رياضيات فصل أول

الثامن

icon

الجذور الصماء

الجذور الصماء : هي جذور لا يمكن إيجاد قيمة دقيقة لها، فمثلا 3 جذر أصم لعدم وجود إجابة دقيقة له؛ لأن 3 ليس مربعا كاملا، أما 4 فيمكن إيجاد قيمة دقيقة له وهي 2؛ لأنه مربع كامل

إذن فهو ليس جذرا أصم. ولكن يمكن تقدير الجذور الصماء باستعمال طرائق عدة منها: خط الأعداد، والآلة الحاسبة .

 

 

 

مثال 1 : أقدر قيمة 55 لأقرب عدد صحيح 


الخطوة 1 : أحد مربعين کاملين يقع بينهما العدد 55 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :


أكبر مربع کامل أقل من 55 هو 49


وأصغر مربع کامل أكبر من 55 هو 64

 

إذن، العدد 55 يقع بين المربعين الكاملين 64 و49 ، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

64 > 55 > 49 

 

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                              64 > 55 > 49

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد         64 > 55 > 49

                  أبسط                                            8 > 55 > 7

 

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

 

أعين الجذرين على خط الأعداډ

أجد منتصف المسافة بين 49 و 64

  5.56 = 2 ÷ 64 + 49 

وألاحظ أن 55 أقرب إلى 49 منه إلى 64

إذن، 55 أقرب إلى 7 منه إلى 8

لذا فإن أفضل تقدير ل 55 لأقرب عدد صحيح هو 7

 

 

الطريقة 2 : الآلة الحاسب يمكن استعمال الآلة الحاسبة لتقدير 55 بالضغط على الأزرار الآتية:

إذن، أفضل تقدير ل 55

لأقرب عدد صحيح هو 7

 

 


أتعلم :

يكون المقدار الجذري في أبسط صورة حين لا يحتوي :

1- جذرا في المقام.

2- مجذورا أحد عوامل مربع کامل باستثناء العدد 1

3- مجذورا على صورة كسر.

 

ويمكن تبسيط الجذور التربيعية الصماء باستعمال خواص ضرب الجذور التربيعية وقسمتها.

 1-                                      3  × 3 = 3                         a  × a = a , a0

 2-                7×9 =7 × 9  = 37                           b×a = b × a  , a0 , b0

3-                    114= 114 = 112                            ab = ab , a0 , b0

 

 

التبسيط جذر أصم على الصورة a , a >0 أحلل العدد الواقع تحت إشارة الجذر إلى عاملين، على أن يكون أحدهما أكبر مربع کامل ممكنا، ثم أطبق خاصية ضرب الجذور التربيعية.

ملاحظة : 


وللحصول على مقدار جذري لا يحتوي مقامه جذرا أصم، نضرب البسط والمقام في هذا الجذر الأصم، وتسمى هذه العملية إنطاق المقام

 


مثال 2 : أبسط كل مما يأتي 

 1- 675 

 

أحلل العدد 675 إلى عاملين أحدهما مربع کامل 675 =225 × 3 

خاصية ضرب الجذور التربيعية  =255 × 3 

أبسط = 153

 

2- 4881

 

خاصية قسمة الجذور التربيعية 4881 =4881 

أحلل العدد 48 إلى عاملين أحدهما مربع کامل = 16 × 39 

خاصية ضرب الجذور التربيعية = 16 ×39 

أبسط = 4 39 

 

3-147

 

أضرب كلا من البسط والمقام في 7   147 = 147 × 77 

خاصية ضرب الجذر في نفسه = 1477 

أبسط = 27 


مثال 3 :

زراعة: اشترى سمير 6 أكياس من السماد الطبيعي يكفي الواحد منها لتغطية مساحة مقدارها 156 m2

أقدر طول ضلع أكبر مربع من الأرض يمكن أن تغطيه هذه الكميه من السماد

 

التقدير طول ضلع أكبر مربع من الأرض يمكن أن تغطيه كمية السماد التي اشتراها سمير، أجد المساحة المربعة التي تغطيها كمية السماد الكلية، وذلك بضرب عدد الأكياس في مساحة ما يغطيه الكيش الواحد.

الخطوة 1 : أجد المساحة المربعة التي تغطيها كمية السماد الكلية :

عدد الأكياس x مساحة ما يغطيه الكيس الواحد 6 × 156 = 936 m2


إذن، تغطي كمية السماد كلها مساحة مقدارها 936 m2

الخطوة 2 : أجد طول ضلع مربع الأرض الذي تغطيه كميه السماد كلها:

أفرض أن s طول ضلع مربع الأرض الذي مساحته 936 m2

                                          مساحة المربع                             A = s2

     طول الضلع = الجذر التربيعي للمساحة                        s =A

                                                      أعوض                       = 936

     أحلل العدد الى عاملين أحدهما مربع كامل       = 36 × 26

    خاصية ضرب الجذور                                       = 36 × 26

    أبسط                                                                         = 626

أستعمل الالة الحاسية لتقدير طول ضلع مربع الارض

اذن طول ضلع مربع الارض الذي تكفي لتغطيته كمية السماد التي اشتراها سمير 31 m2 تقريبا

 


أتعلم :

يمكن جمع الجذور التربيعية الصماء وطرحها بطريقة مشابهة لجمع الحدود الجبرية وطرحها، بشرط أن يتساوى المجذور في كل منها.

 

                         35 , 75  جذران متشابهان                           53 , 57  جذران غير متشابهان

 


مثال 4 : أبسط كل مما يأتي :

 

1- 57 + 27 - 37

أجمع المعاملات وأطرحها    57 + 27 - 37 = ( 5 + 2 - 3 )7

أبسط                                     = 47

 

2- 12 - 63

أحلل                                  12 - 63 = 3 × 4 - 63

خاصية ضرب الجذور    = 4 × 3  - 63

 4 = 2                              = 23  - 63

أبسط                                                = -43

 

3- 20 + 45

أحلل                                                             20 + 45 = 4 × 5 + 9 × 5

خاصية ضرب الجذور التربيعية           = 4 ×  5 +6 ×  5

4 = 2  , 9 = 3                              = 2 5 + 3 5

أبسط                                                                        = 55


أتعلم :

يمكن تبسيط بعض المقادير العددية التي تحوي جذورا صماء و عملیات باستعمال خاصية التوزيع وخواص ضرب الجذورالتربيعية وقسمتها.

 


مثال 5 : أبسط كل مما يأتي :

 

1- 3 ( 2 - 7 )

 

خاصية توزيع الضرب                               3 ( 2 - 7 ) = 23 - 3 × 7

خاصية ضرب الجذور                                          = 23 - 21

 

2- ( 5 + 6 )2

 

تعريف المربع الكامل            ( 5 + 6 )2 = ( 5 + 6 )  × ( 5 + 6 ) 

خاصية التوزيع                 = 25 + 56 + 56 + 6 ×6

خاصية ضرب بنفسه                       = 25 + 56 + 56 + 6

أبسط                                                                 = 31 + 106 

 


أتعلم :

إذا كان أس المقدار الجبري داخل الجذر التربيعي الزوجي وكان أس المقدار الجبري الناتج فردي فعندها يتعين أخذ القيمة المطلقة للمقدار الناتج

مثال على ذلك :

x4 = x2  , x6 = x3  , x -52 = x-5


مثال 6 : أبسط كل مما يأتي :

 

1- 8x250x , x0

 

          أقسم كل من البسط والمقام على م.ع.أ بينهما وهو 2x          8x350x = 4x225

         خاصية قسمة الجذور التربيعية                                                    = 4x225

         خاصية  ضرب الجذور التربيعية                                          = 4 × x25

         أبسط                                                                                            = 2 x5

 

2- ( 35c )( 715c2 ) 

 

       خاصية  ضرب الجذور التربيعية                                  ( 35c )( 715c2 ) = ( 3 × 5 × c ) ( 7 × 15 × c2 )

      أبسط                                                                   = ( 3 × 5 × c ) ( 7 × 5 × 3 × c )

      الخاصيتان : التجميعية , التبديلة                         = ( 3 × 7 × 5 ×5 × 3 ) (  c × c  )

     خاصية ضرب بنفسه                                                            = ( 3 × 7 × 5 × 3 ) (  c × c  )

     أبسط                                                                                                                        =105c3c