• تطبيقات القيم القصوى:
يُعد تحديد القيمة الصغرى المحلية والقيمة العظمى المحلية أحد أكثر موضوعات التفاضل الفرعية استعمالاً في التطبيقات الحياتية والعلمية، مثل: تحديد أكبر مساحة ممكنة، وأكبر ربح ممكن، وأقل تكلفة ممكنة.

حيث يمكن اتباع الخطوات الآتية لحل العديد من مسائل تطبيقات القيم القصوى:
1) فهم المسألة: أي اقرأ المسألة جيداً ، ثم حدد المعلومات اللازمة لحلها .
2) رسم مخططاً يمثل المسألة وتدوين المعلومات المهمة لحل المسألة عليه ، واختيار متغيراً يمثل الكمية التي اريد أن اجد لها اكبر قيمة او أقل قيمة ، واختار رموزاً للمتغيرات الاخرى في المسألة .
3) نجد القيم الحرجة للاقتران:  أي نجد القيم التي تكون عندها مشتقة الاقتران صفراً .
4) نجد القيمة القصوى المطلوبة: أي القيم الصغرى او العظمى المطلوبة .

 

أولاً : إيجاد أكبر مساحة ممكنة : 
- مثال (1):

اشتری مزارع سياجاً طوله 800 لتسييج حقل مستطيل الشكل من مزرعته، وكان هذا الحقل مقابلاً لطريق زراعي يوجد بمحاذاته سياج من قبل. جد أكبر مساحة ممكنة للحقل يُمكن للمزارع أن يحيطها بالسياج.

الإجابة:

1- نرسم مخططاً : حيث نفترض أن طول الحقل  y وأن x عرضه كما في الرسم المجاور .

2- نكتب الاقتران الذي نريد ايجادقيمته القصوى بدلالة متغير واحد .
- نجد اقتران مساحة الحقل: $A=xy$
- نكتب y  بدلالة x باستعمال المحيط: $P=2x+y$

$800=2x+y \to y=800-2x$

- نعوض y في اقتران مساحة الحقل: 

$$\begin{gathered} A=xy \\ A\left(x\right)=x(800-2x) \\ A\left(x\right)=800x-2x^2 \end{gathered}$$

وهو الاقتران الذي يمثل مساحة الحقل

3- نجد القيم الحرجة:

$$\begin{gathered} A^{\text{'}}\left(x\right)=800-4x \\ 800-4x=0 \\ x=200 \end{gathered}$$

إذن توجد قيمة حرجة هي: $x=200$

$A^{\text{'}}\text{'}\left(x\right)=-4$

بما أن المشتقة الثانية سالبة ، فإنه توجد قيمة عظمى محلية عندما x=200

$A\left(200\right)=800\left(200\right)-2(200{)}^2=80000m^2$

وهي أكبر مساحة ممكنة للحقل يمكن للمزارع أن يحيطها بالسياج .

---

تدريب: يريد نجار بناء سقف خشبي لحظيرة حيوانات على شكل مستطيل محيطه 54m . جد أكبر مساحة ممكنة لسطح الحظيرة .

---

مثال (2):

سلك طوله 20cm يراد ثنيه لإحاطة المستطيل المجاور . جد أكبر مساحة يمكن احاطتها بالسلك.

الحل:

$$\begin{gathered} A\left(x\right)=\left(x\right)(10-x) \\ A\left(x\right)=10x-x^2 \\ {A}^{\text{'}}\left(x\right)=10-2x \\ 10-2x=0 \\ x=5 \end{gathered}$$

يوجد قيمة حرجة للمساحة عند x=5 

يوجد قيمة عظمى عند x=5 

$$\begin{gathered} A^{\text{'}}\text{'}\left(x\right)=-2<0 \\ A\left(5\right)=\left(5\right)(10-5)=25c{m}^2 \end{gathered}$$

نلاحظ أن أكبر مساحة عندما يكون الشكل مربع طول ضلعه 5cm.

---

---

ثانياً : إيجاد أقل كمية ممكنة :

مثال (3):

أراد مصنع إنتاج عُلب من الكرتون على شكل متوازي مستطيلات مغلق، بحيث يكون حجم كل منها $1000 c{m}^3$ ، وقاعدته مربعة الشكل. أجد أبعاد العلبة الواحدة التي تجعل كمية الكرتون المستعملة لصنعها أقل ما يمكن.
الاجابة: 
1- نرسم مخططاً : نفترض أن x هو طول قاعدة العلبة ، وأن h هو ارتفاعها كما في الرسم المجاور . 

2- أكتب الاقتران الذي أريد ايجاد قيمته القصوى بدلالة متغير واحد .
نجد اقتران المساحة الكلية لسطح العلبة : $S=4xh+2x^2$

- نكتب h بدلالة x باستعمال حجم متوازي المستطيلات المعطى :

$$\begin{gathered} V=x^{2}h \\ 1000=x^{2}h \\ h=\frac{1000}{x^2} \end{gathered}$$

- نعوض h في اقتران المساحة الكلية لسطح العلبة :

$$\begin{gathered} S\left(x\right)=4x\left(\frac{1000}{x^2}\right)+2x^2 \\ S\left(x\right)=\frac{4000}{x}+2x^2 \\ {S}^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{4000}{x^2}+4x=0 \\ 4x^3=4000 \\ x=10 \end{gathered}$$

 يوجد قيمة حرجة هي: x=10 

$$\begin{gathered} S^{\text{'}}\text{'}\left(x\right)=\frac{8000}{x^3}+4 \\ {S}^{\text{'}}\text{'}\left(10\right)=\frac{8000}{(10{)}^3}+4=12>0 \end{gathered}$$

نلاحظ أن x=10 يوجد عندها قيمة صغرى محلية وتكون أقل مستعملة للكرتون اذا كان طول القاعدة 10cm

- اذن ، ابعاد العلبة الواحدة هي: $l=x=10cm , w=x=10cm , h=10cm$

---

تدريب: أرادت إحدى الشركات أن تصنع خزانات معدنية على شكل متوازي مستطيلات مغلق، بحيث يكون حجم كل منها 2m^3، وقاعدته مربعة الشكل. أجد أبعاد الخزان الواحد التي تجعل كمية المعدن المستعملة لصنعه أقل ما يمكن.

---

تطبيقات اقتصادية: 
- يطلق على الاقتران الذي يمثل تكلفة انتاج x قطعة من منتج معين اسم اقتران التكلفة وبرمز اليه بالرمز $C\left(x\right)$
- ويطلق على معدل تغير C بالنسبة الى x اسم التكلفة الحدية ، ما يعني أن اقتران التكلفة الحدية هو مشتقة اقتران التكلفة $C^{\text{'}}\left(x\right)$.

أما الاقتران الذي يمثل ايراد بيع x وحدة من منتج معين يسمى اقتران الايراد ويرمز اليه بالرمز R(x).  

واما مشتقة اقتران الايراد $R^{\text{'}}\left(x\right)$ يسمى الايراد الحدي وهو يمثل معدل تغير الايراد بالنسبة الى عدد القطع المبيعة.

- بناءً على ما سبق ، فإن ربح بيع x قطعة من منتج معين يعطى بالاقتران الآتي:

$P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)$

حيث: $P\left(x\right)$ يمثل اقتران الربح و $P^{\text{'}}\left(x\right)$  يمثل مشتقة اقتران الربح يسمى الربح الحدي.

---

مثال (4):

وجدت خبيرة تسويق أنه لبيع ثلاجة من نوع جديد، فإن سعر الثلاجة الواحدة (بالدينار) يجب أن يكون $s\left(x\right)=1750-2x$  حيث x  عدد الثلاجات المبيعة. إذا كانت تكلفة إنتاج  xمن هذه الثلاجات تعطى بالاقتران $C\left(x\right)=2250+18x$  ، فأجد عدد الثلاجات التي يجب إنتاجها وبيعها لتحقيق أكبر ربح ممكن.
الاجابة : 

$R\left(x\right)=(\mathrm{المبيعة} \mathrm{الثلاجات} \mathrm{عدد} ) (\mathrm{الواحد} \mathrm{الثلاجات} \mathrm{سعر} )=x(1750-2x)$

إذن، اقتران الإيراد هو: $R\left(x\right)=(1750x-2x^2)$

- نجد اقتران  الربح:

$$\begin{gathered} P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right) \\ =(1750x-2x^2)-(2250+18x) \\ =1750x-2x^2-2250-18x \\ P\left(x\right)=-2x^2+1732x-2250 \end{gathered}$$

-    نجد الربح الحدي ، ثم نجد القيمة الحرجة ونحدد نوع النقطة الحرجة .

$$\begin{gathered} P^{\text{'}}\left(x\right)=-4x+1732=0 \\ -4x=-1732 \\ x=433 \end{gathered}$$

- اذن توجد قيمة حرجة واحدة هي: $x=433$

$P^{\text{'}}\text{'}\left(x\right)=-4<0$

بما ان المشتقة الثانية سالبة لقيم x الموجبة جميعها ، فأنه توجد قيمة عظمى محلية عندما $x=433$
أكبر ربح عند انتاج تقريباً 433 ثلاجة . 

---

تدريب: يُمثل الاقتران: $s\left(x\right)=150-0.035x$ سعر القطعة الواحدة من منتج بالدينار لإحدى الشركات، حيث x عدد القطع المنتجة. ويُمثل الاقتران :

$C\left(x\right)=16000+10x+0.09x^2$ تكلفة إنتاج x قطعة بالدينار، أجد كلا مما يأتي:
1) اقتران الإيراد.
2) عدد القطع x الذي يتساوى عنده الإيراد الحدي مع التكلفة الحدية.
3) اقتران الربح.
4) عدد القطع اللازم بيعها من المنتج لتحقيق أكبر ربح ممكن، ثم أجد أكبر ربح ممكن.
5) سعر الوحدة الواحدة من المنتج الذي يُحقق أكبر ربح ممكن.

---