الجذور الصماء

الجذور الصماء : هي جذور لا يمكن إيجاد قيمة دقيقة لها، فمثلا $\sqrt{3}$ جذر أصم لعدم وجود إجابة دقيقة له؛ لأن 3 ليس مربعا كاملا، أما $\sqrt{4}$ فيمكن إيجاد قيمة دقيقة له وهي 2؛ لأنه مربع كامل

إذن فهو ليس جذرا أصم. ولكن يمكن تقدير الجذور الصماء باستعمال طرائق عدة منها: خط الأعداد، والآلة الحاسبة .

 

 

مثال 1 : أقدر قيمة $\sqrt{55}$ لأقرب عدد صحيح 

الخطوة 1 : أحد مربعين کاملين يقع بينهما العدد 55 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :

أكبر مربع کامل أقل من 55 هو 49

وأصغر مربع کامل أكبر من 55 هو 64

 

إذن، العدد 55 يقع بين المربعين الكاملين 64 و49 ، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

$64 > 55 > 49$ 

 

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                              $64 > 55 > 49$

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد         $\sqrt{64} > \sqrt{55} > \sqrt{49}$

                  أبسط                                           $8 > \sqrt{55} > 7$

 

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

 

أعين الجذرين على خط الأعداډ

أجد منتصف المسافة بين 49 و 64

  $5.56 = 2 ÷ \left(64 + 49 \right)$

وألاحظ أن 55 أقرب إلى 49 منه إلى 64

إذن، $\sqrt{55}$ أقرب إلى 7 منه إلى 8

لذا فإن أفضل تقدير ل $\sqrt{55}$ لأقرب عدد صحيح هو 7

 

 

الطريقة 2 : الآلة الحاسب يمكن استعمال الآلة الحاسبة لتقدير $\sqrt{55}$ بالضغط على الأزرار الآتية:

إذن، أفضل تقدير ل $\sqrt{55}$

لأقرب عدد صحيح هو 7

 

 

---

أتعلم :

يكون المقدار الجذري في أبسط صورة حين لا يحتوي :

1- جذرا في المقام.

2- مجذورا أحد عوامل مربع کامل باستثناء العدد 1

3- مجذورا على صورة كسر.

 

ويمكن تبسيط الجذور التربيعية الصماء باستعمال خواص ضرب الجذور التربيعية وقسمتها.

 1-                                     $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$                         $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a , a\ge 0$

 2-                $\sqrt{7\times 9} =\sqrt{7} \times \sqrt{9} = 3\sqrt{7}$                          $\sqrt{b\times a} = \sqrt{b} \times \sqrt{a} , a\ge 0 , b\ge 0$

3-                    $\sqrt{\frac{11}{4}}= \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$                           $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} , a\ge 0 , b\ge 0$

 

 

التبسيط جذر أصم على الصورة $\sqrt{a} , a >0$ أحلل العدد الواقع تحت إشارة الجذر إلى عاملين، على أن يكون أحدهما أكبر مربع کامل ممكنا، ثم أطبق خاصية ضرب الجذور التربيعية.

ملاحظة : 

وللحصول على مقدار جذري لا يحتوي مقامه جذرا أصم، نضرب البسط والمقام في هذا الجذر الأصم، وتسمى هذه العملية إنطاق المقام

 

---

مثال 2 : أبسط كل مما يأتي 

 1- $\sqrt{675}$ 

 

أحلل العدد 675 إلى عاملين أحدهما مربع کامل $\sqrt{675} =\sqrt{225 \times 3}$

خاصية ضرب الجذور التربيعية $=\sqrt{255} \times \sqrt{3}$

أبسط $= 15\sqrt{3}$

 

2- $\sqrt{\frac{48}{81}}$

 

خاصية قسمة الجذور التربيعية $\sqrt{\frac{48}{81}} =\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{81}}$

أحلل العدد 48 إلى عاملين أحدهما مربع کامل $= \frac{\sqrt{16 \times 3}}{9}$

خاصية ضرب الجذور التربيعية $= \frac{\sqrt{16} \times \sqrt{3}}{9}$

أبسط $= \frac{4 \sqrt{3}}{9}$

 

3-$\frac{14}{\sqrt{7}}$

 

أضرب كلا من البسط والمقام في $\sqrt{7}$ $\frac{14}{\sqrt{7}} = \frac{14}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

خاصية ضرب الجذر في نفسه $= \frac{14\sqrt{7}}{7}$

أبسط $= 2\sqrt{7}$

---

مثال 3 :

زراعة: اشترى سمير 6 أكياس من السماد الطبيعي يكفي الواحد منها لتغطية مساحة مقدارها $156 m^2$

أقدر طول ضلع أكبر مربع من الأرض يمكن أن تغطيه هذه الكميه من السماد

 

التقدير طول ضلع أكبر مربع من الأرض يمكن أن تغطيه كمية السماد التي اشتراها سمير، أجد المساحة المربعة التي تغطيها كمية السماد الكلية، وذلك بضرب عدد الأكياس في مساحة ما يغطيه الكيش الواحد.

الخطوة 1 : أجد المساحة المربعة التي تغطيها كمية السماد الكلية :

عدد الأكياس x مساحة ما يغطيه الكيس الواحد $6 \times 156 = 936 m^2$

إذن، تغطي كمية السماد كلها مساحة مقدارها $936 m^2$

الخطوة 2 : أجد طول ضلع مربع الأرض الذي تغطيه كميه السماد كلها:

أفرض أن s طول ضلع مربع الأرض الذي مساحته $936 m^2$

                                          مساحة المربع                             $A = s^2$

     طول الضلع = الجذر التربيعي للمساحة                        $s =\sqrt{A}$

                                                      أعوض                       $= \sqrt{936}$

     أحلل العدد الى عاملين أحدهما مربع كامل       $= \sqrt{36 \times 26}$

    خاصية ضرب الجذور                                       $= \sqrt{36} \times \sqrt{26}$

    أبسط                                                                         $= 6\sqrt{26}$

أستعمل الالة الحاسية لتقدير طول ضلع مربع الارض

اذن طول ضلع مربع الارض الذي تكفي لتغطيته كمية السماد التي اشتراها سمير $31 m^2$ تقريبا

 

---

أتعلم :

يمكن جمع الجذور التربيعية الصماء وطرحها بطريقة مشابهة لجمع الحدود الجبرية وطرحها، بشرط أن يتساوى المجذور في كل منها.

 

                         $3\sqrt{5} , 7\sqrt{5}$  جذران متشابهان                           $5\sqrt{3} , 5\sqrt{7}$  جذران غير متشابهان

 

---

مثال 4 : أبسط كل مما يأتي :

 

1- $5\sqrt{7} + 2\sqrt{7} - 3\sqrt{7}$

أجمع المعاملات وأطرحها    $5\sqrt{7} + 2\sqrt{7} - 3\sqrt{7} = ( 5 + 2 - 3 )\sqrt{7}$

أبسط                                     $= 4\sqrt{7}$

 

2- $\sqrt{12} - 6\sqrt{3}$

أحلل                                  $\sqrt{12} - 6\sqrt{3} = \sqrt{3 \times 4} - 6\sqrt{3}$

خاصية ضرب الجذور    $= \sqrt{4} \times \sqrt{3 } - 6\sqrt{3}$

 $\sqrt{4} = 2$                              $= 2\sqrt{3 } - 6\sqrt{3}$

أبسط                                                $= -4\sqrt{3}$

 

3- $\sqrt{20} + \sqrt{45}$

أحلل                                                             $\sqrt{20} + \sqrt{45} = \sqrt{4 \times 5} + \sqrt{9 \times 5}$

خاصية ضرب الجذور التربيعية           $= \sqrt{4} \times \sqrt{ 5} +\sqrt{6} \times \sqrt{ 5}$

$\sqrt{4} = 2 , \sqrt{9} = 3$                              $= 2\sqrt{ 5} + 3\sqrt{ 5}$

أبسط                                                                        $= 5\sqrt{5}$

---

أتعلم :

يمكن تبسيط بعض المقادير العددية التي تحوي جذورا صماء و عملیات باستعمال خاصية التوزيع وخواص ضرب الجذورالتربيعية وقسمتها.

 

---

مثال 5 : أبسط كل مما يأتي :

 

1- $\sqrt{3} ( 2 - \sqrt{7} )$

 

خاصية توزيع الضرب                               $\sqrt{3} ( 2 - \sqrt{7} ) = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \times \sqrt{7}$

خاصية ضرب الجذور                                          $= 2\sqrt{3} - \sqrt{21}$

 

2- ${( 5 + \sqrt{6} )}^2$

 

تعريف المربع الكامل            ${( 5 + \sqrt{6} )}^2 = \mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{)} \times \mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }$

خاصية التوزيع                 $= 25 + 5\sqrt{6} + 5\sqrt{6} + \sqrt{6} \times \sqrt{6}$

خاصية ضرب بنفسه                       $= 25 + 5\sqrt{6} + 5\sqrt{6} + 6$

أبسط                                                                 $= 31 + 10\sqrt{6}$

 

---

أتعلم :

إذا كان أس المقدار الجبري داخل الجذر التربيعي الزوجي وكان أس المقدار الجبري الناتج فردي فعندها يتعين أخذ القيمة المطلقة للمقدار الناتج

مثال على ذلك :

$\sqrt{x^4} = x^2 , \sqrt{x^6} =\left| x^3\right| , \sqrt{{\left(x -5\right)}^2} = \left|\left(x-5\right)\right|$

---

مثال 6 : أبسط كل مما يأتي :

 

1- $\sqrt{\frac{8x^2}{50x}} , x\ne 0$

 

          أقسم كل من البسط والمقام على م.ع.أ بينهما وهو $2x$          $\sqrt{\frac{8x^3}{50x}} = \sqrt{\frac{4x^2}{25}}$

         خاصية قسمة الجذور التربيعية                                                    $= \frac{\sqrt{4x^2}}{\sqrt{25}}$

         خاصية  ضرب الجذور التربيعية                                          $= \frac{\sqrt{4} \times \sqrt{x^2}}{5}$

         أبسط                                                                                            $= \frac{2 \left|x\right|}{5}$

 

2- $( 3\sqrt{5c} )\hspace{0.17em}( 7\sqrt{15c^2} )$

 

       خاصية  ضرب الجذور التربيعية                                  $( 3\sqrt{5c} )\hspace{0.17em}( 7\sqrt{15c^2} ) = ( 3 \times \sqrt{5} \times \sqrt{c} ) ( 7 \times \sqrt{15} \times \sqrt{c^2} )$

      أبسط                                                                   $= ( 3 \times \sqrt{5} \times \sqrt{c} ) ( 7 \times \sqrt{5} \times \sqrt{3} \times \left|c\right| )$

      الخاصيتان : التجميعية , التبديلة                         $= ( 3 \times 7 \times \sqrt{5} \times \sqrt{5} \times \sqrt{3} ) ( \left|c\right| \times \sqrt{c} )$

     خاصية ضرب بنفسه                                                            $= ( 3 \times 7 \times 5 \times \sqrt{3} ) ( \left|c\right| \times \sqrt{c} )$

     أبسط                                                                                                                        $=105\left|c\right|\sqrt{3}\sqrt{c}$