رياضيات فصل أول

الحادي عشر خطة جديدة

icon

نتاجات الدرس: 
- نتعرف على المتتالية المنتهية وغير المنتهية .
- نتعرف على المتسلسلة المنتهية وغير المنتهية .

المتتاليات والمتسلسلات ، ورمز المجموع: 
تعلمنا سابقاً مفهوم المتتالية ، وأن كل عدد فيها يسمى حداً 
تكون المتتالية منتهية : اذا حوت عدداً منتهياً من الحدود ، مثلاً : 2,4,6,8,10
وتكون متتالية غير منتهية اذا حوت عدداً لا نهائياً من الحدود ،  مثلاً : 5,10,15,20,25,30,

 

المتتاليات بوصفها اقترانات: أي أن المتتالية اقتران مجاله مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ، أو مجموعة جزئية منها،

ومداه مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية ، حيث يرتبط كل عدد صحيح في المجال بعدد حقيقي في المدى ، هو أحد حدود المتتالية.

حيث: a1 : الحد الأول للمتتالية ، و a2 : الحد الثاني للمتتالية ، و an : الحد العام للمتتالية .

تذكر أن: الحد العام هو علاقة جبرية تربط كل حد في المتتالية برتبته . ويمكن استعمال الحد العام لإيجاد قيمة أي حد في المتتالية، وذلك بتعويض رتبة ذلك الحد في الحد العام .

يطلق على مجموع حدود المتتالية اسم المتسلسلة ويمكن إيجاد هذا المجموع بوضع اشارة (+)  بين حدود المتتالية بدلاً من الفواصل.
ويمكن التعبير عن المتسلسلة مثل المتتالية إلى:

• متسلسلة غير منتهية: مثلاً : 1+2+3+4+5+....
• متسلسلة منتهية: مثلاً : 1+2+3+4+5

 

- يمكننا التعبير عن المتسلسلة بطريقة مختصرة باستعمال رمز المجموع والذي يقرأ سيغما ، على النحو الآتي: k=1nak

حيث: n: آخر قيم k ، و k=1 : اول قيم k ، و ak : الحد العام للمتتالية .

مثال (1) : أكتب كل متسلسلة مما يأتي باستعمال رمز المجموع : 
1)  3+4+5++68

2)  5+10+15+

الحل:

1) نلاحظ أن الحد الاول يساوي 2+1  ، والحد الثاني يساوي 2+2 ، وأن الحد الثالث يساوي 2+3 ، والحد الاخير يساوي 2+66 .
أذن ، يمكن كتابة الحد العام لهذه المتتالية على النحو الآتي: ak=2+k
وكتابة المتسلسلة باستعمال رمز المجموع كما يأتي : k=1662+k

2) نلاحظ أن الحد الول يساوي 5(1) ، والحد الثاني يساوي 5(2) ، والحد الثالث يساوي 5(3) .
أذن ، يمكن كتابة الحد العام للمتتالية على النحو الآتي: ak=5k
وكتابة المتسلسلة باستعمال رمز المجموع كما يأتي : k=15k

- تدريب: أكتب كل متسلسلة مما يأتي باستعمال رمز المجموع : 

1)  7+10+1+16+.+25

2)  2+4+6+..+20


إيجاد مجموع المتسلسلة : يمكننا إيجاد مجموع المتسلسلة المنتهية بجمع حدودها ، اما اذا كتبت المتسلسلة باستعمال رمز المجموع ، فأننا نستعمل الحد العام لإيجاد حدودها ثم أجمعها .

- مثال (2): جد مجموع المتسلسلة : k=14k2

الإجابة:

نعوض القيم k=1,2,3,4 في الحد العام للمتسلسلة: ak=k2

=1+4+9+16=30


- مثال (3): جد مجموع المتسلسلة : k=16k22

الإجابة:

نعوض القيم k=1,2,3,4,5,6 في الجد العام للمتسلسلة: ak=k22

=12+2+92+4+252+18=912


- تدريب :جد مجموع كل متسلسلة في ما يأتي: 

1) k=175k-22                            2) k=15(k+1)2


• حالات خاصة من المتسلسلات: 
في ما يأتي بعض خصائص رمز المجموع :
اذا كان ak و bk الحدين العامين لمتتاليتين ، وكان c عدداً حقيقياً ، فإنّ:

k=1n(ak±bk)=k=1nak±k=1nbk

k=1ncak=c(k=1nak)


- إذا كان في المتسلسلة عدد كبير من الحدود ، فإن إيجاد مجموعها لن يكون سهلاً .
ولكن يوجد قواعد يمكن استعمالها لإيجاد مجموع بعض المتسلسلات الخاصة على نحو سهل كما يأتي : 

k=1nc=n×c k=1nk=n(n+1)2
k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6 k=1nk3=(n(n+1)2)2 

- مثال (4) : جد مجموع كل متسلسلة مما يأتي : 

1) k=1202k                   2) k=110(k3+2)                  3) k=125(k2-1)

الإجابة:

1) k=1202k=2(k=120k)=2(20(20+1)2)=420

2) k=110(k3+2)=k=110k3+k=1102=(10(10+1)2)2+2(10)=3045

3) k=125(k2-1)=k=125k2-k=1251=(25(25+1)(2(25)+1)6)-1(25)=5500


- تدريب : جد مجموع كل متسلسلة مما يأتي : 

1) k=120(7k-2)              2) k=15(-4k3)              3) k=16k22


المتتاليات الحسابية : إذا كان الفرق بين كل حديّن متتاليين في متتالية عددية يساوي قيمة ثابتة ، فإن هذه المتتالية تسمى متتالية حسابية ، ويسمى الفرق الثابت أساس المتتالية الحسابية ويرمز إليه بالرمز d .

مثلا: 2 ,4 ,6 ,8 ,

- تكون المتتالية: a1,a2,a3,..........,an حسابية إذا كان:

a2-a1=a3-a2==an-an-1=d

- مثال (5) : حدد اذا كانت كل متتالية مما يأتي حسابية أم لا : 

1) 5,9,13,17,.                2)  23,15,9,5,.

الإجابة:

1) 

a2-a1=9-5=4a3-a2=13-9=4a4-a3=17-13=4

نلاحظ أن الفرق ثابت وأنه يساوي 4 ، أي أن أساس المتتالية هو : d=4
اذن ، المتتالية حسابية .

2) 

a2-a1=15-23=-8a3-a2=9-15=-6a4-a3=5-9=-4

نلاحظ أن الفرق غير ثابت. اذن ، المتتالية غير حسابية .


- تدريب : حدد إذا كانت كل متتالية  مما ياتي حسابية أم لا : 

1)  7,4,1,-2,                  2) 0,6,13,19,

 

صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية: 
الحد العام للمتتالية الحسابية التي حدها الأول a1 ، وأساسها d ، يعطى بالصيغة الآتية : an=a1+(n-1)d

حيث n عدد صحيح موجب.

مثال (6) : جد الحد العام لكل متتالية حسابية مما يأتي ، ثم جد الحد العاشر منها : 

1)  20,13,6,.                       2) a7=27  ,  a15=59

الإجابة:

1) نجد الحد العام للمتتالية : 
نعوض قيمة كل من الحد الأول: a1=20 ، والاساس d=13-20=-7 في صيغة الحد العام للمتتالية : 

an=a1+(n-1)d=20+(n-1)(-7)=-7n+27

إذن ، الحد العام للمتتالية الحسابية هو : an=-7n+27
 

نجد الحد العاشر للمتتالية : 
نعوض n=10 في صيغة الحد العام للمتتالية : a10=-7(10)+27=-43

 

2)

an=a1+(n-1)d27=a1+(7-1)d27=a1+6d(1) an=a1+(n-1)d59=a1+(15-1)d59=a1+14d(2)

- نحل المعادلة (1) و (2) بالحذف: 

32=8dd=427=a1+6×4a1=3

- نعوض قيمة كل من a1،d في صيغة الحد العام للمتتالية: 

an=a1+(n-1)d

an=3+(n-1)4an=4n-1a10=4(10)-1=39

تدريب: جد الحد العام لكل متتالية حسابية مما يأتي ، ثم جد الحد الخامس عشر منها .

1) 1,-2,-5,.                2) a7=71,  a16=26 


 المتسلسلات الحسابية : تنتج المتسلسلة الحسابية من جمع حدود المتتالية الحسابية ويسمى مجموع أول n حداً من حدود هذه المتسلسلة مجموعاً جزئياً ويرمز إليه بالرمز Sn.

 المجموع الجزئي للمتسلسلة الحسابية : 
يمكن إيجاد مجموع أول n حداً من حدود متتالية حسابية باستعمال إحدى الصيغتين الآتيتين:

Sn=n(a1+an2)

Sn=n2(2a1+(n-1)d)


مثال (7) : جد مجموع حدود المتسلسلة الحسابية: 60+64+68+72+..+120

الإجابة:
اولاً: نجد عدد حدود المتتالية n .
نعوض قيمة كل من الحد الأول a1=60 ، والاساس d=64-60=4
والحد الآخير  an=120 في صيغة الحد العام للمتتالية الحسابية : 

an=a1+(n-1)d120=60+(n-1)(4)0=4(n-1)   15=n-1n=16

ثانياً: أستعمل إحدى صيغتي المجموع الجزئي للمتسلسلة الحسابية لإيجاد Sn .

Sn=n(a1+an2)

S16=(16)(60+1202)=1440


- مثال (8) : جد مجموع الحدود الخمسة عشر الأولى من المتسلسلة الحسابية : 7+12+17+22+

الإجابة:

نعوض قيمة كل من الحد الأول a1=7 ، والاساس d=12-7=5 في الصيغة الثانية للمجموع الجزئي للمتسلسلة الحسابية Sn

Sn=n2(2a1+(n-1)d)

S15=152(2(7)+(15-1)(5))=630

اذن ، مجموع الحدود الخمسة عشر الأولى من هذه المتسلسلة الحسابية هو: 630


- تدريب
a) جد مجموع حدود المتسلسلة الحسابية : 7+15+2++159
b) جد مجموع الحدود السبعة عشر الأولى من المتسلسلة الحسابية : 8+5+2+

 


- يمكن استعمال مجموع المتسلسلة الحسابية في كثير من التطبيقات الحياتية والعلمية.

 

مثال (9) : ضمن خطة إحدى المؤسسات الخيرية لزيادة التوعية بالاضرار الاقتصادية للتدخين ، أنفقت المؤسسة 300 JD  في السنة الأولى على حملات التوعية ، وخططت لزيادة إنفاقها السنوي على هذه الحملات بنحو 400 JD سنوياً على مدار 10 أعوام : 

1) بين أن إنفاق الجمعية السنوي يمثل متتالية حسابية .
2) جد الحد العام للمتتالية الحسابية .
3) ما قيمة المبلغ الذي سوف تنفقه المؤسسة في آخر عام من الخطة ؟ 
4) جد مجموع ما سوف تنفقه المؤسسة في 10 أعوام .

الإجابة:

1) بما أن الزيادة السنوية ثابتة وتساوي 400 ، فإنّ انفاق الجمعية السنوي يشكل متتالية حسابية أساسها 400 

2) an=400n-100

3) a10=3900

4) S10=102(300+3900)=21000