رياضيات

العاشر

icon

الضرب القياسي 

  • تعرفت سابقًا العمليات على المتجهات، مثل ضرب متجه في عدد ثابت ، وسأتعرف في هذا الدرس كيفية إيجاد ناتج ضرب متجهين .
  • الضرب القياسي هو عملية جبرية بين متجهين، تنتج منها كمية قياسية يرمز لها بالرمز v· w   وتقرأ  v dot w 

مفهوم أساسي 

الضرب القياسي 

إذا كان w = <w1  , w2>  و   v =<v1     , v2>     فإن   v ·w = v1  w1   + v2  w2

 

مثال 

إذا كان w = <-5 , 4>       و     v = <2,8>      فأجد  v .w : 

صيغة الضرب القياسي                                                                                          v · w   = v1 w1   + v2  w2

بالتعويض                                                   = 2 (-5)   + 8(4) = -10 +32= 22    

 


  • تعرفت سابقا انه اذا كان w=w1,w2و،v=v1,v2، فان طول المتجه المرسوم باللون الاخضر في الشكل المجاور هو w-v،

حيث: w-v=w1-v1,w2-v2 وباستعمال قانون جيوب التمام، فان:

|w-v|2=|w|2+|v|2-2|w||v|cosθ(w1-v1)2+(w2-v2)2=|w|2+|v|2-2|w||v|cosθ                                 =w12+w22+v12+v22-2|w||v|cosθw12-2w1v1+v12+w22-2w2v2+v22=w12+w22+v12+v22-2|w||v|cosθ                    -2w1v1-2w1v1=-2|w||v|cosθ                       w1v1+w2v2=|w||v|cosθ                       v1w1+v2w2=|v||w|cosθ                                 v·w=|v||w|cosθ                                      cosθ=v·w|v||w|

مفهوم أساسي

يمكن ايجادالضرب القياسي للمتجهين aوb باستمعال الصيغة الاتية:

a·b=|a| |b| cosθ، حيث 0°θ180° الزاوية المحصورة بين المتجهين 

 

مثال 

اجد قياس الزاوية θ المحصورة بين المتجهين b=3,4و،a=6,8 

الخطوة 1: اجد مقدار المتجه a

a=a12+a22     =62+82     =100=10

الخطوة 2: اجد مقدارة المتجه b

b=b12+b22     =32+42     =25=5

الخطوة 3: اجد الضرب القياسي بين aوb  

a·b=a1·b1+a2·b2      =6×3+8×4      =18+32      =50

الخطوة 4: اعوض القيمة الناتجة من الخطوة السابقة في الصيغة الاخرى لقانون الضرب القياسي 

cosθ=a·ba b       =5010×5=1θ=cos-11=0°

بما ان قياس الزاوية بين المتجهين aوb صفر، فهما متوازيان 


  • اذا كان a و b متجهين غير  صفريين، وكانت الزاوية المحصورة بينهما قائمة، فان المتجهين يكونان متعامدين، ويكون ناتج الضرب القياسي بينهما صفرا، لان  cos 90°=0

مثال 

احدد اذا كان المتجهان u=2,3و،v=-6,4 متعامدين ام لا 

u·v=u1·v1+u2·v2       =2×-6+3×4        =-12+12          =0

بما ان u·v=0،  فان المتجهين متعامدين 


  • توجد تطبيقات عملية عدة على الضرب القياسي للمتجهات، اهمما حساب الشغل W الناتج من تاثير قوة ثابتة F بزاوية محددة θ على جسم ما؛ لتحريكه من نقطة الى اخرى مسافة مقدارها d و حدة. فالشغل هو كمية قياسية تساوي ناتج الضرب القياسي لمتجه القوة في متجه لازاحة، ووحدة قياسة هي جول (J). يمكن ايجاد مقدار الشغل باستعمال الصيغة الاتية: 

W=F dcosθ

مثال : من الحياة 

فيزياء: سحب عامل صندوقا بقوة مقدارها F=13N، وبذل شغلا مقدره W=20J، لسحب الصندوق مسافة افقية مقدارها d=18m. ما قياس الزاوية المحصورة بين قوة السحب واتجاه المسافة المقطوعة (باهمال قوة الاحتكال) لاقرب جزء من عشرة؟ 

W=F dcosθ20=13×18×cosθ20=234×cosθ20234=cosθ      θ=cos-10.0855      θ=85.1