < 55)$

باستعمال القاعدة التجريبية

$P (X < 55) = P (X < μ) = 0.5$

$b) P (55 < X < 66)$

باستعمال القاعدة التجريبية

$P (55 < X < 66) = P (55 < X < 55 + 11) = P (μ < X < μ + σ) = 0.34$

$c) P (X > 77)$

باستعمال القاعدة التجريبية

$P (X > 77) = P (X > 55 + 2 (11)) = P (X > μ + 2 σ) = 2.35 % + 0.15 % = 2.5 % = 0.025$

أتحقق من فهمي(صفحة 95)

أطوال: توصلت دراسة إلى أنَّ أطوال الرجال في إحدى المدن تتبع توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $178 c m$ ، وانحرافه المعياري $7 c m$ ، إذا اختير رجل عشوائيًا، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

a) احتمال أنْ يكون طول الرجل أكثر من $178 c m$

b) احتمال أنْ يكون طوله بين $192 c m و 171 c m$

الحل:

بما أن التوزيع يتبع التوزيع الطبيعي فإن $X$ مُتغيِّرًا عشوائيًا طبيعيًا، حيث: وسطه الحسابي $μ = 178$ وانحرافه المعياري $σ = 7$

a) احتمال أنْ يكون طول الرجل أكثر من $178 c m$ هو: $P (X > 178)$

باستعمال القاعدة التجريبية

$P (X > 178) = P (X > σ) = 0.5$

b) احتمال أنْ يكون طوله بين $192 c m و 171 c m$ هو: $P (171 < X < 192)$

باستعمال القاعدة التجريبية

$P (171 < X < 192) = P (178 - 7 < X < 178 + 2 (7))$

$= P (μ - σ < X < μ + 2 σ)$

$= 0.34 + 0.475$

$= 0.815$

أتدَّرب وأحُلُّ المسائل

إذا اتخذت علامات الطلبة في اختبار لمبحث التاريخ شكل المنحنى الطبيعي، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

1) النسبة المئوية للعلامات التي تقع فوق الوسط الحسابي.

2) النسبة المئوية للعلامات التي لا يزيد البُعْد بينها وبين الوسط الحسابي على انحراف معياري واحد.

3) النسبة المئوية للعلامات التي تزيد على الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد عن انحرافين معياريين.

4) النسبة المئوية للعلامات التي تزيد على الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحراف معياري واحد، أو تقلُّ عنه بمقدار لا يزيد على ثلاثة انحرافات معيارية.

الحل:

بإستعمال القاعدة التجريبية

1)النسبة المئوية للعلامات التي تقع فوق الوسط الحسابي.

كما هو موضحفي الشكل المجاور،فإن النسبة المئوية للعلامات التي تقع فوق الوسط $50 %$

2)النسبة المئوية للعلامات التي لا يزيد البُعْد بينها وبين الوسط الحسابي على انحراف معياري واحد.

كما هو موضح في الشكل المجاور،فإن النسبة المئوية للطلبة الذين لا يزيد البُعْد بين علاماتهم والوسط الحسابي على انحراف معياري واحد $μ + σ و μ - σ$ هي: $68 %$

3)النسبة المئوية للعلامات التي تزيد على الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد عن انحرافين معياريين.

كما هو موضح في الشكل المجاور، فإن النسبة المئوية للعلامات التي تزيد على الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد عن انحرافين معياريين هي: $34%+13.5% =47.5%$

النسبة المئوية للعلامات التي تزيد على الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحراف معياري واحد، أو تقلُّ عنه بمقدار لا يزيد على ثلاثة انحرافات معيارية.

من القاعدة التجريبية هي:

$P (μ - 3 σ < X < μ + σ) = 2.35 % + 13.5 % + 34 % + 34 % = 83.85 %$

أُحدِّد النسبة المئوية لمساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل كل توزيع طبيعي ممّا يأتي:

الحل:

النسبة المئوية لمساحة المنطقة المُظلَّلة هي:%15.85 لأن: %15.85 = %13.5 +% 2.35

الحل:

النسبة المئوية لمساحة المنطقة المُظلَّلة هي:%27 لأن: %27 = %13.5 + % 13.5

الحل:

النسبة المئوية لمساحة المنطقة المُظلَّلة هي:%47.5 لأن: %47.5 = %13.5+%34

الحل:

النسبة المئوية لمساحة المنطقة المُظلَّلة هي: %47.5 لأن: %47.5 = %34 +% 13.5

9) يُمثِّل كلٌّ من المنحنيين

المجاورين توزيعًا طبيعيًا. أُقارِن بين هذين التوزيعين من حيث: قِيَم الوسط الحسابي، والانحراف المعياري.

الحل:

التوزيع A

وسطه الحسابي 15 وانحرافه المعياري 3

التوزيع B

وسطه الحسابي 12 وانحرافه المعياري 3

المقارنة:

الوسط الحسابي للمنحنى A > الوسط الحسابي للمنحنى B
الانحراف المعياري للمنحنى A = الانحراف المعياري للمنحنى B

*** إذا كان: $X ~ N (79, 144)$ ، فأجد كُلًا ممّا يأتي:

$10) P (X < 79)$

الحل:

بما أن الوسط الحسابي $μ = 79$ والانحراف المعياري $σ = 12$ ، باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:

$P (X < 79) = P (X < μ) = 50 % = 0.5$

$11) P (67 < X < 91)$

الحل:

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:
$P (67 < X < 91) = P (79 - 12 < X < 79 + 12) = P (μ - σ < X < μ + σ) = 34 % + 34 % = 68 % = 0.68$

$12) P (X > 91)$

الحل:

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:
$P (X > 91) = P (X > 79 + 12) = P (X > μ + σ) = 13.5 % + 2.35 % + 0.15 % = 16 % = 0.16$

$13) P (X > 103)$

الحل:

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:

$P (X > 103) = P (X > 79 + 24) = P (X > μ + 2 σ) = 2.35 % + 0.15 % = 2.5 % = 0.025$

$14) P (43 < X < 115)$

الحل:

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:

$P (43 < X < 115) = P (79 - 36 < X < 79 + 36) = P (79 - 3 (12) < X < 79 + 3 (12)) = P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = (34 % + 13.5 % + 2.35 %) + (34 % + 13.5 % + 2.35 %) = 49.85 % + 49.85 % = 99.7 % = 0.997$

$15) P (X < 43)$

الحل:

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:

$P (X < 43) = P (X < 79 - 36) = P (X < μ - 3 σ) = 0.15 % = 0.0015$

***صناعة: إذا دلَّ المُتغيِّرالعشوائي $X$ على أطوال أقطار رؤوس مثاقب ( بالمليمتر) تُنِتجها آلة في مصنع، حيث: $X ~ N (30, {0.4}^{2})$ ، فأجد، كُلًّا ممّا يأتي:

ألاحظ أن: الوسط الحسابي $μ = 30$ ، والانحراف المعياري $σ = 0.4$

$16) P (X > 30)$

الحل:

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:

$P (X > 30) = P (X > μ) = 50 % = 0.5$

$17) P (29.6 < X < 30.4)$

الحل:

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:

$P (29.6 < X < 30.4) = P (30 - 0.4 < X < 30 + 0.4) = P (μ - σ < X < μ + σ) = 34 % + 34 % = 68 % = 0.68$

$18) P (29.2 < X < 30)$

الحل:

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:

$P (29.2 < X < 30) = P (30 - 0.8 < X < 30) = P (30 - 2 (0.4) < X < 30) = P (μ - 2 σ < X < μ) = 34 % + 13.5 % = 47.5 % = 0.475$

$19) P (29.2 < X < 30.4)$

الحل:

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:

$P (29.2 < X < 30.4) = P (30 - 0.8 < X < 30 + 0.4) = P (30 - 2 (0.4) < X < 30 + 0.4) = P (30 - 2 σ < X < 30 + σ) = 13.5 % + 34 % + 34 % = 81.5 % = 0.815$

صناعة: يُنتج مصنعٌ أكياس أسمنت تتبع كتلها توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $50 k g$ ، وانحرافه المعياري $2 k g$ ، إذا اختير كيس أسمنت عشوائيًّا، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

20) احتمال أنْ تكون كتلة الكيس أكثر من $54 k g$

21) احتمال أنْ تتراوح كتلة الكيس بين $44 k g$ و $52 k g$

الحل:

بما أن أكياس الإسمنت تتبع التوزيع الطبيعي بوسط حسابي $μ = 50$ وانحراف معياري $σ = 2$ ، فإنه يمكن استخدام القاعدة التجريبية.

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:

20)احتمال أنْ تكون كتلة الكيس أكثر من $54 k g$ هو: $P (X > 54)$

$P (X > 54) = P (X > 50 + 4) = P (X > 50 + 2 (2)) = P (X > μ + 2 σ) = 2.35 % + 0.15 % = 2.5 % = 0.025$

21) احتمال أنْ تتراوح كتلة الكيس بين $44 k g$ و $52 k g$ هو: $P (44 < X < 52)$

$P (44 < X < 52) = P (50 - 6 < X < 50 + 2) = P (μ - 3 σ < X < μ + σ) = 2.35 % + 13.5 % + 34 % + 34 % = 83.85 % = 0.8385$

مهارات التفكير العليا

22) أكتشف الخطأ: قال يوسف:"إنَّ $X ~ N (4^{2}, t^{2})$ ، مُتغيِّرعشوائي طبيعي، وسطه الحسابي $4$ ، وانحرافه المعياري $t^{2}$ ". أكتشف الخطأ في قول يوسف، ثم أُصحِّحه.

الحل: الخطأ في قول يوسف هو أن وسطه الحسابي $4$ وانحرافه المعياري $t^{2}$ ، والصحيح هو أن وسطه الحسابي $4^{2} = 16$ ،وانحرافه المعياري $t$ .

23) تبرير:يدلُّ المُتغيِّرالعشوائي $X ~ N (100, σ^{2})$ على أطوال الأفاعي (بالسنتيمتر) في أحد مجتمعاتها. إذا كانت أطوال $68 %$ منها تتراوح بين $107 c m و 93 c m$ ، فأجد $σ^{2}$ ، مبرِّرًا إجابتي.

الحل:

بما أن المُتغيِّر العشوائي $X$ وسطه الحسابي $100$ وانحرافه المعياري $σ$ ، وكان $P (93 < X < 107) = 68 %$ ، فإن

$P (93 < X < 107) = P (100 - 7 < X < 100 + 7) = P (μ - σ < X < μ + σ) = 68 %$

إذًا، $σ = 7 σ^{2} = 49$

24)تحدٍّ: تتبع العلامات في أحد الاختبارات توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $68$ ، وانحرافه المعياري $15$ . إذا لم ينجح في الاختبار $16 %$ من الطلبة، فأجد علامة النجاح.

الحل: لمعرفة علامة النجاح نستخدم القاعدة التجريبية

من القاعدة التجريبية نأخذ من اليسار لليمين:

$16 % = 0.15 % + 2.35 % + 13.5 %$

و منها نجد ان علامة النجاح هي $53$

حل أسئلة كتاب التمارين

***اتخذ التمثيل البياني لأطوال مجموعة من طلبة الصف السابع شكل المنحنى الطبيعي، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

1) النسبة المئوية للطلبة الذين تقع أطوالهم فوق الوسط الحسابي.

2) النسبة المئوية للطلبة الذين لا يزيد البُعْد بين أطوالهم والوسط الحسابي على انحراف معياري واحد.

3) النسبة المئوية للطلبة الذين تقلُّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين.

4) النسبة المئوية للطلبة الذين تقلُّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على ثلاثة انحرافات معيارية، وتزيد عليه بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين .

الحل:

1)النسبة المئوية للطلبة الذين تقع أطوالهم فوق الوسط الحسابي.

كما هو موضح في الشكل المجاور،

فإن النسبة المئوية للطلبة الذين تقع أطوالهم فوق الوسط الحسابي تساوي $50 %$

2) النسبة المئوية للطلبة الذين لا يزيد البُعْد بين أطوالهم والوسط الحسابي على انحراف معياري واحد.

كما هو موضح في الشكل المجاور،

فإن النسبة المئوية للطلبة الذين لا يزيد البُعْد بين أطوالهم والوسط الحسابي على انحراف معياري واحد هي $68 %$

3) النسبة المئوية للطلبة الذين تقلُّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين.

كما هو موضح في الشكل المجاور،

فإن النسبة المئوية للطلبة الذين تقلُّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين هي $47.5 %$

بإستعمال القاعدة التجريبية

فإن النسبة المئوية للطلبة الذين تقلُّ أطوالهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على ثلاثة انحرافات معيارية $μ - 3 σ$ ، وتزيد عليه بمقدار لا يزيد على انحرافين معياريين $μ + 2 σ$ هي: $97.35 %$

$2.35 % + 13.5 % + 34 % + 34 % + 13.5 % = 97.35 %$

5) يُبيِّن الشكل

المجاور منحنى توزيع طبيعي. أُعبِّر عن المُتغيِّر العشوائي لهذا التوزيع باستعمال الرموز.

الحل:

بما أن الوسط الحسابي $μ = 21$ والانحراف المعياري $σ = 1.5$ لأن: $2 σ = 3 \Rightarrow σ = 1.5$ فإن التعبير عن المُتغيِّر العشوائي لهذا التوزيع باستعمال الرموز هو:

$X ~ N (21, 2.25)$

*** أُبيِّن لماذا لا يُمثِّل أيٌّ من التمثيلين الآتيين منحنى توزيع طبيعي:

الحل:

لا يُمثِّل المنحنى المعطى منحنى توزيع طبيعي لأن منحنى التوزيع الطبيعي يكون متماثل حول الوسط الحسابي والمنحنى المعطى لا يحقق ذلك.

الحل:

لا يُمثِّل المنحنى المعطى منحنى توزيع طبيعي لأن منحنى التوزيع الطبيعي يكون على شكل جرس أطرافه في وضع تقارب مع المحور $x$ وهذا لا يتحقق في المنحنى المعطى.

*** إذا كان: $X ~ N (8, 0.04)$ ، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

ألاحظ أن: الوسط الحسابي للتوزيع $μ = 8$ والتباين $σ^{2} = 0.04$ ومنها الانحراف المعياري $σ = 0.2$

$8) P (X > 8)$

الحل:

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:

$P (X > 8) = P (X > μ) = 0.5$

$9) P (7.8 < X < 8.2)$

الحل:

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:

$P (7.8 < X < 8.2) = P (8 - 0.2 < X < 8 + 0.2) = P (μ - σ < X < μ + σ) = 68 % = 0.68$

$10) P (X > 8.4)$

الحل:

باستخدام القاعدة التجريبية، فإن:

$P (X > 8.4) = P (X > 8 + 2 (0.2)) = P (X > μ + 2 σ) = 2.3 % + 0.15 % = 2.45 % = 0.0245$

*** صناعة: يُمكن نمذجة أطوال أقطار مسامير

يُنتجها مصنع بمنحنى التوزيع الطبيعي المُبيَّن في الشكل المجاور:

11)أجد كُلاًّ من الوسط الحسابي، والانحراف المعياري لأطوال أقطار المسامير.

12) أجد النسبة المئوية للمسامير التي يزيد طول قُطر كلٍّ منها على الوسط الحسابي بما لا يزيد على انحرافين معياريين.

الحل:

11) من الشكل فإن الوسط الحسابي لأطوال أقطار المسامير $μ = 2.5$ ، والانحراف المعياري $σ = 0.1$ لأن:

$μ + 2 σ = 2.7 \Rightarrow 2.5 + 2 σ = 2.7 \Rightarrow 2 σ = 2.7 - 2.5 \Rightarrow 2 σ = 0.2 \Rightarrow σ = 0.1$

12) باستخدام القاعدة التجريبية، فإن النسبة المئوية للمسامير التي يزيد طول قُطر كلٍّ منها على الوسط الحسابي بما لا يزيد على انحرافين معياريين هي: $P (2.5 < X < 2.7) = P (μ < X < μ + 2 σ) = 34 % + 13.5 % = 47.5 %$

الرياضيات فصل ثاني

التوجيهي أدبي

التوزيع الطبيعي

Normal Distribution

أتحقق من فهمي (صفحة 92)

أتحقق من فهمي(صفحة 94)

أتحقق من فهمي(صفحة 95)

أتدَّرب وأحُلُّ المسائل

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS