أتحقق من فهمي صفحة 78:
أجد النقاط الحرجة لكل اقتران مما يأتي :
1) 2)
الإجابة:
1)
اذن ، توجد نقطة حرجة للاقتران f عندما x=1
أما النقطة الحرجة هي:
2)
اذن ، توجد نقطة حرجة للاقتران f عندما x=1,x=2
أما النقطة الحرجة هي:
أتحقق من فهمي صفحة 81 :
أحدد فترات التزايد والتناقص لكل اقتران في ما يأتي:
a)
b)
الحل:
a)
متزايد في الفترة ومتناقص في الفترة .
b)
- اذن: المميز أقل من صفر
اذن h(x) متزايد دائماً ( متزايد على )
أتحقق من فهمي صفحة 82
إذا كان الاقتران ، فأستعمل المشتقة لأحل السؤالين الآتيين :
1) أجد النقاط الحرجة للاقتران f(x)
2) أصنف النقاط الحرجة الى عظمى محلية أو صغرى محلية أو انعطاف أفقي .
الاجابة :
1)
النقطة الحرجة:
النقطة الحرجة:
2)
يوجد قيمة عظمى محلية عند النقطة وصغرى محلية عند
أتحقق من فهمي صفحة 84
لاحظ عالم حيوانات أن عدد الضفادع في بحيرة ما يمكن نمذجته بالاقتران: ، حيث P عدد الضفادع ، و t الزمن بالأشهر منذ بدء ملاحظة الضفادع . جد أكبر عدد يمكن أن تصل إليه الضفادع في البحيرة منذ بدء ملاحظتها.
الإجابة:
النقطة الحرجة:
يوجد قيمة عظمى محلية للاقترانp(t)
(عدد الضفادع) عندما t=150 هو 10000
أتدرب وأحل المسائل صفحة 84
أجد النقاط الحرجة لكل اقتران ممّا يأتي:
1) 2) 3) 4)
الحل:
1)
اذن ، النقطة الحرجة هي:
2)
اذن ، النقطة الحرجة هي:
3)
اذن ، النقاط الحرجة للاقتران هي:
4)
اذن ، النقاط الحرجة للاقتران هي:
أُحدّد فترات التزايد والتناقص لكلّ اقتران ممّا يأتي:
5) 6) 7) 8)
9) 10) 11)
12) 13) 14)
الحل:
5)
اذن f(x) متزايد دائماً.
6)
اذن f(x) متناقص دائماً.
7)
متزايد في الفترة: ومتناقص في الفترة
8)
متزايد في الفترة: ومتناقص في الفترة:
9)
متزايد في الفترة: ومتناقص في الفترة:
10)
اذن، f(x) متزايد في الفترة والفترة ومتناقص في الفترة
11)
f(x) متزايد على الفترات:
12)
اذن، f(x) متناقص في الفترة والفترة ، ومتزايد في الفترة:
13)
متزايد في الفترة: ومتناقص في الفترة:
14)
- Y متزايد في الفترة:
- Y متناقص في الفترة:
أجد النقاط الحرجة لكلّ اقتران ممّا يأتي، ثمّ أُحدّد نوعها باستعمال المشتقّة:
15) 16)
17) 18)
الحل:
15)
- النقاط الحرجة:
- يوجد قيمة عظمى محلية عند
- يوجد قيمة صغرى محلية عند
16)
- النقطة الحرجة:
- بما أن اشارة لم تتغير قبل وبعد النقطة الحرجة. اذاً عند انعطاف أفقي.
17)
-
- النقاط الحرجة:
- يوجد قيمة عظمى محلية عند: ، وصغرى محلية عند:
18)
- النقاط الحرجة هي:
- يوجد قيمة صغرى محلية عند
- يوجد نقطة انعطاف افقي عند
19) إذا كانت مشتقّة الاقتران تُعطى بالاقتران ؛ فأجد قِيَم التي يكون عندها نقاط حرجة للاقتران ، ثمّ أُحدّد نوعها.
الحل:
عندما يوجد قيمة صغرى محلية وعند نقطة انعطاف افقي.
20) صناعة: تُنتِج إحدى الشركات صناديق لتخزين البضائع على شكل متوازي مستطيلات. إذا أمكن نمذجة حجم كلٍّ من هذه الصناديق بالاقتران: ،فأجد قيمة التي تجعل حجم الصندوق أكبر ما يُمكِن. | ![]() |
الحل:
- النقاط الحرجة:
- يكون حجم الصندوق أكبر ما يمكن عندما والنقطة
مهارات التفكير العليا
تحدّ: إذا كان الاقتران ، حيث a و b ثابتان؛ فأُجيب عمّا يأتي:
21) أُثبتُ أنّ لمنحنى الاقتران نقطة حرجة عند تقاطعه مع المحور
22) أُثبتُ أنّ للاقتران نقطة صغرى محلّية إذا كانت .
الحل:
21)
يوجد نقطة حرجة عند هي: التقاطع مع محور
22)
- إذا كانت:
من اشارة فأن للاقتران قيمة عظمى محلية عندما:
23) تحدّ: إذا كان للاقتران: ، حيث a و c عددان حقيقيان، نقطة حرجة هي ، فما قيمة كلٍّ من و ؟
الحل:
24) تحدّ: إذا كان الاقتران ، حيث ؛ فأجد مجموعة قِيَم p التي يكون عندها للاقتران نقطتان حرجتان.
الحل:
حتى يكون للاقتران نقطتان حرجتان فأن لها صفران حقيقيان مختلفان أي أن مميز العبارة التربيعية
- ندرس الإشارة:
اذن يكون في الفترة ، قيم التي تجعل لـ نقطتان حرجتان