رياضيات فصل ثاني

الشرط الأولي، وإيجاد قاعدة الاقتران

يتطلب حل بعض المسائل إيجاد الاقتران الأصلي الوحيد الذي يحققها، وهذا يعني ضرورة تحديد قيمة ثابت التكامل

يمكن تحديد هذه القيمة بتعويض نقطة تحقق الاقتران  الأصلي، وتعطى عادة في المسألة، وتسمى الشرط الأولي.

مثال: جد قاعدة الاقتران $f\left(x\right)$ إذا $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+4x-3$، ومر منحناه بالنقطة $(2,4)$

الحل:

اولاً: نجد تكامل الاقتران $f^{\text{'}}\left(x\right)$

$f\left(x\right)=\int (3x^2+4x-3) dx=x^3+2x^2-3x+C$

ثانياً : نجد قيمة ثابت التكامل C

لايجاد قيمة ثابت التكامل C، أستعمل الشرط الأولي المعطى ، وهو النقطة $(2,4)$ التي يمر بها منحنى الاقتران ، وتحقق قاعدة الاقتران ، أي أعوض $x=2$ في قاعدة الاقتران ثم أحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة C.

$f\left(x\right)=x^3+2x^2-3x+C$

$4={\left(2\right)}^3+2(2{)}^2-3(2)+C \to C=-6$

إذن، قاعدة الاقتران هي:

$f\left(x\right)=x^3+2x^2-3x-6$

---

يستعمل الشرط الأولي كثيراً لتحديد اقترانات تنمذج مواقف علمية وحياتية .

مثال: يمثل الاقتران: $C^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-60x+400$ التكلفة الحدية بالدينار لكل طابعة ملونة تنتجها إحدى الشركات، حيثُ x عدد الطابعات المنتجة، و C(x) تكلفة انتاج x طابعة بالدينار. 

جد اقتران التكلفة c(x) علما بأن تكلفة إنتاج طابعة واحدة هي 583JD.

الحل:

اولاً :نجد تكامل الاقتران $C^{\text{'}}\left(x\right)$ 

$C\left(x\right)=\int (3x^2-60x+400)dx=x^3-30x^2+400x+K$

ثانياً : نجد قيمة ثابت التكامل $K$

$C\left(x\right)=x^3-30x^2+400x+K$

$583=(1{)}^3-30(1{)}^2+400\left(1\right)+K \to K=212$

اذن ، اقتران التكلفة هو:

$C\left(x\right)=x^3-30x^2+400x+212$

---

الشرط الأولي: الحركة في مسار مستقيم

من التطبيقات المهمة على الشرط الأولي، إيجاد موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم إذا عُلم اقتران السرعة.

تذكر أن اقتران الموقع هو اقتران أصلي لاقتران السرعة، واقتران السرعة هو اقتران أصلي لاقتران التسارع ، أي إن:

$s^{\text{'}}\left(t\right)=v\left(t\right)$

$v^{\text{'}}\left(t\right)=a\left(t\right)$

---

مثال : يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتعطى سرعته بالاقتران :

$v\left(t\right)=t+2$ ، حيث t  الزمن بالثواني ، و v سرعته بالمتر لكل ثانية. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم هو $11 m$  ، فأجد موقع الجسيم بعد  8 ثوان من بدء الحركة .

الحل :

اولاً : نجد اقتران الموقع وذلك بايجاد تكامل اقتران السرعة .

$s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int (t+2)dt=1/2t^2+2t+C$

ثانياً : نجد قيمة ثابت التكامل

بما أن الموقع الابتدائي للجسيم هو 11m ، فإن $s\left(0\right)=11$ وهذا يعد شرطًا أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C

$s\left(t\right)=\frac{1}{2}{t}^2+2t+C$

$s\left(0\right)=\frac{1}{2}(0{)}^2+2(0)+C$

$c=11$

 

اذن ، اقتران الموقع بعد t ثانية من بدء الحركة هو :

$s\left(t\right)=\frac{1}{2}{t}^2+2t+11$

ثالثاً : نجد موقع الجسيم بعد8   ثوان من بدء الحركة .

$s\left(t\right)=\frac{1}{2}{t}^2+2t+11$

$s\left(8\right)=\frac{1}{2}(8{)}^2+2(8)+11=59$

اذن ، موقع الجسيم بعد 8 ثوان من بدء الحركة هو : $59 m$

---

يمكن إيجاد موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم إذا علم اقتران التسارع له. ولكن، يجب في هذه الحالة توافر شرطين أوليين لحل المسألة، يُستعملان لإيجاد ثابت التكامل الناتج من تكامل اقتران التسارع، وإيجاد ثابت التكامل الناتج من تكامل اقتران السرعة.

مثال:

يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، ويعطى تسارعه بالاقتران $a\left(t\right)=6t$  حيثُ t الزمن بالثواني، وa تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع.

إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم هو 4m، وكانت سرعته هي 1m/s بعد ثانية واحدة من بدء حركته، فأجد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة.

الحل: