الفيزياء فصل أول

تعرّفتُ في الدرس السابق أنّه عندما تؤثّر قوّة خارجية في جسم، وتحرّكه إزاحة معيّنة؛ فإنّها تبذل شغلً عليه.وأتساءل: ماذا يحدث لهذا الشغل المبذول على الجسم؟ يؤدي هذا الشغل إلى تغيير طاقة الجسم، أنظرُ إلى الشكل المجاور.

ففي الشكل (أ)يبذل محرك السيارة شغلاً عليها يُغيِّر طاقتها الحركية عندما تتسارع على طريق أفقيّ.
أمّا في الشكل (ب) فعندما يرفع الشخص الكتاب 
ويضعه على رفّ الكتب فإنّه يبذل عليه شغلاً يغيّر من طاقته الكامنة.
 

وتعرف الطاقة بأنّها مقدرة الجسم على بذل شغل وهي كمية قياسية تقاس بوحدة الجول $\left(J\right) Joule$ بحسب النظام الدولي للوحدات.

فالرياح لها طاقة حركية تُمكّنها من بذل شغل على شفرات المراوح عندما تصطدم بها،  وبناء على ما سبق، يُمكنني تعريف الشغل بأنّه إحدى طرائق نقل الطاقة بين الأجسام. للطاقة أشكال متعدّدة تنحصر في نوعين رئيسين، هما:
1) الطاقة الحركية
2) الطاقة الكامنة (طاقة الوضع)
ويسمى مجموع الطاقة الحركية والطاقة الكامنة فيه الطاقة الميكانيكية.

 

الطاقة الحركية

يمكن للأجسام المتحركة أن تحدث تغييرًا في الأجسام التي تصطدم بها وتسمى الطاقة المرتبطة بحركة جسم ما بالطاقة الحركية Kinetic Energy ورمزها (KE) وتعتمد على كلّ من:
كتلة الجسم (m) ومقدار سرعته (v)،ويعبر عنها بالعلاقة الآتية:

$KE=\frac{1}{2}m{v}^2$

-تتناسب الطاقة الحركية لجسم طرديًّا مع كلّ من: كتلته ومربّع سرعته. فمثلاً، الطاقة الحركية لسيّارة متحرّكة بسرعة مقدارها (v) أقل منها لشاحنة متحرّكة بالسرعة نفسها؛ لأنّ كتلة الشاحنة أكبر. تُسمّى  الطاقة الحركية هذه طاقة حركية خطّية، إذ إنّها ناتجة عن الحركة الخطّية للجسم. أمّا عند حركة الجسم حركة دورانية حول محور دوران؛ فإنّه يمتلك طاقة حركية دورانية. 

 

مبرهنة الشغل - الطاقة الحركية

عندما تؤثّر قوّة محصّلة في جسم وتُغيّر مقدار سرعته (تُغيّر طاقته الحركية)؛ فإنّها تكون قد بذلت عليه شغلًا.
شغل القوة المحصلة المؤثرة في جسم يساوي التغيّر في طاقتها الحركية ولإثبات ذلك رياضيًّا انظر الى الشكل المجاور الذي يوضح عربة كتلتها ($m$) تتحرك بسرعة متجهة ابتدائية ($v_i$).

نفترض أنّ قوة محصلة أفقية خارجية ($\sum F_{ext}$) قد أثرت في العربة عندما كانت عند الموقع ($x_i$) فقطعت إزاحة ($d=∆x$) تحت تأثير هذه القوة وأصبحت سرعتها المتجهة النهائية($v_f$) في نهاية الإزاحة عند الموقع ($x_f$).

بناءًا على القانون الثاني لنيوتن في الحركة تتحرك العربة بتسارع ($a$) في اتجاه القوة المحصلة نفسه،حيث:

$$\begin{gathered} W_{Total}=\sum F_{ext}\bullet ∆x=ma∆x \\ a∆x=\frac{W_{Total}}{m} \end{gathered}$$

بتعويض المقدار (a∆x)في المعادلة الآتية من معادلات الحركة بتسارع ثابت:

$$\begin{gathered} v_2^2=v_1^2+2a∆x \\ {v}_2^2=v_1^2+2\frac{W_{Total}}{m} \end{gathered}$$

بضرب طرفي المعادلة بالمقدار($\frac{m}{2}$)،وإعادة ترتيب الحدود نحصل على:

$$\begin{gathered} W_{Total}=\frac{1}{2}m{v}_f^2-\frac{1}{2}m{v}_i^2 \\ {W}_{Total}=K{E}_f-K{E}_i \end{gathered}$$

يُمثّل الطرف الأيسر من المعادلة الشغل الذي بذلته القوّة المحصّلة على العربة، أما الطرف الأيمن منها  فيُمثّل التغيّر في الطاقة الحركية للعربة،أي أنّ:

${\mathit{W}}_{\mathbf{T}\mathbf{o}\mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{l}}\mathbf{=}\mathbf{∆}\mathit{K}\mathit{E}$

تُسمّى هذه العلاقة مبرهنة (الشغل - الطاقة الحركية)،وتنص على أنّ "الشغل الكلّي المبذول على جسم يساوي التغيّر في طاقته الحركية".

أستنتجُ من مبرهنة (الشغل - الطاقة الحركية) أنّ مقدار سرعة الجسم يزداد عندما يكون  الشغل الكلّي المبذول عليه موجبًا؛ حيث الطاقة الحركية النهائية أكبر من الطاقة الحركية  الابتدائية. وأنّ مقدار سرعة الجسم يتناقص عندما يكون الشغل الكلّي المبذول عليه سالبًا؛حيث الطاقة الحركية النهائية أقل من الطاقة الحركية الابتدائية.

---

مثال:

تتحرك سيارة كتلتها ($8\times {10}^{2}kg$)على طريق أفقي بسرعة مقدارها ($15m/s$)،ضغط سائقها دوّاسة الوقود لكي يتجاوز سيارة أخرى بحيث أصبح مقدار  سرعة السيارة ($25m/s$) بعد قطعها إزاحة مقدارها ($2\times {10}^{2}m$)من لحظة ضغطه الدوّاسة.أنظر الى الشكل المجاور،ثم أحسب مقدار ما يأتي:

أ) الطاقة الحركية الابتدائية للسيارة.
ب) التغير في الطاقة الحركية للسيارة خلال مدة ضغط دواسة الوقود.
ج) الشغل الكلي المبذول على السيارة خلال هذه الإزاحة.
د) القوة المحصلة الخارجية المؤثرة في السيارة.

الحل:

أ) أحسبُ الطاقة الحركية الابتدائية للسيّارة؛ باستعمال معادلة الطاقة الحركية،كما يأتي:

$K{E}_i=\frac{1}{2}m{v}_i^2=\frac{1}{2}\times 8\times {10}^2\times {\left(15\right)}^2=9\times {10}^{4}J$

ب) أحسبُ التغيّر في الطاقة الحركية للسيّارة، كما يأتي:

$$\begin{gathered} \Delta KE=K{E}_f-K{E}_i=\frac{1}{2}m{v}_f^2-\frac{1}{2}m{v}_i^2 \\ \Delta KE=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)=\frac{1}{2}\times 8\times {10}^2\times [{\left(25\right)}^2-{\left(15\right)}^2] \\ =4\times {10}^{(}2)\times [400]=1.6\times {10}^{5}J \end{gathered}$$

ج) إنّ الشغل الكلي الذي بذلته القوة المحصلة الخارجية على السيارة يساوي التغيّر في طاقتها الحركية بحسب مبرهنة (الشغل-الطاقة الحركية).

$W_{Total}=∆KE=1.6\times {10}^{5}J$

 

د) أحسب القوة الخارجية من العلاقة الآتية:

$$\begin{gathered} W_{Total}=\Sigma F_{ext}\Delta x=\Delta KE \\ \Sigma F_{ext}=\frac{\Delta KE}{\Delta x}=\frac{(1.6\times {10}^5)}{(2\times {10}^2)}=8\times {10}^{2}N \end{gathered}$$

---

مثال:

سيّارة مخصّصة للسير على الرمال كتلتها ($600 kg$)،  تتحرّك بسرعة مقدارها ($28 m/s$)  في مسار أُفقي، أنظرُ إلى الشكل المجاور.أثّرت فيها قوّة محصّلة خارجية  مدة زمنية مقدارها($5s$) عملت على تباطئها بمقدار ($1.6m/s^2$).أحسب مقدار:

أ) التغير في الطاقة الحركية للسيارة خلال تلك المدة.
ب) شغل القوة المحصلة الخارجية المبذول على السيارة.

الحل:

أ) $\Delta KE=K{E}_f-K{E}_i$

لحساب الطاقة الحركية النهائية للسيارة يجب معرفة السرعة النهائية للسيارة

$$\begin{gathered} v_f=v_i+at \\ {v}_f=28+(-1.6)\times 5 \\ {v}_f=20m/s \end{gathered}$$

ثم نحسب التغير في الطاقة الحركية للسيارة:

$$\begin{gathered} \Delta KE=\frac{1}{2}m{v}_f^2-\frac{1}{2}m{v}_i^2 \\ \Delta KE=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2) \\ \Delta KE=\frac{1}{2}\times 600\left(\right(20{)}^2-\left(28{)}^2\right) \\ \Delta KE=-1.15\times {10}^5 \end{gathered}$$

ب) شغل القوة المحصلة المبذول على السيارة.

$$\begin{gathered} W=\Delta KE \\ W=-1.15\times {10}^{5}Joule \end{gathered}$$

---

الطاقة الكامنة (طاقة الوضع)

هي طاقة مختزنة في نظام مكوّن من جسمين أو أكثر تأخذ أشكالًا مختلفة؛ فقد تكون:

طاقة وضع ناشئة عن الجاذبية: نتيجة موقع جسم بالنسبة إلى سطح الأرض.

طاقة وضع كهربائية: نتيجة موقع جسم مشحون بالنسبة إلى جسم آخر مشحون.

طاقة وضع مرونية: نتيجة تغيّر شكل الجسم؛ مثل الأجسام المرنة كالنابض.

طاقة كيميائية: نتيجة تخزينها في الروابط الكيميائية داخل المادة نفسها. وغيرها...

وسنلقي الضوء هنا على طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية. ونُشير هنا إلى أنّه عند دراسة حركة نظام  مكوّنمن جسم والأرض؛ فإنّنا اختصارًا نذكر طاقة وضع الجسم بدلًا من طاقة وضع نظام (الجسم - الأرض).

 

طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية  Gravitational Potential Energy  

عند رفع جسم إلى الأعلى كما هو مبين في الشكل المجاور فإنّ الأرض والجسم يشكلان نظام يسمى نظام(الجسم-الأرض)يختزن النظام طاقة وضع تسمى طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية الأرضية رمزها(PE)وتعرف بأنها الطاقة المختزنة في نظام (الجسم-الأرض) نتيجة موقع الجسم في مجال الجاذبية الأرضية ويعبر عنها بالعلاقة الآتية: $PE=mgy$

حيث (m) كتلة الجسم (g) تسارع السقوط الحر ، (y) الارتفاع الرأسي للجسم عن مستوى الإسناد وهو مستوى مرجعي اختياري تكون طاقة الوضع عنده صفرًا وعادةً نختار سطح الأرض مستوى الإسناد.

باعتبار أنّ تسارع السقوط الحر ثابت تقريبًا قرب سطح الأرض ،فإنّ طاقة الوضع الناشئة عن الجاذبية الأرضية تعتمد على كتلة الجسم وعلى ارتفاعه الرأسي عن سطح الأرض (علمًا أن سطح الأرض هو مستوى الإسناد).

 

أمّا  التغيّر في طاقة وضع الجسم ∆PE عند حركته من موقع ابتدائي($y_i$)إلى موقع نهائي ($y_f$)فيعتمد على التغير في الارتفاع الرأسي للجسم بين هذين الموقعين ($∆y$) ويعبر عنه بالعلاقة الآتية: $∆PE=mg∆y$

حيثُ: $(∆y=y_f-y_i)$

وبناءًا على العلاقة السابقة نستنتج أنه عند رفع الجسم لأعلى كما في الشكل (أ) فإنّ $∆y>0$ فيكون التغير في طاقة الوضع للجسم موجبًا.

في حين عندما يتحرك الجسم للأسفل فإنّ $∆y<0$ فيكون التغير في طاقة الوضع للجسم سالبًا كما في الشكل (ب).

-لا يعتمد التغير في طاقة الوضع على شكل المسار الذي يسلكه الجسم بل يعتمد فقط على التغير في الارتفاع الرأسي للجسم.

---

شغل قوة الجاذبية الأرضية

تؤثر قوة الجاذبية الأرضية في الأجسام جميعها ويكون اتجاهها دائمًا رأسيًّا نحو الأسفل فعندما يتحرك الجسم إلى الأعلى كما في الشكل السابق (أ) ويقطع إزاحة رأسية مقدارها ($∆y$)فإنّ قوة الجاذبية الأرضية ($mg$) تبذل عليه شغلاً سالبًا لأن اتجاه القوة عكس اتجاه الإزاحة.
ويمكن التعبير عن شغل قوة الجاذبية الأرضية في هذه الحالة بالعلاقة الآتية:
$W_g=mg∆y cos{180}^{°}=-mg∆y$
وبما أنّ ($∆PE=mg∆y$) فيمكن التعبير عن العلاقة السابقة كما يأتي:
$W_g=-∆PE$
ويمكن تعميم هذه النتيجة مهما كان شغل المسار الذي يسلكه الجسم ،فشغل قوة الجاذبية الأرضية يساوي دائمًا سالب التغير في طاقة الوضع،وهذا يعني أنه عند تحريك جسم بين موقعين في مجال الجاذبية الأرضية فإنّ شغل قوة الجاذبية الأرضية يعتمد فقط على التغيّر في الارتفاع الرأسي بين النقطتين.

---

مثال:

صندوق كتلته ($10kg$)،رُفع بحبل رأسيًّا إلى أعلى بسرعة ثابتة من سطح الأرض إلى إرتفاع ($9m$).أحسب مقدار ما يأتي علمًا أن تسارع السقوط الحر ($10m/s^2$):

أ) التغير في طاقة وضع الصندوق الناشئة عن الجاذبية الأرضية نتيجة رفعه.
ب) الشغل الذي بذلته قوة الجاذبية الأرضية في أثناء رفع الصندوق.
ج) الشغل الذي بذلته قوة الشد في الحبل ($W_T$)لرفع الصندوق.
الحل:

أ) $$\begin{gathered} ∆PE=mg∆y \\ ∆PE=10\times 10\times 9=900 Joule \end{gathered}$$

ب) $W_g=-∆PE=-900Joule$

ج) $W_{Total}=∆KE$

ولأن الصندوق تحرك بسرعة ثابتة،والشغل الكلي (W_Total)يساوي مجموع شغل الوزن ($W_g$) وشغل قوة الشد($W_T$) أي أنّ:

$$\begin{gathered} W_{Total}=W_g+W_T=0 \\ 0=-900+W_T \\ {W}_T=900Joule \end{gathered}$$

---

مثال:

سقط أصيص أزهار كتلته (800g) من السكون من ارتفاع (250cm) عن سطح الأرض.إذا علمت أن تسارع السقوط الحر ($10m/s^2$)،أحسب شغل قوة الجاذبية الأرضية المبذول على الأصيص.

الحل:

$$\begin{gathered} W=-∆PE \\ =P{E}_i-P{E}_f \\ =mg(y_f-y_i) \\ =0.8\times 10(250\times {10}^{-2}-0)=20Joule \end{gathered}$$

---

طاقة الوضع المرونية

لنفترض أنّ هناك نظامًا مُكوّن من كتلة ونابض كما هو مبيّن في الشكل،فعند ضغط النابض أو شدّه،تتولد فيه قوة بعكس اتجاه القوة المؤثرة فيه لإرجاعة إلى موضع الاتزان.ويعبّر عن قوة النابض بالعلاقة الأتية: $F=-kx$

حيث(x)مقدار الاستطالة أو الانضغاط في النابض بالنسبة لموضع الاتزان.
(k) ثابت مرونة النابض.
والإشارة السالبة تعني أنّ اتجاه القوة معاكس لاتجاه الإزاحة .
وكما تعلمنا من الدرس السابق أنّ الشغل المبذول على نابض عن شده أو ضغطه يعبر عنه بالعلاقة الآتية:

$W=\frac{1}{2} Fx$

وبتعويض قوة النابض F=-kx فإنّ الشغل المبذول على نابض يمكن حسابه من العلاقة الآتية:

$W=\frac{1}{2}k{x}^2$

يتم اختزان هذا الشغل في النابض على هيئة طاقة وضع مرونية يعبّر عنها بالعلاقة الآتية:

$U=\frac{1}{2}k{x}^2$

نستنتج من العلاقة أنّ طاقة الوضع المرونية لنظام(كتلة-نابض) هي الطاقة التي تختزن في النابض نتيجة تغيّر طوله(انضغاط أو استطالة)بالنسبة إلى موضع الاتزان.

عند الإزاحة (x=0)تكون طاقة النظام صفرًا كما أنها تتناسب طرديًّا مع مربع الإزاحة ($x^2$)وهي تكون موجبة دائمًا.

---

مثال:

نابض ثابت مرونته ($80N/m$)موضوع على سطح أفقي طرفه الأيسر مثبت بالحائط،وضغط طرفه الأيمن نحو اليسار مسافة (20cm).ما مقدار الطاقة المرونية المخزونة في النابض؟

الحل:

نحول وحدة الإزاحة إلى المتر فتصبح (x=0.2m) ثم نستخدم العلاقة الآتية:

$$\begin{gathered} U=1/2k{x}^2 \\ U=\frac{1}{2}\times 80\times (0.2{)}^2=1.6 Joule \end{gathered}$$

---