الضرب القياسي
- تعرفت سابقًا العمليات على المتجهات، مثل ضرب متجه في عدد ثابت ، وسأتعرف في هذا الدرس كيفية إيجاد ناتج ضرب متجهين .
- الضرب القياسي هو عملية جبرية بين متجهين، تنتج منها كمية قياسية يرمز لها بالرمز وتقرأ v dot w
مفهوم أساسي
الضرب القياسي
إذا كان فإن
مثال
إذا كان فأجد v .w :
صيغة الضرب القياسي
بالتعويض
- تعرفت سابقا انه اذا كان ، فان طول المتجه المرسوم باللون الاخضر في الشكل المجاور هو ،
حيث: وباستعمال قانون جيوب التمام، فان:
مفهوم أساسي
يمكن ايجادالضرب القياسي للمتجهين aوb باستمعال الصيغة الاتية:
، حيث الزاوية المحصورة بين المتجهين
مثال
اجد قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين
الخطوة 1: اجد مقدار المتجه a
الخطوة 2: اجد مقدارة المتجه b
الخطوة 3: اجد الضرب القياسي بين aوb
الخطوة 4: اعوض القيمة الناتجة من الخطوة السابقة في الصيغة الاخرى لقانون الضرب القياسي
بما ان قياس الزاوية بين المتجهين aوb صفر، فهما متوازيان
- اذا كان a و b متجهين غير صفريين، وكانت الزاوية المحصورة بينهما قائمة، فان المتجهين يكونان متعامدين، ويكون ناتج الضرب القياسي بينهما صفرا، لان
مثال
احدد اذا كان المتجهان متعامدين ام لا
بما ان ، فان المتجهين متعامدين
- توجد تطبيقات عملية عدة على الضرب القياسي للمتجهات، اهمما حساب الشغل W الناتج من تاثير قوة ثابتة F بزاوية محددة على جسم ما؛ لتحريكه من نقطة الى اخرى مسافة مقدارها d و حدة. فالشغل هو كمية قياسية تساوي ناتج الضرب القياسي لمتجه القوة في متجه لازاحة، ووحدة قياسة هي جول (J). يمكن ايجاد مقدار الشغل باستعمال الصيغة الاتية:
مثال : من الحياة
فيزياء: سحب عامل صندوقا بقوة مقدارها F=13N، وبذل شغلا مقدره W=20J، لسحب الصندوق مسافة افقية مقدارها d=18m. ما قياس الزاوية المحصورة بين قوة السحب واتجاه المسافة المقطوعة (باهمال قوة الاحتكال) لاقرب جزء من عشرة؟