رياضيات فصل أول

الحادي عشر خطة جديدة

icon

أتحقق من فهمي صفحة 78:

أجد النقاط الحرجة لكل اقتران مما يأتي : 

1) f(x)=6x2-12x+12          2) f(x)=23x3-3x2+4x+3

الإجابة:

1)  f'(x)=12x-12=0   12x=12      x=1

اذن ، توجد نقطة حرجة للاقتران f عندما x=1 

أما النقطة الحرجة هي: (1,f(1))=(1,6)

2) f'(x)=2x2-6x+4=0

x2-3x+2=0(x-2)(x-1)=0x=2,x=1

اذن ، توجد نقطة حرجة للاقتران f عندما x=1,x=2

أما النقطة الحرجة هي: (1,f(1))=(1,143)(2,f(2)=(2,133)


أتحقق من فهمي صفحة 81 :

أحدد فترات التزايد والتناقص لكل اقتران في ما يأتي:

a) f(x)=6x2-6x+12      

b) h(x)=x3-3x2+4x+3 

الحل:

a)

f'(x)=12x-6=012x=6    x=12

f(x) متزايد في الفترة (12,) ومتناقص في الفترة (-,12) .

b) 

h'(x)=3x2-6x+4=0: a=3 ,b=-6 ,c=4:b2-4ac=36-48=-12<0

- اذن: المميز أقل من صفر 

3x2-6x+40

اذن h(x) متزايد دائماً ( متزايد على (-,) )


أتحقق من فهمي صفحة 82

إذا كان الاقتران f(x)=x3-3x2-9x-1 ، فأستعمل المشتقة لأحل السؤالين الآتيين : 
1) أجد النقاط الحرجة للاقتران f(x) 
2) أصنف النقاط الحرجة الى عظمى محلية أو صغرى محلية أو انعطاف أفقي .
الاجابة : 

1) f'(x)=3x2-6x-9=0

 

3(x2-2x-3)=0(x+1)(x-3)=0x=-1,x=3

النقطة الحرجة: (-1,f(-1))=(-1,4)

النقطة الحرجة: (3,f(3))=(3,-28)

2) 

يوجد قيمة عظمى محلية عند النقطة (-1,4) وصغرى محلية عند (3,-28) 


أتحقق من فهمي صفحة 84

لاحظ عالم حيوانات أن عدد الضفادع في بحيرة ما يمكن نمذجته بالاقتران: P(t)=120t-0.4t2+1000 ، حيث P عدد الضفادع ، و t  الزمن بالأشهر منذ بدء ملاحظة الضفادع . جد أكبر عدد يمكن أن تصل إليه الضفادع في البحيرة منذ بدء ملاحظتها.
الإجابة:

p'(t)=120-0.8t=0120=0.8tt=1200.8=150

النقطة الحرجة: (150,10000)

يوجد قيمة عظمى محلية للاقترانp(t)

(عدد الضفادع) عندما t=150 هو 10000


أتدرب وأحل المسائل صفحة 84

أجد النقاط الحرجة لكل اقتران ممّا يأتي:

1) f(x)=x2-6x+10           2) f(x)=1-12x+2x2      3) f(x)=13x3-x         4) f(x)=13x3-x2

الحل:

1) f'(x)=2x-6=0

2(x-3)=0   x=3

اذن ، النقطة الحرجة هي: (3,f(3))=(3,1)

2) f'(x)=-12+4x=0

-4(3-x)=0     x=3

اذن ، النقطة الحرجة هي: (3,f(3))=(3,-17))

3) f'(x)=x2-1=0

(x-1)(x+1)=0x=1,x=-1

اذن ، النقاط الحرجة للاقتران هي: (1,f(1))=(1,-23)  و   (-1,f(-1))=(-1,23)

4) f'(x)=x2-2x=0

x(x-2)=0x=0,x=2

اذن ، النقاط الحرجة للاقتران هي: (2,f(2))=(2,-43)   و   (0,f(0))=(0,0)


أُحدّد فترات التزايد والتناقص لكلّ اقتران ممّا يأتي:

5)  f(x)=4x+3                   6)  f(x)=7-5x                 7) f(x)=x2+7                  8) f(x)=x2-x

9) f(x)=x2-5x+2          10) f(x)=2x3-3x2          11) f(x)=x3+3x2+3x-20

12) f(x)=3x2(12-5x)      13) f(x)=(x-2)2            14) y=x4-8x2

الحل:

5) f'(x)=4

     f'(x)>0

اذن f(x) متزايد دائماً.


6) f'(x)=-5<0

اذن f(x) متناقص دائماً.


7) f'(x)=2x=0

    x=0

متزايد في الفترة: (0,) ومتناقص في الفترة (-,0)


8) f'(x)=2x-1=0

2x=1     x=12

متزايد في الفترة: (12,) ومتناقص في الفترة: (-,12)


9) f'(x)=2x-5=0

2x=5      x=52

متزايد في الفترة: (52,) ومتناقص في الفترة: (-,52)


10) f'(x)=6x2-6x=0

6x(x-1)=0x=0,x=1

اذن، f(x) متزايد في الفترة (-,0) والفترة (1,) ومتناقص في الفترة (0,1)


11) f'(x)=3x2+6x+3

f'(x)=03(x2+2x+1)=0                                        x=-1

f(x) متزايد على الفترات: (-,-1)(-1,)


12) f(x)=36x2-15x3

f'(x)=72x-45x29x(8-5x)=0x=0   ,  x=85

اذن، f(x) متناقص في الفترة (-,0) والفترة (85,) ، ومتزايد في الفترة: (0,85)


13) f'(x)=2(x-2)=0

          x=2

متزايد في الفترة: (2,) ومتناقص في الفترة: (-,2)


14) dydx=4x3-16x=0

4x(x2-4)=0

x=0  ,   x=2   ,    x=-2

- Y متزايد في الفترة: (2,)،(-2,0)

- Y متناقص في الفترة: (0,2)،(-,-2)


أجد النقاط الحرجة لكلّ اقتران ممّا يأتي، ثمّ أُحدّد نوعها باستعمال المشتقّة:

15) y=x3+6x2-15x-90                      16) y=-(x-2)3+1                    

17) f(x)=x3-3x2-144x                       18) f(x)=3x4+16x3+24x2+3

الحل:

15) dydx=3x2+12x-15

3(x2+4x-5)=0(x-1)(x+5)=0x=1   ,   x=-5

- النقاط الحرجة: (1,f(1))=(1,-98)    ،      (5,f(5))=(5,10)
- يوجد قيمة عظمى محلية عند (-5,10) 
- يوجد قيمة صغرى محلية عند (1,-98)


16) dydx=-3(x-2)2=0

      x=2

- النقطة الحرجة: (2,f(2))=(2,1)

- بما أن اشارة dydx  لم تتغير قبل وبعد النقطة الحرجة. اذاً عند (2,1)  انعطاف أفقي.


17) f'(x)=3x2-6x-144=0

3(x2-2x-48)=0

(x+6)(x-8)=0

x=-6,x=8

(-6,f(-6))   ,    (8,f(8))

- النقاط الحرجة: (-6,540)  ,   (8,-832)

- يوجد قيمة عظمى محلية عند: (-6,540) ، وصغرى محلية عند: (8,-832)


18) f'(x)=12x3+48x2+48x

=12x(x2+4x+4)12x(x+2)2=0x=0  ,  x=-2

- النقاط الحرجة هي: (0,3) , (-2,19) 
- يوجد قيمة صغرى محلية عند (0,3) 
- يوجد نقطة انعطاف افقي عند (-2,19) 


19) إذا كانت مشتقّة الاقتران  f(x) تُعطى بالاقتران  f '(x) = (x-1)2 (x-3) ؛ فأجد قِيَم x التي يكون عندها نقاط حرجة للاقتران f، ثمّ أُحدّد نوعها.

الحل:

f'(x)=(x-1)2(x-3)f'(x)=0x=1   ,    x=3

عندما x=3 يوجد قيمة صغرى محلية وعند x=1 نقطة انعطاف افقي.


20) صناعة: تُنتِج إحدى الشركات صناديق لتخزين البضائع على شكل متوازي مستطيلات. إذا أمكن نمذجة حجم كلٍّ من هذه الصناديق بالاقتران: V(x)=18x-2 ،فأجد قيمة x التي تجعل حجم الصندوق أكبر ما يُمكِن.

الحل:

V'(x)=18-2x2=02(9-x2)=0(3-x)(3+x)=0x=3,x=-3

- النقاط الحرجة: (3,f(3)=(3,36)   ,    (-3,f(-3))=(-3,-36)
- يكون حجم الصندوق أكبر ما يمكن عندما x=3 والنقطة (3,36) 


مهارات التفكير العليا
تحدّ
: إذا كان الاقتران y=x3+ax2+b ، حيث a و b ثابتان؛ فأُجيب عمّا يأتي:
21) أُثبتُ أنّ لمنحنى الاقتران نقطة حرجة عند تقاطعه مع المحور

22) أُثبتُ أنّ للاقتران نقطة صغرى محلّية إذا كانت a>0.

الحل:

21) y'=3x2+2ax=0

x(3x+2a)=0x=0   ,  x=-2a3

يوجد نقطة حرجة عند x=0 هي: (0,f(0))=(0,b) التقاطع مع محور y

22) y'=3x2+2ax

- إذا كانت: a>0 

-a<0        ,        -2a3<0

من اشارة فأن للاقتران قيمة عظمى محلية عندما: x=-2a3


23) تحدّ: إذا كان للاقتران: f(x)=ax2-4x+c  ، حيث a و c عددان حقيقيان، نقطة حرجة هي ( 7- , 2) ، فما قيمة كلٍّ من a و c؟

الحل:

f(x)=ax2+4x+c    ,   (2,-7)f'(x)=2ax+42ax+4=02a(2)+4=04a=-4        a=-1f(x)=ax2+4x+cf(2)=-1(2)2+4(2)+c-7=-4+8+c-7+4-8=cc=-11


24) تحدّ: إذا كان الاقتران y=px3-4px2+5x-11 ، حيث p > 0 ؛ فأجد مجموعة قِيَم p التي يكون عندها للاقتران نقطتان حرجتان.

الحل:

y'=3px2-8px+5

حتى يكون للاقتران نقطتان حرجتان فأن y' لها صفران حقيقيان مختلفان أي أن مميز العبارة التربيعية >0  

a=3p   ,b=-8p   ,c=5

=b2-4ac=(-8p)2-4(3p)(5)

64p2-60p>064p2-60p=04p(16p-15)=0p=0  ,   p=1516

- ندرس الإشارة:

اذن p>0  يكون  >0 في الفترة b>1516 ، قيم b التي تجعل لـ y نقطتان حرجتان b(1516,)