القطعُ المُتوسِّطةُ والارتفاعاتُ في المُثلَّثِ
Medians and Altitudes in Triangle
فكرةُ الدرسِ : • تعرُّفُ نظريةِ مركزِ المُثلَّثِ، واستعمالُها لإيجادِ قياساتٍ مجهولةٍ.
• إيجادُ ملتقى ارتفاعاتِ المُثلَّثِ في المستوى الإحداثيِّ.
أولًا : القطعُ المُتوسِّطةُ في المُثلَّثِ
القطعةُ المُتوسِّطةُ للمُثلَّثِ : هيَ القطعةُ المستقيمةُ الواصلةُ بينَ أحدِ رؤوسِ المُثلَّثِ ومنتصفِ الضلعِ المُقابِلِ لهُ. • لكلِّ مُثلَّثٍ ثلاثُ قطعٍ مُتوسِّطةٍ تلتقي في نقطةٍ واحدةٍ تُسمّى مركزَ المُثلَّثِ. |
![]() |
نظريةٌ (مركزُ المُثلَّثِ)
يبعدُ مركزُ المُثلَّثِ عنْ كلٍّ منْ رؤوسِهِ ثلثيْ طولِ القطعةِ المستقيمةِ الواصلةِ بينَ ذلكَ الرأسِ ومنتصفِ الضلعِ المُقابِلِ لهُ. مثالٌ : إذا كانَتِ النقطةُ هيَ مركزَ ، فإنَّ :
|
![]() |
مثال 1
إذا كانت النقطة هي مركز ، وكان فأجد كلّ مما يأتي : 1) طول 2) طول |
![]() |
الحل :
1) طول
نظريةُ مركزِ المُثلَّثِ | |
بتعويضِ | |
بالتبسيطِ |
2) طول
نظريةُ مركزِ المُثلَّثِ | |
بتعويضِ | |
بالتبسيطِ |
•• يُمكِنُ إيجادُ مركزِ أيِّ مُثلَّثٍ في المستوى الإحداثيِّ إذا عُلِمَتْ إحداثياتُ رؤوسِهِ.
مثال 2
يظهرُ المُثلَّثُ ΔABC في المستوى الإحداثيِّ المُجاوِرِ. أجدُ إحداثييْ مركزِ هذا المُثلَّثِ. |
![]() |
الحل :
الخطوةُ 1 : أجدُ نقطةَ منتصفِ أحدِ أضلاعِ المُثلَّثِ.
أستعملُ صيغةَ نقطةِ المنتصفِ لإيجادِ منتصفِ ، ولتكنْ :
صيغةُ نقطةِ المنتصفِ في المستوى الإحداثيِّ | |
بتعويضِ | |
بالتبسيطِ |
الخطوةُ 2 : أجدُ مركزَ المُثلَّثِ.
• أُعيِّنُ النقطةَ D في المستوى الإحداثيِّ، ثمَّ أرسمُ DB · أُلاحِظُ أنَّ DB رأسيةٌ، وأنَّهُ يُمكِنُ إيجادُ طولِها على النحوِ الآتي : صيغةُ طولِ قطعةٍ مستقيمةٍ رأسيةٍ بالتعويضِ بالتبسيطِ، وإيجادِ القيمةِ المُطلَقةِ |
![]() |
إذنْ، طولُ هوَ 3 وحداتٍ.
• أفترضُ أنَّ النقطةَ هيَ مركزُ . ومنْ ثَمَّ ، فإنَّ ؛ لذا يقعُ المركزُ على بُعْدِ وحدةٍ أسفلَ الرأسِ
إذنْ، إحداثيّا مركزِ هذا المُثلَّثِ (إحداثيّا النقطةِ ) هما: .
•• أتعلَّمُ : يُمكِنُ التحقُّقُ منْ صحَّةِ الحَلِّ باستعمالِ قطعةٍ مُتوسِّطةٍ أُخرى لإيجادِ مركزِ المُثلَّثِ. |
ثانيًا : ارتفاعاتُ المُثلَّثِ
ارتفاعُ المُثلَّثِ : هوَ القطعةُ المستقيمةُ العموديةُ النازلةُ منْ أحدِ رؤوسِ المُثلَّثِ إلى الضلعِ المُقابِلِ لها، أوْ إلى المستقيمِ الذي يحوي الضلعَ المُقابِلَ لها. | ![]() |
•• لكلِّ مُثلَّثٍ ثلاثةُ ارتفاعاتٍ تتقاطعُ في نقطةٍ مُشترَكةٍ تُسمّى ملتقى الارتفاعاتِ ويعتمدُ موقعُها على نوعِ المُثلَّثِ كما في الأشكالِ الآتيةِ:
![]() |
![]() |
![]() |
مُثلَّثٌ مُنفرِجُ الزاويةِ، وفيهِ تقعُ خارجَ المُثلَّثِ. |
مُثلَّثٌ قائمُ الزاويةِ، وفيهِ |
مُثلَّثٌ حادُّ الزوايا، وفيهِ تقعُ داخلَ المُثلَّثِ. |
مثال 3
إذا كانَتْ: ( 5 , K(0, 0), M(3, 12), L(10 ، فأجدُ إحداثييْ ملتقى ارتفاعاتِ رؤوسِ ΔKLM | ![]() |
الحل:
الخطوةُ 1 : أُمثِّلُ ΔKLM بيانيًّا.
الخطوةُ 2 : أجدُ ميليْ ضلعينِ منْ أضلاعِ المُثلَّثِ.
ميلُ | |
ميلُ |
الخطوةُ 3 : أجدُ معادلةَ الارتفاعِ العموديِّ على كلٍّ منَ الضلعينِ اللذينِ اخترْتُهُما في الخطوةِ السابقةِ.
• معادلةُ الارتفاعِ العموديِّ على
صيغةُ الميلِ ونقطةٍ | أتعلم : الرأسُ M هوَ الرأسُ المُقابِلُ ل KL ؛ لذا يقعُ على الارتفاعِ العموديِّ على KL · ميلُ الارتفاعِ العموديِّ على KL يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ KL ؛ أيْ إنَّهُ يساوي 2- |
|
بالتعويضِ | ||
بالتبسيطِ، وإعادةِ ترتيبِ المعادلةِ |
• معادلةُ الارتفاعِ العموديِّ على
صيغةُ الميلِ ونقطةٍ |
أتعلم : الرأسُ K هوَ الرأسُ المُقابِلُ ل LM ؛ لذا يقعُ على الارتفاعِ العموديِّ على LM |
|
بالتعويضِ | ||
بالتبسيطِ، وإعادةِ ترتيبِ المعادلةِ |
الخطوةُ 4 : أحُلُّ نظامَ المعادلتينِ الناتجَ لإيجادِ إحداثييْ ملتقى الارتفاعاتِ.
بما أنَّ المعادلةَ الثانيةَ مكتوبةٌ بالنسبةِ إلى y ، فإنَّني أُعوِّضُ x بدلًا منْ y في المعادلةِ الأولى :
المعادلةُ الأولى | |
بالتعويضِ عن y بـ x | |
بجمعِ 2x لطرفيِ المعادلةِ | |
بقسمةِ طرفيِ المعادلةِ على 3 |
بما أنَّ x = 6 ، فإنَّ y = 6 ، وذلكَ بتعويضِ قيمةِ x في أيٍّ منَ المعادلتينِ.
إذنْ، إحداثيّا ملتقى ارتفاعاتِ رؤوسِ ΔKLM هما : (6 , 6).
مُلخَّصُ المفهومِ (قطعٌ مستقيمةٌ ونقاطٌ خاصةٌ في المُثلَّثِ)
القطعُ الخاصةُ : | المُنصِّفاتُ العموديةُ | مُنصِّفاتُ الزوايا | القطعُ المُتوسِّطةُ | الارتفاعاتُ |
نقطةُ التلاقي : | مركزُ الدائرةِ الخارجيةِ للمُثلَّثِ. |
مركزُ الدائرةِ الداخليةِ للمُثلَّثِ. |
مركزُ المُثلَّثِ | ملتقى الارتفاعاتِ. |
الخاصيةُ : | النقطةُ P مركزُ الدائرةِ الخارجيةِ لـ ΔABC وهيَ تقعُ على أبعادٍ متساويةٍ منْ رؤوسِهِ. |
النقطةُ P مركزُ الدائرةِ الداخليةِ لـ ΔABC وهيَ تقعُ على أبعادٍ متساويةٍ منْ أضلاعِهِ. |
النقطةُ P مركزُ ΔABC ، وهيَ تبعدُ عنْ كلِّ رأسٍ ثلثيْ طولِ القطعةِ الواصلةِ بينَ ذلكَ الرأسِ ومنتصفِ الضلعِ المُقابِلِ لهُ. |
النقطةُ P هيَ ملتقى ارتفاعاتِ ΔABC |
مثالٌ : | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |